2024年福建省中考数学试卷（含答案）

数学试题

一、选择题：本题共1。小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1.下列实数中，无理数是（）

2

A.-3B.oC.3D.石

2.据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作

条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国.数据69610

用科学记数法表示为（）

34

A.6961x10B6961X10c6961X10D06961xltf

3.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（）

B.

4.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（00_LOE）按如图方式摆放，若

则4的大小为（）

c.60°D.乃。

A.//=/B,『-『二/D.?『一『=2

6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景涧在哥德巴赫

猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是倡数的概率是

()

11£2

A.4B.3C.TD.3

7.如图，已知点48在o°上：44。3=7¥,直线与相切，切点为0,且C为的中

点，则乙4cM等于（）

N

A.18°B.30°C,36°D,72°

8.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消防品零售总额

120327亿元，比去年第一季度增长47%,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年笫一季度社会

消费品零售总额设为二亿元，则符合题意的方程是（）

.（l+47%）x=120327.（1-47%）x=120327

A・

---=120327---=120327

C.1+47%D.1-47%

9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中A048与都是等腰

三角形，且它们关于直线，对称，点、E,尸分别是底边月B,0。的中点，0E上OF.下列推断错误的

B.40。=乙403

c.0B■OFD.ZSOC+ZJ4OZ)=180°

10.已知二次函数'二-""aS”m的图象经过I两点，则下列判断正确的

是

()

无论实数。取什么值，都有“>a

A.可以找到一个实数使得B.

c.可以找到一个实数a,使得K<°D.无论实数）取什么值，都有

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：X2+X=.

12.不等式3、-2<1的解集是.

13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图

.如图，正方形•铝8的面积为点分别为边的中点，则

144,E,F,G,HAB,BCtCD.4）

四边形瓦式汨的面积为.

15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数7的图象与交于48两点，且点48都在第

一象限.若则点R的坐标为.

16.无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所

在直线的夹角N&M为70°,帆与航行方向的夹角/尸。。为30°,风对帆的作用力尸为400N.根据

物理

知混，尸可以分解为两个力片与吊，其中与帆平行的力月不起作用，与帆垂直的力为仪可以分解为两

个力力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；工与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动

力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：尸=40=400,则

/2=CD=_____（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos400=077）

/|

h

（1）在儿4所在的平面内求作直线J,使得且/与4间的距离恰好等于7与4间的距离；（要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若4与4间的距离为2,点4员0分别在上，且为等腰直角三角

形，求的面积.

、J.bc

»jm+ns—,mna—

23.已知实数・》满足。

（1）求证：9为非负数；

（2）若°•瓦°均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由.

24.在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸一萌8,要求大家利用它制作一个底面为正方形

的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中熊=E5）,恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成

一个礼品盒，如图3所示.

B-------------CBj

图I图2图3

AD

（1）直接写出月B的值：

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择

A.B.

c.D.

(3)

卡纸型号型号I型号n型号HI

规格（单位：

30x4020x8080x80

cm）

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE,E尸的比例，制作棱长为10cm的正方

体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的

张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情

况），给出所用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不

要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用k纸的数量及总费用直接填在答题K的表格上；④本题将综合考

虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费月最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供

作草稿用）

亡近,40..—d

■

V

30

2O

Illi上

皇号I型号H

k---------------80-----------------

9Mill

25.如图，在。BC中，^BAC=90°,AB=ACf以＜6为直径的。。交3。于点D,AE1OC,垂

足为的延长线交/D于点尸.

c

OE

（1）求/E的值：

（2）求证：△AEB—ABEC；

（3）求证：4D与E尸互相平分.

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1.下列实数中，无理数是（）

A.-3B.OC.3D.6

【答案】D

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择

项.

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：及二斤等；开方开不尽的数；以及像

01010010001...,等数.

【洋解】根据无理数的定义可得：无理数是

故选：D.

2.据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球FCT（《专利合作

条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国.数据69610

用科学记数法表示为（）

24s

A.6961x10B.6961X10c.6961xl0D.06961x10

【答案】c

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为。的形式，其中I，0为整

数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数：当原数的绝对值＜1时，”是负数.

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题P关键.

【详解］69610=6.961•104

故选：c.

3.如图是由长方体和圆柱组成的儿何体，其俯视图是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【洋解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个矩形.

故选：C.

4.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CQ1OE）按如图方式摆放，若

ABNCD,则N1的大小为（）

C

1方方1

A.30°B.45°C,60°D.乃。

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，由加/C。可得=：60°,即可求解.

【羊解】VABIICD,

ZCD5=60°,

•・•COLDE,则NCDE=90。，

.・./1=180°-ZCD5-Z.CDE=30°,

故选：A.

5.下列运算正确的是（）

/1<

3a9.12la\_2_

A.aa=aBa=ac.D.-a-a=~

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了同底数暴的乘法，同底数昂的除法，箱的乘方合并同类项，解题的关键是掌握同底

数帚的乘法，同底数哥的除法，累的乘方,合并同类项运算法则.

利用同底数累的乘法，同底数累的除法，哥的乘方，合并同类项计算后判断正误.

【洋解】解；'/=〃，A选项错误；

/一『二『，B选项正确；

(cf

'।I=a",c选项错误；

D选项错误；

故选:B.

6.哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景涧在哥德巴赫

猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是倡数的概率是

()

11£2

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可.

【详解】解：画树状图如下：

和S75878

由对状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是

21

63,

故选：B

7.如图，已知点在上，乙=直线MM与相切，切点为C,且C为43的中

c.36。D.72°

)A

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据c为力8的中点，三角形内

LOCA=ix(180°-36°)=72°

角和可求出-,再根据切线的性质即可求解.

【详解】=C为会的中点，

•-•乙4。。=36°

VOA=OC

乙。CA=枭(】8。。-36°)=72°

••・

・・•直线与相切，

...ZOCA/=90°,

・・・LACM=乙OCM-ZOCA=18°

故选：A.

8.今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第•季度社会消费品零售总额

120327亿元，比去年第一季度增长47%,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会

消费品零售总额设为1亿元，则符合题意的方程是()

人(l+47%)x=120327(1-47%)x=120327

A.BD.

=120327=120327

c.1+4.7%D.1-4.7%

]A

【解析】

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社

会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长47%,列出方程即可.

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为1亿元，根据题意得：

(l+4.7%»x=1203279

故选：A.

9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中与都是等腰

三角形，且它们关于直线，对称，点尸分别是底边45,CD的中点，OELOF.下列推断错误的

A.OB1ODB,4。。=乙

C.0E-0FD,Z5OC+ZJ4OZ)=180°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等：

A.由对称的性质得乙4。3="。。，由等腰三角形的性质得2,

ZDOF=-ZDOC

,即可判断；

B.N’BCC不一定等于N\4O3,即可判断：

C.由对称的性质得乙0月3由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GM10月，可得Z.00D=Z.B0H,由对称性质得/BOH=/C0H同理可证

ZA0M=ZA0H,即可判断；

掌握性质是解题的关键.

【洋解】解：A.VOEIOF,

LBOE^ABOF=90°9

由对称得40B=ZZ)0C,

■■~:,&OE=L&OB

・・•点E,尸分别是底边46,CD的中点，aC与A°OC都是等腰三角形，

^DOF=-ZDOC

■

4。尸+ZD。尸=90。，

OBLCD,结论正确，故不符合题意；

B./BOC不一定等于2月°8,结论错误，故符合题意；

C.由对称得&。蜴"DC,

二0F,结论正确，故不符合题意；

过。作GMLOH,

..NG3+NDOH=900

•・,ZBOH+ZDOH=90。，

二LGOD=£BOH,由对称得/BOH=ZCOH,

■乙GOD=Z.COH,

同理可证"CM=UOH,

..Z^0Z）+Z50C=^AOD-^ZAOM+ADOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选:B.

10.已知二次函数F=x的图象经过I""3（知心）两点,则下列判断正确的

是（）

A.可以找到一个实数0,使得B.无论实数打取什么值，都有

C.可以找到一个实数0,使得D.无论实数0取什么值，都有

【答案】c

【解析】.

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为

-2a3

T-2顶点坐标为①"'再分情况讨论，当。>0时，当。<0时，也心的大小情

况，即可解题.

【详解】解：・・,二次函数解析式为卜=’・""。（"°）,

-2a【

二二次函数开口向上，且对称轴为“■2顶点坐标为8'°-"）,

0A<—a<a

当。>0时，-,

,a>y>a-a2

x9

a八

a<一<0

当a<0时，2,

2

.a-a<yt<a

故A、B错误，不符合题意；

・.•当a>0时，0<a<2a<3a,

由二次函数对称性可知，内>,>°,

当。<。时，3a<2a<a<0,由二次函数对称性可知，>a,不一定大于°,

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：X2+X=.

・小心、（

【答案】X'x+l）

【解析】

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，直接提取

公因式上即可.

［详解］解：=

12.不等式31-2<1的解集是.

【答案】X<1

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为I,求解即可解.

【详解】解：

3.x<3,

xvl,

故答案为：

13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图

所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是_____.（单位：分）

,人数

h

W）«59095100成绩/分

【答案】90

【解析】

【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度小大.

根据中位数的定义（排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可;

【详解】解：•・•共有12个数，

・•・中位数是第6和7个数的平均数，

・•.中位数是（如'㈣

故答案为：90.

14.加图，正方形•铝CO的面积为4,点E,p,G,H分别为边43,BC,CD,4）的中点，则

四边形EFGH的面积为.

H

BFC

【答案】2

【蟀析】

【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到

HD=DG=\,进而得到S.R，同理可得$3"e，2,最后利用四边形EFGH的面

积;正方形打5。。的面积一4个小三角形面积求解，即可解题.

【详解】解：••,正方形458的面积为4,

:,AB=BC=CD=AD=),“=90°,

・.•点E,F,G,，分别为边/IE,BC,CD,4D的中点，

..HD=DG=\,

四边形EFGH的面积为

故答案为：2.

15.如图，在平面直角坐标系TC呈中，反比例函数.•'的图象与交于48两点，且点48都在第

【答案】11)

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据40二)得出

Z=2,设3(”'卬，则〃巾=左=2,结合完全平方公式的变形与应用得出

=3»m3-3w+2=(wj-l)(m-2)=0

巾，结合则。J，即可作答.

二反比例函数的图象与交于4I两点，且

1

设8(小附)，则〃巾=七=2

・.・。8・。4=JT+1■"

.=(有/=5

••

则(加+”\=m2+力'+Imn=5+4=9

•・•点B在第一象限

M+〃=3

,、m+—=3*ma-3m+2=(m-l)(m-2)=O

把"巾=上=2代入得用

.力I=1.=2

经检验：m1=「飞=:都是原方程的解

...4(L2)

,3(11)

故答案为：(?/1

16.无动力帆船是借助风力前行的.卜图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所

在直线的夹角NPNM为70°,帆与航行方向的夹角/尸0。为30°,风对帆的作用力尸为400N.根据

物理知识，尸可以分解为两个力耳与招，其中与帆平行的力耳不起作用，与帆垂直的力吊仪可以分解

为两个力力与・4,4与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；工:与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动

力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：斤=40=400,则

h=.（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos40°=077）

【答案】128

【解析】

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出二/=由数〃。得到

Z5AZ）=ZAZ）（2=40o求出E=3O=XPsnN3AD=256,求出40c=90。_/]=60°在

RtaSCD中，根据-4=CD=3DC8/B00即可求出答案

【详解】解:如图,

•••帆船航行方向与风向所在直线的夹角为70°,帆与航行方向的夹角々°。为30°,

...ZADQ=/.PDA-4DQ=70°-30。=40。，Zl=APDQ=30\

,,AB//QDt

,匈25=乙g=40。

在Rt-®）中，尸=心=400,工4^0=90、

■F=BD=ADsinZ&W=400xsin400=400x064=256

由题意可知，SD-i-

...ZBDC+Z1=9O°,

...Z5DC=90°-Zl=60°

在"ABCD中，5Z）=256,Z5CZ）=90\

f、=CD=BDcos乙BDC=256xCos60°=256xi=128

故答案为：128

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.计算：(-炉+卜5卜/

【答案】4

【解析】

【分析】本小题考查零指数毒、绝对值、算术平方根等基础知识，考查运算能力.

根据零指数凝、绝对值、算术平方根分别计算即可；

【详解】解：原式=1+5-?=4.

18.如图，在菱形.铝CD中，点3、斤分别在BC、CO边上，ZAEB=ZAFD,求证：BE=DF.

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关

键.根据菱形的性质证得凡？二必，&=-D,再根据全等三角形的判定证明

-A^E^-ADFIAAS)「

即rln可.

【详解】证明：•・,四边形35'。是菱形，

:AB=ADt4=H

・.•乙1助♦乙ITO,

:AABE皿ADRIAA»

:,BE=DF.

19.解方程：x+?x一二

【答案】x=l0.

【解析】

【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解

题.

3.x

------+1=------

【详解】解：•'+?X-?,

AIAAXX

方程两边都乘3i-2+(+2H-2)=(+2)

去括号得：3.T-6+X3-4=X2+2X,

解得工=10.

经检验，工=1°是原方程的根.

20.已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有

考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分.

(1)求A地考生的数学平均分：

(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学

平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明.

【岑案】(1)86；(2)不能，举例见解析.

【解^5]

【分析】本小题考查加权平均数等基础知识，

(1)根据平均数的概念求解即可；

(2)根据平均数的意义求解即可.

【小问1详解】

—x(90x3000+80x2000)=86

由题意，得A地考生的数学平均分为5000

【小问2详解】

不能.

举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为

-3-x(94xl000+82x3000)=85

4000

因为S5<S6,

所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.

21.如图，已知二次函数>'=l+bT+c的图象与1轴交于48两点，与J轴交于点C,其中

X|-2.0).C(0-2)

(1)求二次函数的表达式;

(2)若尸是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段F。交'轴于点0•△产的面积是

△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.

【答案】⑴尸—+

②㈠.旬

【解析】

【分析】本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质二元一次方程组、一元二次方程、三角形面

积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转

化思想等.

(1)根据待定系数法求解即可；

(2)设尸(加M,因为点P在第二象限，所以巾＜0・"°.依题意，得Sg,即可得出

—=2,

C。,求出花=?C0=4,由析+m-1=4,求出即可求出点尸的坐标.

【小问1详解】

解：将代入户F+6K+C,

4-»+c=0

得I,

b=I

解得k=T,

所以，二次函数的表达式为F=」+x-2.

【小问2详解】

设因为点尸在第二象跟，所以

-BDn

«^2_____=2

彳一=2三BDCO—

依题意，得.3，即2，所以.

由已知，得0°=2,

所以“=2。。=4.

由用‘+巾-2=4,

解得叫=-3.啊=2(舍去)，

所以点P坐标为.34).

22.如图，已知直线4/4.

/1

-------------------------------h

（1）在所在的平面内求作直线，，使得且/与4间的距离恰好等于，与4间的距离；（要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若4与4间的距离为2,点4•员C分别在’44上，且为等腰直角三角

形，求的面积.

【答案】（1）见解析：

5

（2）d铝C的面积为1或？.

【解析】

【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定以及分类讨论思想：

（1）先作出与儿4垂直的垂线，再作出夹在儿4间垂线段的垂直平分线即可；

（2）分皿。=90。,抬=4?；ZABC=9O°.B71=5C：乙4cB=90℃月二C3三种情况，结合三

角形面积公式求解即可

【小问I详解】

解：如图，

直线，就是所求作的直线.

【小问2详解】

①当®C=900,48=时，

7NkNk,直线4与4间的距离为2,且/与4间的距离等于/与4间的距离，根据图形的对称性可

知：BC=2,

AB=AC-

=4C=1

②当—ASC=90°,BA=BC时，

分另IJ过点4c作直线4的垂线，垂足为时”

乙必四=4M7=90。.

7"kNk,直线4与4间的距离为2,且J与4间的距离等于J与。间的距离,

:.CW=2,AW=1

•・・ZA^+ZXW=90。，ZNBC+ZABM=90。,

£MAB=£NBC^AMB92BNC,

BM=CN=1.

在RadBM中，由勾股定理得趋'=

AB■器

6

C

5

综上所述，/°沱面积为1或2.

-bc

.3力+£»=-.加力=一

23.己知实数明瓦加切/满足aa.

（1）求证：9-1”为非负数；

（2）若°•瓦°均为奇数，","是否可以都为整数？说明你的理由.

【答案】（1）证明见解析：

（2）.,"不可能都为整数,理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意得出b=进而计算9-lie,根据非负数的性质，即可求

解；

（2）分情况讨论，①用”都为奇数；②用.为整数，且其中至少有一个为偶数.

【小问1详解】

2.bc

解：因为Q。，

g”6:aIMi+〃I,c=amn

所以.

则-12ac=（^（Sm+n））3-12a2mn

=a2（9m3+6WJ+n3i-12o:mn

=a2（9m3—6mn+n31

=a"（3rn-n）*

因为am”是实数，所以/（3*〃）%0,

所以9一1”为非负数.

【小问2详解】

""不可能都为整数.

理由如下：若都为整数，其可能情况有：①力，力都为奇数；②巾潭为整数，且其中至少有一个为偶

数.

①当"・力都为奇数时，则3m+〃必为偶数.

又珈+"='所以—吐

因为。为奇数，所以‘‘•+叫必为偶数，这与6为奇数矛盾.

②当切.为整数，且其中至少有一个为偶数时，则巾正必为偶数.

又因为。，所以c二。皿.

因为a为奇数，所以。两勿必为偶数，这与c为奇数矛盾.

综上所述，制/不可能都为整数.

【点睛】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意

识等，考查综合应用所学知识分析、解决问题的能力：考查化归与转化思想、分类与整合思想等.

24.在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸一萌8,要求大家利用它制作一个底面为正方形

的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中依=烟），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成

一个礼品盒，如图3所示.

B-------------CBj

图1图2图3

AD

（1）直接写出月8的值；

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别卬有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择

的纸盒展开图图样是（）

图4

(3)

卡纸型号型号I型号n型号HI

规格（单位：

30x4020x8080x80

cm）

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整43,E尸的比例，制作棱长为10cm的正方

体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的

张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情

况），给出所用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不

要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用k纸的数量及总费用直接填在答题R的表格上；④本题将综合考

虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费月最低的才能得满分：⑤试卷上的卡纸仅供

作草稿用）

F号I型号H

」-----------so.-------------_4

一号m

【答案】（1）2；（2）C：

（3）见解析.

【解析】

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关

知;只是解题的关键.

（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH-DH,四边形笈瓦6』是正方形，得到=E尸，

即即可求解；

（2）根据几何体的展开图即可求解；

（3）由题意可得，每张型号川卡纸可制作10个正方体，每张型号H卡纸可制作2个正方体，每张型号

1卡纸可制作1个正方体，即可求解.

【小问I详解】

解：如图：

由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

•・•四边形丽M是正方形，

:.RM=EF,即4。~3月，

；.GH+47=AE+FB+EF,即AH-AB,

•:AH=DH,

AD_AH+DH/

•­•'AB~~AB-".9

AD

・•.Q的值为：2.

【小问2详解】

解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的

字中间相隔一个几何图形，且字体相反，

・・・C选项符合题意，

故选：C.

【小问3详解】

解：

型号

卡纸型号型号H