2026高考数学一轮复习讲义：复合函数的零点问题（答案）

复合函数的零点问题

课前学习任务

一、必备知识

对于嵌套型复合函数y=Xg(x))的零点个数问题，求解思路如下：①确定内层函数〃=g(x)和外层函数y

②确定外层函数y=7(〃)的零点〃=%•(，=1，2,3,,〃)；③确定%(i=l,2,3，…，及)与内层

函数〃=g(X)图象的交点个数分别为41，。2,。3，…，%，则函数y=/Cg(X))的零点个数为。1+。2+〃3+…+

斯.

课堂核心考点

考点一内外自复合型

例1(2024•金华义乌三模)若函数Hx)=x+=,则方程用*))=3的实数根的个数为(D)

A.2B.3

C.4D.5

x+-,x>0,

【解析】f(x)=x+^=当xVO时，3贝lJ/(x)=l+E>0,此时兀x)=%—/

x—px〈0,

ii—[

在(一00,0)上单调递增；当％>0时，/)=%+丁则/(%)=]—芦=-工2"，故当X>1时，/(工)>0,当OVx

<1时，/(x)<o,故yu)=x+：在(0,1)上单调递减，在(1,+切)上单调递增.画出函数兀I)的大致图象和

直线y=3如图(1)所示,令x-J=3,x<0,得的=^~~令x+J=3,X>0,得&=3卓,乃=3-^7^,

故X1G(—1,0),尤26(0,1),尤36(2,+8).令五X)=r,则八。=3,且fiG(—1,0),f2e(0,1),勾6(2,+

oo).如图⑵,当加0="(一1,0)时,结合图象可知，只有1个解X4；当式X)=t2d(0,1)时，结合图象可知,

只有1个解X5；当/U)=BG(2,+oo)时，结合图象可知，有3个解X6,Xi,X8.综上，方程胭x))=3的实数

根的个数为5.

冲山一],%>0,

变式1(2024.合肥三模)设qGR,函数於)=2.一二若函数尸为㈤)恰有5个零点，则

[X7十CLX，X0，

实数〃的取值范围为(D)

A.(-2,2)B,(0,2)

C.[—L0)D.(—00,—2)

【解析】设/=黄工)，当后0时，危)=2层1,此时仑0.由加)=0得£=1,即危)=2以川一1=1,解得

%=0或x=2,所以>=欢功在[0,+oo)上有2个零点.当无V0时，若定0,可作出函数4x)=一—+双的

大致图象如图(1)所示，此时/(x)=—f+〃x<0,即1V0,则人。<0,所以式。=0无解，贝h=/U)无零点，

y=A"))无零点.此时y=/a功只有2个零点，不符合题意.若〃V0,此时可作出40的大致图象如图(2)

所示，令一於+〃=0,解得/=。<0«=0舍去)，显然«x)=a在(一8,0)上存在唯一负解，所以要使y=A/(x))

恰有5个零点，需7@>1，即一号+竽>1,解得。<—2,即。的取值范围为(-8,-2).

图⑵

(变式1答)

考点二内外双函数复合型

QX—9,

c若方程g(/(x))=o有四个不等的实数根，则实数

{a2x,X0,

〃的取值范围是(D)

A.(-4,0)B.(0,4)

C.(~00,—4)U(0,+oo)

D.(―8,0)U(4,+co)

【解析】由题意，当〃>0时，由g⑺=0,解得£=0或/=a.又由g(/(x))=0,可得«r)=0或

此时方程火x)=0有两解，方程有两正解时，/="—4〃>0,解得〃>4.当〃=0时，由g(/(x))=0,

即加)=0，可得％2=0只有一解.当。<0时，由g«)=0得£=0或/=,.又由g(/(£))=。可得危)=0或危)

=*方程八尤)=0有两解，只要五x)=g有两解即可，即方程X2—依+胃=0有两解，则“2—2°>0,解得a<

0.综上，ad(—oo,0)U(4,+oo).

变式2设函数g(x)=2叫若方程Hg(x))=t有四个实数根，则实数f的取值范围是

(B)

A.(-1,+oo)B.(-1,0)

C.(-1,1)D.(0,1)

【解析】g(x)=2凶是偶函数且x<0时g(x)单调递减，x>0时g(_r)单调递增.设m=g(x)G［l,+oo),

犬g(无))=/即近7%)=3方程犬g(尤))=/有四个实数根，必须机=g(f)有两个不等实根，且_/(，")=/有两个不等

实根，即八根)=f,me(l,+oo)有两个不等实根.又“Onr—Ax+B在(1,2)上单调递减，在(2,+◎上

单调递增，八1)=汽3)=0,犬2)=—1,若有两个大于1的不等实根，必须te(—1,0).

考点三二次型因式分解

.2x八

二T烂3

例3已知函数«r)=若关于x的方程#(x)+(l—加次x)一m=0有且只有两个不同的

In%、八

x>0,

实数根，则加的取值范围是(C)

A.&2B.(-00,O)U(j,2)

-1)U(-1,0)U&2D.(-00,0)咤，1)U(1,2)

【解析】当x>0时，於)=(，则/(x)=’虑)=］於)在(0,e)上单调递增，在［e,+oo)上单

调递减.当烂o时，式X)=2gr=2+言9，则式x)在(一00,0］上单调递减，且犬x)<2.画出函数式尤)的大致图

象如图所示./(尤)+(1—%求尤)一机=0,即8无)一机)6>)+1)=0,当/(x)=—1时，根据图象知有1个解,

故五x)=根有1个解，根据图象知根G(—g,-1)U(-1,0)U(j,2

(例3答)

fe*9x0,

变式3已知函数加)=,；,2;其中e为自然对数的底数，则函数g(x)=3/(x)—1Q/U)

〔4『一6『十1,x>Q,

+3的零点个数为(A)

A.4B.5

C.6D.3

【解析】当后0时，人元)=4?—6f+1,了劣=12^—12x,当0<x<l时，了㈤<0,八尤)单调递减，当

尤>1时，了(尤)>0,大x)单调递增，可得7U)在尤=1处取得极小值，极小值为一1,且八0)=1,故可作出函

数/(x)的大致图象如图所示.g(x)=3f(x)—lOf(x)+3,可令g(x)=O,/=/(尤)，可得3户—10r+3=0,解得f

=3或k/当右/时，於)=上有3个实根，即g(x)有3个零点；当t=3时，段)=3有1个实根，即g@)

有1个零点.综上，g(x)共有4个零点.

(变式3答)

考点四二次型根的分布

12仅+21—2,—4<A<——1,

例4已知式x)=「一一’若函数g(x)=/(x)—7班X)—1恰有5个零点，则实数优的

〔log2(X十1),—1<X<4,

取值范围是(B)

A.(0,|)B.(0,|

C.(0.2)D.(0,2］

【解析】作出函数八工)的大致图象如图所示，令於)=%,则由图可知，当££(—00,-1)U(2,log25］

时，方程;(%)=£只有1个根；当段{—1}U(O,2］时，方程兀1)=£有两个根；当/£(T,0］时，方程#%)

=/有3个根.显然/=0不是方程及一加一1=0的根；若。=一1是方程》一加一1=0的根，则机=0,此

时/=±1,结合图象可知，此时方程1%)=1和方程/(x)=—l共有4个根，则函数g(x)有4个零点，不满足

题意.所以且⑴二产⑴一颂x)—1恰有5个零点等价于方程/(%)=力恰有5个实根，等价于方程t2—mt—l=

7i(—l)=m>0,

3

0的一个根在(一1,0)内，一个根在(0,2］内.令h(t)=F—mt—l,则j/z(0)=—1V0,解得0<m与.

、版2)=4—2机一G0,

(例4答)

[|2X+2-1|,烂0,

变式4已知函数若关于X的方程f(x)+2/a)+4=0有6个不同的实数根，

则机的取值范围是(A)

「13八

A.(-00,—5)”—至，-4J

B.[「一13?,-4八)

13],

C.(4,—Ju(5,+oo)

D.(r4,y13j1

【解析】画出/(x)的大致图象如图所示，令t=£x),则先讨论户+皿+4=。的实数根.当/=加2—4x4

＜0,即一4＜优＜4时，不合题意.当/=能2—4*4=0,即优=±4时，易得/=2或/=一2,此时当於)=2

或其尤)=一2时，不满足有6个实数根，不合题意.故/=疗―4义4＞0,即机＞4或机＜-4.设户+加/+4

=0的两根为公勿不妨设由韦达定理得切2=4,且f2先.当〃＜0,亥＜0时，八%)=6与人尤)

=叁均无实数根，不合题意.当勿＞0,打＞0时，①若则会＞4,此时人元)=/1有4个实数根，人功

=叁有2个实数根，符合题意；②若1＜?1＜2,此时处0=九有3个实数根，则加0=攵有且仅有3个实数根，

止匕时2＜处3,故铲九＜2.综上可得，0＜九＜1或铲九＜2.又。+女=一机，故机=一9+切=—0+).结合y

=t+3在(0,2)上为减函数可得加=—在(0,1),2)上为增函数，故相e(—co,—5)U—竽，一4).

(变式4答)

课后提升练

1.已知函数兀0=

【解析】作出函数/(X)的大致图象如图所示.由3=1解得尤=ln4,由2—(x+l)2=l解得无=—2

或x=0.令胭X))—1=0,得穴/⑴)=1,则於)=—2或於)=0或於)=ln4.结合图象可知：当危)=—2时，

有1个解；当式x)=0时有2个解；当式x)=ln4时，由于l<ln4<2,所以有3个解，故y=Mx))—1的零

点个数为6.

/-2-1OI

(第1题答)

lg\x—2\/2,

2.已知/(%)=：f若关于X的方程/(x)+勿(x)+c=0恰有3个不同的实数解为，X2,%3,

[1,x=2,

则人为+必+乃)等于(C)

B.lg2

C.1g4D.1

【解析】作出外)的图象如图所示，方程恰有3个不同的实数解，则只能"%)=1.由lg|x—2|=1,得

元=12或%=-8,不妨设为<%2VX3，因此即=-8,X2=2,刈=12,则/(阳+工2+工3)=/(6)=坨4.

(第2题答)

117

3.已知函数危)=x+1+〃，且(%)=必一6%+5,当〃>7■时，方程yCg(x))=0根的个数为(C)

【解析】令/=g(x)=f—6x+5,贝!J仑一4,所以/(。=0,即/+7+〃=0u2+成+l=0①.因为/=a2

—4>0,所以方程①有两个不相等的实根t\,ti,不妨设介V/2.因为(一4)2+〃(-4)+1=—4〃+17V0,且

2

0+«.0+1>0,所以介〈一4(舍去)，-4<t2<0,所以》2=f—6x+5(—4V/2〈0).由于函数y=/2与函数y

=d—6x+5图象有两个交点，所以方程式g(x))=0根的个数为2.

f71

1—sin2^,0<x<2,

4.(2024・绵阳模拟)已知八工)是定义在R上的奇函数，当1>0时，危)=|若关

匕”—2),x>2.

于x的方程/(尤)一(a+1)处0+。=0(。e11)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为(C)

A.-4B.8

C.—4或8D.4

1T

【解析】八X)是定义在R上的奇函数，则x=0时，犬0)=0.由题意知当。〈立2时，兀0=1—sin'X,

当2<店4时，0<x—2/2,则2)=31—sin](x—2)]]；当4<烂6时，2<尤一254,则式尤)=货了

—2)=^1—sin枭-4)]1,以此类推，可作出当x>0时，段)的大致图象如图所示.设段)=3则汽尤)一

(a+l)/(x)+a=0(aeR)即为产一(a+l)f+a=0(aGR),解得t—1或.当t—\时，«r)=l有一个根为xi

=2,要使得方程f(x)—(a+lVU)+a=0(aeR)恰有4个不相等的实数根，可分两种情况考虑：当f=a=；

时，犬尤)=；有3个根，不妨设为X2，尤3，尤4，且满足X2+X3=2,X4=4,此时这4个实数根之和为8.结合函

数的奇偶性可知，当f=a=-3时，Kx)=-3有3个根，不妨设为X5，X6,无7，且满足片+为=-2,X7=—

4,此时这4个实数根之和为一4.

5.(多选)已知函数兀0=(1(3工+3)+/-2b无，若函数y=/(x)与函数y=/(/(x))的零点相同，则a~2b的取

值可能是(AC)

A.2B.-2

C.0D.4

【解析】设式X)的零点为xo,贝Uy(xo)=O,又心xo))=O,故人0)=0,解得。=0,贝2bx,胭X))

=(/-26x)(/—2—一26).因为函数y=/(x)与函数y=/i»)的零点相同，所以方程r一2加一2b=0无解或与

方程r-ZbxnO的解相同，所以/=4〃+86<0或6=0,解得一2〈后0,所以0%—2b<4.结合选项，a

—26的取值可能是0,2.

|仅+1|-1],-0,

6.(2024•昆明模拟X多选)已知函数五%)=<x、八若方程/(%)+2吠x)—〃=0有五个不相等

后？x>。，

的实数根，则实数。的值可以为(AB)

A.13B.—2

C.-1D.0

—x,—l<x<0,

x+2,—2VxV—1,

【解析】由题知本)=(—X—2,x<~2,作出八x)的图象如图所示.令兀0=3则g⑺=»

「一土X>0,

o<n<i,

+2〃-a.若方程有五个不相等的实数根，则g⑺有两个零点分别为小d由图象可知即

幅(0)>0,1—40,

可得,解得a<—1,结合选项，。的值可以为一3,-2.

[g(l)V0,-\-a<0,

九

2-

-3-2-1O\12x

(第6题答)

[-X2-2x,烂0,1

7.已知函数兀0=",、八则方程用a))=2的所有根之积为一二.

L|log2%bX>0,士

【解析】令力=/(%)，由欢x))=2可得#。=2.当日0时，由犬。=—z12—2£=2,即5+2/+2=0,则力

=4—4x2<0,方程»+2/+2=0无解.当/>0时，由财=|log2/|=2,可得/=^或£=4.①当仁;时，当它0

I1—2+*\巧—2—、巧1

时，由/(%)=—^2-2%=^可得«+2%+[=0,解得%i=----2丫,必=----2丫'贝U为%2=不当%>0时，由

1-_1

兀月=|1082刃=4可得为=24,入4=2工，则％3工4=1.②当力=4时，当它0时，由八X)=—X2—2x=4可得/+

2x+4=0,J=4—4x4<0,方程J?+2X+4=0无解.当x>0时，由«x)=|log2x|=4可得九5=2、％6=2”，

则X3%4=1.因此方程用(x))=2的所有根之积为X1X2X3XU5X6=1.

2

8.已知函数次次)=I一f+3,g(x)=/(x)+。，若函数y=/Cg(x))有6个零点，则实数人的取值范围为0—

+oo)・

772(1+九)3

【解析】因为«x)=1—^+3,所以/(x)=一9一2x=——不一,故当x<—1时，/(x)>0,“r)单调

递增；当一IVxVO和I>0时，内»<0,八工)单调递减.又八一1)=犬2)=0,所以函数兀I)有两个零点分别

为一1,2,可作出人B的大致图象如图所示.因为函数人以功有6个零点，所以g(x)=-1与g(%)=2的根

共有6个，所以1%)=—1—Z?和/(x)=2—b都分别有3个实数根，则一1—AVO且2—6V0,即6>2.

(第8题答)

9.已知函数兀x)=max[T，x+g,若关于尤的方程了(尤)一浜x)+4=