2024-2025学年山东省东营市河口区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）+答案解析

2024-2025学年山东省东营市河口区九年级（上）期末数学试卷（五四

学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图

从正面看

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.水中捞月B.水涨船高C.守株待兔D.百步穿杨

3.若点（3,—4）在反比例函数沙=：//（））的图象上，则该图象也过点（）

A.（2,6）B.（3,4）C.（-4,-3）D.（-6,2）

4.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度4。=12m，上弦=/氏4。=25°.若用科学计算器求上弦

N8的长，则下列按键顺序正确的是（）

B

A.国臼网国臼B-HES0E]

C.回口网网口D-0HHRn

5.如图，。。的半径为5,弦AB=8,P是弦45上的一个动点，则OP的长可能是（）

A.8

B.6

AB

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C.4

D.2

6.对于二次函数沙=（a;+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是立=一1C.顶点坐标是（1,2）D.与x轴有两个交点

7.某电路图如图1所示.结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象.若该电路的最小电阻为1Q,则该

电路能通过的（）

图1图2

A.最大电流是36/B.最大电流是27/C.最小电流是36/D.最小电流是27/

8.如图，是。。的直径，点C,D,£在0。上，若/AED=20°，则/BCD的

度数为（）

A.120°

B.110°

C.100°

D.90°

9.如图,在扇形/O5中，AAOB=90°，04=6,点。在上，点C在弧上,

且点C,。关于直线对称，连接CD,则图中阴影部分的面积是（）

A.6TT-3A/3

B.67r—6\/3

3TT-6\/3

D.37rl3/

10.已知二次函数沙=。/+近+。（（1r0）的部分图象如图所示，图象经过点（0,2）,其

对称轴为直线c=一1.下列结论：①3a+c>0；②若点（—4,讥），（3,例）均在该二次

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函数的图象上，则明〉纱；③关于x的一元二次方程a/+好+c=—2有两个相等的实数根；④满足

ax2+法+。〉2的》的取值范围为—2<a;<0.其中正确的结论是()

A.①②④

B.②③

C.②④

D.②③④

二、填空题：本题共8小题，共28分。

11.如图，48是00的内接正"边形的一边，点C在。。上，AACB=18°>则几=___.

12.将一个小球放在如图所示的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为

—q

13.已知反比例函数当立〉0时，y随x的增大而增大，则左的取值范围是.

14.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,m)，且OP

4

与x轴正半轴的夹角a的正切值是耳，则sina的值为.

O

15.若抛物线y=/+2/+c的顶点在x轴上，贝!JC=.

16.如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展

开图的圆心角的度数为°.

俯视图

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17.如图，NC是0O的弦，点8是0O上的一个动点，且NABO=30°,若点。、E

分别是NC、8C的中点，若NC长为4,则的最大值是.

18.在反比例函数沙=以（2〉0）的图象上，有一系列点41，A2,4S，…，An,An+1,若的横坐标为

2,以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2,过Ai，A2,A3,An,4计1分别作x轴

与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为Si，S2，S3,…，

Sn,则&+昆+S3+-+Sn=.

三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

计算：

⑴2cos30°-tan60°+tan45°-4sin60°；

（2）4sin30°-|A/12-1|+（|）-1-（TT-2024）0.

20.（本小题9分）

为了解某校九年级学生的中考体育情况，在九年级学生中随机抽取部分学生的中考体育成绩（成绩为整数）

进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表和扇形统计图，请根据图表中的信息解答下列问题：

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分组分数段(分)频数

A18<x<22.52

B22.5(/<275

C27/<31.515

D31.5(N<36m

E36W优<40.510

(1)被抽取班学生人数为人，m=.

(2)被抽取学生中考体育成绩的中位数落在_____分数段，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角的度数是

，若32分及以上为良好成绩，试估计该校九年级600学生的中考体育成绩良好人数约为人.

(3)若被抽取学生中中考体育成绩满分(40分)共有甲，乙，丙，丁4人，现需从4人中随机选取2人在七八

年级学生集会进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好选到甲，乙两位同学的概率.

21.(本小题9分)

风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，

如图⑴，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图(点/,B,

C,。均在同一平面内，已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部。处测得

风力发电机塔杆顶端N点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离3。=30米，求该风力发电机塔杆的高度

.(结果精确到个位；参考数据：sin20°^0.34,cos20°«0.94,tan20°〜0.36，~1.73)

(1)(2)

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22.(本小题9分)

如图，直线沙=kc+b与双曲线沙=了(，<0)相交于4(—3,1),8两点，与x轴相交于点。(—4,0).

(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)连接04OB,求△AOB的面积；

(3)直接写出当z<0时，关于x的不等式如+b<了的解集.

23.(本小题9分)

如图，在一面靠墙的空地上用长为24〃?的篱笆，围成中间隔有2道篱笆的长方形花圃，墙的最大长度为8M.

设花圃的宽48为面积为Sni?.

(1)求S与x之间的函数关系式；

(2)求自变量的取值范围；

(3)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？

AD

R

24.(本小题9分)

如图，是。。的直径，4c是弦,。是2c的中点，过点。作所垂直于直线/C,垂足为尸，交的延

长线于点E.

(1)求证：跖是0O的切线；

4

(2)若tan4=3，AF=6,求。O的半径.

o

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25.(本小题9分)

如图，抛物线沙=a/+H+c(a/J)与直线。=田+1相交于4(一1,0),3(4,n)两点，且抛物线经过点

(7(5,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线N3上方抛物线上的一个动点(不与点4点2重合)，过点P作直线PDLr轴于点。，交

直线于点E,设点尸的横坐标为？71.

①当PE=2ED时，求尸点坐标；

②是否存在点尸使为等腰三角形？若存在，请直接写出心的值；若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：俯视图为是I

故选：D.

2.【答案】B

【解析】解：/、水中捞月是不可能事件，不符合题意；

8、水涨船高是必然事件，符合题意；

C、守株待兔是随机事件，不符合题意；

。、百步穿杨是随机事件，不符合题意.

故选：B.

根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：•.•点（3,-4）在反比例函数沙=%以0）的图象上,

k=—12，

12

.•.反比例函数解析式为沙=——

二在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为-12,

•.・四个选项中只有。选项满足横纵坐标的乘积为-12,

。选项符合题意.

故选：D.

先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为-12,由

此即可得到答案.

本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的

乘积为-12是解题的关键.

4.【答案】B

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【解析】【分析】

本题考查了锐角三角函数的定义，也考查了等腰三角形的性质.

过8点作于。，根据等腰三角形的性质得到4D=CD=6米，在RtZVLDB中，利用的

余弦进行计算即可得到AB,再得到正确的按键顺序.

【解答】

解：过8点作于。，

B

ADC

：AB=BC，BD1AC，4。=12米，

4D=C£>=6米，

在RtZ\4DB中，ABAC=25°>

AD6

AB=-------=--------,

.cos25°cos25°

即按键顺序正确的是BESSH-

故选：B.

5.【答案】C

【解析】解：当点P与点/或点8重合时，0P为半径，长度最长为5；

当0P_L4B时，由垂线段最短，可知此时OP最短，

■：0PLAB,

，”=；AB=4,

；.0P=152—42=3,

，3<OP<5,

的长可能是4；

故选：C.

根据点尸的位置，0P为半径时，最长，0PLAB时，最短，求出OP的取值范围，即可得出结果.

本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意得出当点P与点/或点B重合时，。尸为半径，长度最长为5；

当时，由垂线段最短是解题的关键.

6.【答案】B

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【解析】解：•.•抛物线a〉0,所以开口向上，/选项错误；顶点坐标为（-1,2）,所以C选项错误；

根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴没有交点，

二。选项错误；

对称轴为/=—1,5选项正确.

故选：B.

根据。的正负判断开口方向，通过抛物线的沙=矶/-勾k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标

和开口方向即可判断抛物线与X轴交点个数.

本题主要考查了抛物线的性质以及抛物线与X轴交点个数.

7.【答案】A

【解析】解：设/=1，将点（4,9）代入得9=4,解得U=36，

K4

"R'

若该电路的最小电阻值为1。，该电路能通过的最大电流是导=36（A）,

故选：A.

可设/=2，由于点（4,9）代入这个函数解析式，则可求得左的值，然后代入R=1求得/的值即可.

本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系

数法求出它们的关系式.

8.【答案】B

【解析】解：连接/C,如图，

.AB是00的直径，\、

AACB=9Q°,I0,

AACD=AAED=20°，//

ABCD=乙4cB+AACD=90°+20°=110°.B

故选：B.

连接NC,如图，根据圆周角定理得到乙4cB=90°，乙4CD=20°，然后计算乙4c8+乙4CD.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

9.【答案】D

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【解析】解：连接8。，OC,交BD于点、E,

•.•点C,。关于直线3。对称，

.•.5。垂直平分。。，即OE=CE,0C1BD，

-：OE=CE=|OC=1c>B,

」./OBE=30°，

ABOC=90°-30°=60°，

OB=04=6,

在中，05=6，ZOBD=90°-60°=30%

/o

/.OD=OB*tan30°=6义—=2\/3，

3

在中，0D=?M，ZnOE=90°-60°=30°,

DE=—07?=y/3,

$阴影部分=S扇形40。—S^OCD

=3TT—3A/3.

故选：D.

根据轴对称得出BD垂直平分OC,再根据直角三角形的边角关系可求出/08E的度数,进而求出乙BOC的

度数，利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可.

本题考查轴对称的性质，直角三角形的边角关系，弧长的计算以及扇形和三角形面积计算，掌握弧长和扇

形面积的计算方法是正确解答的前提，求出相应的圆心角度数和半径是解决问题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：①•.•抛物线开口向下，

a<0.

•.•抛物线的对称轴为直线工=一?=—1，

2a

：,b=2Q,

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由图象可得立=1时，y<0,即a+b+c<0,

b=2a,

，3a+c<0,故①错误，不符合题意；

②•.•抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线/=-1.

故当立<-1时，y随x的增大而增大，当立〉-1时，y随x的增大而减小，

•J—1—（一4）|=3,|-1-3|=4,

.•.点（-4,灯）到对称轴的距离小于点（3,侬）到对称轴的距离，

:.yi>y2,故②正确，符合题意；

③•.•图象经过点（0,2）,其对称轴为直线z=—1.

.,.二次函数沙=ax2+bx+c与直线"=—2有两个交点，

二关于x的一元二次方程&/+显+c=—2有两个不等的实数根，故③错误，不符合题意；

④•.•图象经过点（0,2）,对称轴为直线/=—1,

;二次函数必然经过点（-2,2）,

..1/+就+02时，x的取值范围一2</<0,故④正确，符合题意；

综上，②④正确.

故选：C.

根据抛物线开口向下可得a<0,根据抛物线的对称轴可推得b=2a,根据2=1时，y<0,即可得到

a+b+c<Q,推得3a+c<0,故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点（-4,列）到对称轴的距离小于点

（3,侬）到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得以〉统，故②正确；根据抛物线的图象可知二

次函数沙=ax2+bx+c与直线沙=—2有两个交点，推得关于x的一元二次方程或？+c=一2有两个

实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点（-2,2）,即可得到a/+就+c〉2时，

x的取值范围—2<c<0,故④正确.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数

9=a/+H+c（a40）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与了轴的交点、抛物线与x轴交点的个

数确定.

11.【答案】10

【解析】解：•.•乙4cB=180。，

AAOB=2ZACB=2x18°=36°,

,-.n=360°4-36°=10.

故答案为：10.

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由圆周角定理得/4。8=36°，再根据正〃边形的边数冗=360°+中心角，即可得出结论.

本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键.

2

12.【答案】-

y

【解析】解：设每个小正方形的边长为1,根据概率的定义求出黑色方砖面积与全部面积的比值可得：

s正方形=32=9,s黑色=|xlxlx4=2,

.p=S黑色=2

一S正方形

故答案为:12

根据概率的定义求出黑色方砖面积与全部面积的比值即为答案.

本题考查了几何概率，解题的关键是求出黑色方砖的面积占总面积的比值.

13.【答案】

【解析】解：由题意得，2k—3<0,

解得：卜<|，

故答案为：fc<|.

由于反比例函数的图象当力>0时，y随X的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即

可.

本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键.

4

14.【答案】-

5

【解析】解：过点P作。九口/轴，垂足为

...点p的坐标是(3,m),

：.OM=3，PM=m.

PM4

,•5=丽=3'

,-.PM=4.

在RSOPMr中，

：OP=7PM，+OM?

=，32+42

=5,

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,PM4

-'-Sma=~OP=5'

4

故答案为：

5

过点P作PM，/轴，根据点尸的坐标及。的正切值先求出P70,再通过勾股定理求出0P,最后利用直角三

角形的边角间关系得结论.

本题主要考查了解直角三角形，掌握平面直角坐标系内点的坐标意义、勾股定理及直角三角形的边角间关

系是解决本题的关键.

15.【答案】1

【解析】解：•.•抛物线的顶点在x轴上,

故答案为：1.

根据x轴上点的，纵坐标是0,列出方程求解即可.

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式及x轴上点的坐标特点是解答此题的关键.

16.【答案】120

【解析】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；

由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2,高为4班，

则母线长为於2+（4为1=6，

所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为7Fx4+（7Fx6）x180°=120°.

故答案为：120.

由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2,高为4网，

得出母线长为6,再根据扇形的弧长公式可得答案.

本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长计算.

17.【答案】4

【解析】解：由条件可知。£是△ABC的中位线，

DE=^AB,

,点3是©O上的一个动点，

.•.当是0。的直径时，

此时48最大，则乙4cB=90°，

由条件可知AB=2AC=8,

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则DE的最大值是4,

故答案为：4.

先得出DE是△ABC的中位线，结合当是0。的直径时，此时最大，则/4。3=90°，因为NC长

为4,乙43。=30°，所以43=24。=8，即可作答.

本题考查了中位线的判定与性质，圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识点是

关键.

.小自、12n

18.【答案】—

【解析】解：•.•点41、42、工3、…、An,都在反比例函数的图象上，且41的横坐标为2,

则g=q=6，

・•・4(2,6),

12

由条件可知XA2=2+2=4,沙4=4=3,

.・"⑶、

12

则力4=4+2=6,04=瓦=2，

・•・4(6,2),

依次类推得4(2%，)，

6

A\(2n+2,———)

n+n+1

；,Si=2x(6-3),

S2=2X(3-2),

3

S3=2x(2—5),

Si+S2+S3H-----[~Sn

366

=2x(6-3+3-2+2--+H--------------

nn+1

12n

n+1

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12n

故答案为:

n+1

由已知条件横坐标成等差数列，再根据点41、42、人3、…、4"、4叶1在反比例函数上，求出各点坐标,

即可求出S1，S2，S3,进而求出S1+S2+S3+…+Sn，即可作答.

本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，发现规律是关键.

19.【答案】1-2瓜:

5-2^3.

【解析】解：(1)原式=2xp—g+1—4x?

=通_通+1-2通

=1-2通；

(2)原式=4x1-(2\/3—1)+3—1

=2-273+1+3-1

=5-2瓜.

(1)代入特殊角三角函数值，然后计算即可；

(2)首先化简二次根式，计算负整数指数幕，零指数幕，特殊角三角函数值，然后计算即可.

本题考查了锐角三角函数的混合运算，二次根式的化简，负整数指数幕，零指数幕，掌握其运算法则是解

决此题的关键.

20.【答案】501831.5(C<3672°336

【解析】解：(1)由题意可得：被抽取班学生人数：15・30%=50(人)；

m=50-2-5-15-10=18；

故答案为：50,18；

(2)•.•全班学生人数：50人,

.•.第25和第26个数据的平均数是中位数，

,中位数落在31.536分数段;

扇形统计图中£组所对应扇形的圆心角的度数是360°X—=72°；

50

估计该校九年级600学生的中考体育成绩良好人数约为：600x竺察=336(人).

故答案为：31.5—<36,72°,336；

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(3)画树状图为:

由树状图可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果，

21

所以恰好选到甲，乙两位同学的概率为诵=于

(1)利用C分数段所占比例以及其频数求出总数，进而得出m的值即可；

(2)利用中位数的定义得出中位数的位置；用360°乘以E组所占的百分比，求出扇形统计图中E组所对应扇

形的圆心角的度数；用该校的总人数乘以成绩良好人数所占的百分比即可；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选到甲，乙两位同学的结果数，然后根据概率公式

求解.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

21.【答案】解：过点。作于点尸，作DHLBE于点H,

由题意得：DC=20m，ADCH=60°，

在RtADCff中，

CH.DH

,：cos60=方/，sm60=万万，

：,CH=CD-cos60°=10m,

£>71=(71?sin60°=10\/3m«17.3m-

•：NDFB=NB=ADHB=90°，

二四边形。匹8〃为矩形，

：,BH=FD，BF=DH，

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•/BH=BC+CH=30+W=40m,

/.FD=40m,

AF

在RtZ14ED中，—tan20°,

FD

：,AF=FD-tan20°=40x0.36m=14.4m,

AB=AF+BF-17.3+14.4=31.7PS32m,

答：该风力发电机塔杆的高度为32m.

【解析】过点。作OF,48于点尸，作DHLBE于点、H,由题意得：DC=20m，=60°，根据

三角函数的定义得到。8=CD-cos60°=10m,DH=CDsin60°=loVim«17.3m，根据矩形的性质

得到=BF=DH，求得F。=40m，根据三角函数的定义即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用■■坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、

熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.【答案】解：⑴将4—3,1)*。(一4,0)代入?/=岫+6,

zBf—3k+b=1

付1-4k+b=0'

解得:{:量，

二.一次函数的解析式为?/=x+4,

rri

将4(一3,1)代入y=—(X<0),

得？72=—3,

反比例的解析式为g=--(x<0);

x

(2)•.•直线AC的解析式为沙=3+4与歹轴交点D,

.•.点。的坐标为(0,4),

(y=x+4：

.•.点5的坐标为(—1,3),

/.△/。吕的面积=S/\AOD—S/\BOD=-X4X3--X4X1=4；

(3)/<一3或一1</<0.

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【解析】【分析】

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角

形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强.

(1)将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；

⑵两函数解析式联立成方程组，求出点8的坐标，然后根据.的面积=SMO0-即可以解

决问题；

(3)根据图象即可解决问题.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)见答案;

(3)观察图象，当/<0时，关于x的不等式卜c+b<］的解集是/<一3或一1<2<0,

故答案为立<—3或一1<2<0.

23.【答案】解：(1)设花圃的宽为Xi”，则口。=(24-42)加，

根据题意得出：S=7(24—4c)=—4/+24,；

(2)•.•墙的可用长度为8米

，0<24—42(8

解得：4</<6；

(3)S=-4a;2+24/=—4(/—6c)=—4(s—3)2+36,

4(工<6,a=—4<0,

.•.S随x的增大而减小，

.•.当工=4m时，S最大值=32/.

答；当x取4俏时所围成的花圃的面积最大，最大面积是3262.

【解析】(1)求出S=483。代入即可求出S与x之间的函数关系式；

(2)利用0<24—4/W8进而解出即可；

(3)把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案.

本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的解析式，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键.

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24.【答案】解：（1）方法一：如图1,连接。。

是石0的中点，.万力=安

...Nl=/2=；/B0。，

-：AA=^ABOC,

OD//AF.

：,AEDO=ZF=90°.

：,OD1,EF,

.•.石尸是0。的切线；

方法二：如图2,连接。D,BC.

是00的中点，

BD=DC.

图2

;OB=OC，

:.ODLBC，

48是。。的直径,

AACB=90°.

■：AFLEF，

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NF=ZACB=90°.

BC//EF.

：,OD1,EF,

是。。的切线；

(2)设0。半径为r,则04=00=03=r.

4

方法一s在Rt/XAFE中，tanA=-,AF—6,

3

/.EF=AF*tanA=8.

：,AE=/4严+EF?=10，

/.0E=10-r.

AF3

'''COSAA=AE=5

八4ODr3

：.COSZ1=cosA=——==

OE10—r5

/.r=—,即。。的半径为工，

44

4

方法二：在RtZSAFE中，tanA=-,AF=6,