2026年高考数学一轮总复习（人教A版）正弦定理和余弦定理（含解析）

第四章第6讲正弦定理和余弦定理

2026年高考数学一轮总复习（人教A版）

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.正、余弦定理

在VA8C中，若角A,B,。所对的边分别是小h,c,E为VA8C外接圆半径，则

定理余弦定理正弦定理

a2=___;

公式从=_；-^—===2R

sinA——

c2=__;

(1)a=2/?sinA,b=___,c=___；

cosA=___；

常见(2)sinA=—,sin8=___,sinC=—；

cosA=___；2R—2R

变形(3)a:b:c=___；

cosC=___

(4)asin8=/?sinA,〃sinC=csinB,asinC=csinA

2.在VABC中，已知〃和4时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

zL

i/Cx(：

zA

图形

A'--.........JR

4的、"...JBAJR

4R*

关系式a=bsin2\bsin2\<a<ba>ba>ba<b

解的个

———

数——

二、判断题

3.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（）

4.在VA8C中，“sinA>sin8”是的充要条件.[）

5.在VA3C的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（）

6.当力2+02一/>0时，VA3c为锐角三角形.（）

三、单选题

7.在VA3C中，已知b=4,c=3,则cosA=()

B.立C.且

A.)D.

2222

8.在VA5C中,A=60。，Sb=4五,则8等于（）

A.45。或135c>B.135°C.45°D.60°

9.在VABC中，已知A=60"。=26，b=2,则4=()

A.30,或150,B.60,C.30,D.60或120°

若/=£2空，则VA8C的形状为（）

10.在VABC中,

bcosA

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

11.在VABC中,A=1,BC=&,AC=O，则角方为()

c乃c兀71

A.£B.—C.一D.

6432

12.在VA3C中,(a+c)(sinA-sinC)=b(s\nA-sinB),则NC=()

、兀-2兀571

A.£B.-C.—D.

6336

四、解答题

9a2

13.在VA8C中，COSB=7，Z?=5,-=

16c3

⑴求。；

(2)求sinA；

⑶求8s(B-2A).

答案第2页，共13页

五、单选题

14.在VA6C中，A,B,C所对的边分别为小瓦c,若-及=d-6儿且bcosC=asinB,

则V/IAC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形

D.直角三角形

15.在V48C中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若"一弋=半,则VA5c的

a-ccosBsinA

形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

16.在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且//-i-c2=a2+bc,若sinBsinC=sin:A，

则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

17.在VA8c中，角A,B,C所对的边分别为且成等比数列，设VA/6C的面

积为S,若"cos8=士更S,则V4BC的形状为（）.

3

A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

六、解答题

18.记VA8C的内角A8C的对边分别为已知VABC的面积为白，D为BC中点,

且AD=1.

(1)若ZAOC=E,求tan8：

3

⑵若b2+c2=8,求b,c.

19.在VABC中，a=7,A为钝角，sin=—/?cos«.

7

⑴求NA；

⑵从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求VA8C的面枳.

①/=7；

13

②cos8=—；

14

③csinA=—\/3.

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

答案第4页，共13页

参考答案

题号78910111214151617

答案ACCDBBAACC

b

1.b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b~-2abcosC

sinB

cF+c?c2+a2-b2a-+b--c~

2Asin“2RsinC

sinC2bclac2ab

sinA:sin8:sinC

2R

【分析】根据正余弦定理公式和变形，即可求解.

【详解】余弦定理的公式：a2=b'+c2-2Z?ccosA»b2=c2+a2-2«ccosB,

c2=a2-^-b2-2abeosC,

余弦定理成常见变形…8s八话产a2+b2-c2

cosC=

lab

正弦定理公式：丸去『心

正弦定理成常见变形(1)〃=2RsinA,》=2Rsin8,c=2RsinC,

(2)sinA=—,sinB=—sinC=—

2R2R2R

(3)t?::c=sinA:sin5：sinC»

(4)as\nB=bsinA,Z?sinC=csinB,«sinC=csin4.

故答案为：b2+c2-2/?ccosA；c2+a2-2cacosB；a341+Z?2-labcosC；――-；-；——

sinBsinC

2222222.22»

b+c-ac+a-b区上----—；2/?sinB；2火sinC；—；sinA:sinB:sinC

2bclaclab2R

2.一解两解一解一解无解

【分析】略.

【详解】略.

3.错误

【分析】举返例可判断.

【详解】三角形中三边为a=12=2,c=JL则4=gc=g,8=1,

632

所以〃：〃:C=1:2：G，A:B:C=1:3:2,所以错误.

故答案为：错误.

4.正确

【分析】根据题意利用正弦定理结合充分、必要条件分析判断即可.

【详解】在VA8C中，由正弦定理可知sinA>sin8等价于〃>〃，

所以“sinA>sin8”是“a>b”的充要条件.

故答案为：正确.

5.错误

【分析】根据当已知三个元素为三个内角时，三角形不确定即可判断.

【详解】当已知三个元素为三个内角时.，三角形不确定，故错误.

故答案为：错误.

6.错误

【分析】应用已知及余弦定理可知4是锐角，但对于V48c不能认为是锐角三角形，即可判

断.

1222

【详解】由02+C?-片>0，则COSA='+'———>0,且0<A〈7l,

2bc

所以只能说明A是锐角，但不能说明V43C为锐角三角形，故错误.

故答案为：错误

7.A

【分析】根据余弦定理，即可求解.

【详解】在VA8C中，已知〃=>/万，〃=4,c=3,由余弦定理，得

42+32-1316+9-13I

cosA=

2x4x3—~2

故选：A.

8.C

【分析】由人的度数求出sin八的值，再由。与。的值，利用正弦定理求出sin8的值，由

根据三角形中大边对大角得到A,利用特殊角的三角函数值即可求出8的度数.

【详解】・・・人=60。，Q=46，b=46,sinA=sin60°=-y»

•••由正弦定理一匕=一勺得：sinB.加吊A_4右x4_历,

sinAsmBsinV_--7=-----

a4432

■:b〈a,B<A,

贝ljB=45°.

答案第6页，共13页

故选：c.

9.C

【分析】运用正弦定理计嵬即可.

【详解】因为在VA4C中，A=60°，〃=2百，b=2,

b田.八AsinA2xsin60

由正弦定理一j,得sin8=---------=-------7=—

sinAsinBa2432

解得8=30°或3=150°,

又因为可得所以4=150“不符合题意，舍去.

可得3=30"故A,B,D错误.

故选：C.

10.D

【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可

判断

【详解】因为f二注，由正弦定理可得吗="?.即sinAcosA=sin8cos3,

bcosAsinBcosA

所以sin2A=sin2B,可得2A=24或2八+24=兀，

所以A=8或A+3=],所以VA3C的形状为等腰或直角三角形.

故选：D.

11.B

【分析】利用正弦定理求得正确答案.

6V2

【详解】由正弦定理得等二苦，即耳=痛，解得sin8==

sinAsinB—2

2

由于8C>AC,所以Bv3为锐角，所以8=：.

34

故选：B

12.B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(a+cXsinA-sinC)=b(sin)-sinB),

222

所以由正弦定理得3+c)(a-c)=b(a-b),即a-c=ah-b，

a2+b2-c2ab_1

则a2+b2-c2=ab，故cosC=

lab2ab2

又OVCVTT,所以。=1.

故选：B.

13.(1)4

⑵坐

4

⑶H

64

【分析】(I)设a=2A,则c=3&,利用余弦定理即可得到方程，解出即可;

(2)求出sin8,再利用正弦定理即可;

(3)根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式

即可；

Q〃2

【详解】(1)在中,cosS=弓，b—5,-=

16c3

设a=2%,则c=34，k>(),

.3=93-259

2x3kx2k16

解得左=2,

(2)由(1)得。=4,c=6,sin8=yjl-(―)2-,

45

由正弦定理得一二=々，即/万二工万，

sinAsinB——

16

解得sinA=^~.

4

(3)a<b,sinA=、^<^^=sin¥,A是锐角，且Avf,

4244

sin2A=2sin4cosA=2x-^-x./I—,

4V48

C0S24=^l7(1^7=l,

:.cos(B-24)=cos8cos2A+sin8sin2A

915>/73x/757

=X—d-----------X-----------=.

16816864

14.A

答案第8页，共13页

【分析】由/-。2C结合余弦定理可求得A=:,由Z?cosC=asin8结合正弦定理

可求得C=£,从而可判断出三角形的形状

4

【详解】由"一〃=<?一、％°,得/+C?-/="，(：，

所以由余弦定理得cosA="+——/=4羽=巫,

2bc2bc2

因为AW(OE),

所以A=g,

4

因为AcosC=asin4,

所以由正弦定理得sinBeesC=sinAsinA,

因为sin8。0,所以cosC=sinA=sir)Z=^^,

42

因为Ce(Ol),所以0=!，

所以8=兀一4一。=兀-2-2=四，

442

所以VABC为等腰直角三角形，

故选：A

15.A

【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得

sin2A=sin2«,故2A=2〃或者24+29=7，进而可判断出三角形的形状

【详解】因为竺竺彳=&，由正弦定理可得：萼包钙=当，

a-ccosBsinAsin/A-sinCeosHsinA

整理可得：sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin23,所以2A=28或者2A+28=%，

所以A=8或4+8=f,

而当A+4=q时则C=g,

所以三角形ABC为直角三角形，

所以c,cos8=a,

则之cosg=当中,这时a-cc0s3=0,分母为0无意义

所以A=3,

故选:A.

16.C

［分析］先依据条件从+c=a2+bc求得4=］，再利用sinBsinC=siirA可以求得〃=c,从

而判断△ABC的形状是等边三角形

222h+CCr

【详解】ZiABC中，b+c=a+bc',^icosA='~~=-=-

2bc2bc2

又OVAVTI,则A=g

由sin8sinC=sin2A,可得/=/?c，代入〃?+，=〃'+be

贝lj有"+d=〃c+bc=2bc,则（力一c『=O,则。=c

又4=^,则△ABC的形状是等边三角形

故选：C

17.C

【分析】根据题意，求得【an8=G，得到8=］，由。，瓦。成等比数列，得到，砒=从结合

余弦定理，求得（。-4=0,进而得到且人=〃，即可求解.

【详解】由accosB=2gs,可得accosB=冬叵乂1农节出B,解得tanB=75，

332

因为0<4<兀，所以8=；,

又因为〃八。成等比数列，可得«=

由余弦定理得〃=/+c2-2«ccosy,所以〃=a2+c2-ac,

因为牝二尸，所以（a-c）~=O,解得”=c，则/?2=次：=/，可得6=。，

所以〃=c=b,所以VABC为等边三角形.

故选：C.

IS.（O^y：

（2）Z?=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面积公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

用三角形面积公式求出。，作出8c边上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出小再利用三角形面积公式求出一人力C即可求解作答；方

法2,利用向量运算律建立关系求出。，再利用三角形面积公式求出-4。。即可求解作答.

答案第10页，共13页

7T

【详解】（1）方法1：在VABC中，因为。为BC中点，ZADC=~,AD=\,

1x/36

一〃x—=—a解得。=4,

228

在△44。中，NAQ8=牛，由余弦定理得。2=4b+4°2一2也）人。8§44。4,

即02=4+1—2x2xlx(—匕=7,解得c=V7,则cos8=7」7二卫,

22N/7X214

sinB=Vi-cos2B=

所以tanB=^O=^.

cosB5

方法2：在VABC中，因为。为中点，ZADC=\AD=\,

2,解得。=4,

则S.DC=l>4DDCsin^ADC=-^\^-a^—=—

222282

在△AC£>中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD-ADCQS/ADC,

即从=4+l-2x2xlxg=3,解得％=石，WAC2+AD2=4=CD2.则“人。以，

C=y>过A作AE_L8c'于£,于是C£=ACcosC'=a,/l&=ACsinC=3,BE=^

6222

所以tan3噎邛.

c2=：/+l-2xgaxlxcos(7t-Z.ADC)

（2）方法1：在△44。与么46中，由余弦定理得1

b2=-tz2+l-2x—t/xlxcosZ.ADC

42

整理得：/+2=〃+。2,而y+。2=8,则a=26,

又53Aoe=gx石x1xsinZ.ADC=与,解得sinZADC=1,而0<ZADCv兀，于是Z.ADC-y,

所以〃=〈="£)2+5=2.

方法2：在VA8C中，因为。为8C中点，则2而=通+祝，又屈=福一配,

于是44^+C天=(A*+AC)2+(A8一43)2=2(6+廿)=16，即4+/=16，解得4=21

又SAnr=—x-s/SxlxsinZ.ADC=^~,解得sinZADC=1,而0vZADC<兀，于是ZADC=—,

4只,人229

所