2026年高考数学一轮复习：平面向量基本定理及坐标表示（讲义）解析版

专题5.2平面向量基本定理及坐标表示(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型I基底的概念及辨析】..........................................................................3

【题型2用基底表示向量】............................................................................5

【题型3利用平面向量基本定理求参数】..............................................................7

【题型4平面向量的坐标运算】........................................................................9

【题型5向量共线的坐标表示】.......................................................................11

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】...........................................12

1、平面向量基本定理及坐标表示

考点要求真题统计考情分析

平面向量是高考的重点、热点内容，

2023年天津卷：第14题，5属于高考的必考内容.从近几年的高考

(1)了解平面向量基本定理及

分情况来看，平面向量基本定理、平面向

其意义

2024年新课标I卷：第3题，量的坐标运算是高考的热点内容，主要

(2)掌握平面向量的正交分解

5分以选择题、填空题的形式考查，难度较

及其坐标表示

2024年全国甲卷(理数)：第易；有时也会与三角函数、解析几何结

(3)会用坐标表示平面向量的

9题，5分合出现在综合性大题中，难度中等.学生

加法、减法与数乘运算

2024年上海卷：第5题，4分在高考复习中应注意加强对向量的线性

(4)理解用坐标表示的平面向

2025年全国二卷：第12题，5运算法则、向量共线与垂直的条件的理

量共线的条件

分解，熟记平面向量的相关公式，灵活进

行求解.

知识梳理

知识点1平面向量基本定理的探究

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,E是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量五，有且只有一对实数Z,22,

使a=九4十九七.若修，G不共线，我们把｛修，G｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可■将任•向新在给出基底｛2，［｝的条件下进行分解——平面内的任•向量都可

以用平面内任意不共线的两个向量线性表示,这就是平面向量基本定理的实质.

2.应用平面向量基本定理求向量的实质

应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.•

般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

3.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都

是唯一的.

知识点2平面向量坐标运算及其解题策略

1.平面向量的正交分解及坐标表示

（1）T交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正

交分解.

（2）向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为:，取行，力作为基底.对于

平面内的任意一个向量优由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数小y,使得五=/+»这样，平面内

的任一向量方都可由x,y啡一确定，我们把有序数对（x,用叫做向量石的坐杨，记作刁=（xj）①.其中x叫做力

在工轴上的坐标，F叫做五在y轴二的坐标，①叫做向量W的坐标表示.

显然，1=（1,0）,/=（0,1）,0=（0,0）.

（3）点的坐标与向量的坐标的关系

表示形

向量五=（叼，）中间用等号连接，而点4卬，）中间没有等号.

式不同

区点力（x,y）的坐标（XJ，）表示点A在平面直角坐标系中的位

别

意义宜，层=（xj，）的坐标（XJ）既表示向量的大小，也表示向量的

不同方向.另外，（XJ）既可以表示点，也可以表示向审，叙述

时应指明点（xJ）或向量（x,y）.

向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起

联系

点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

2.平面向量线性运算的坐标表示

C）两个向量和（差）的坐标表示

由于向量4=（X|M，力=（彳2,经）等价于a=工"+必］，1=必”'+'2），所以a+b=（阴+必/）+

（•bi+歹2，）=（工1+X2）i+（y+月）J，即5+1=（M+必,凹+外）.同理可得；-b=（xi—x2,yi-y2）.

这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.

（2）向量数乘的坐标表示

由五=（闪）,可得。=xi+y）,则4。=+'/）=&，+Ayj,即入a=（Zr,Ay）.

这就是说，实数与向量的枳的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

3.共线的坐标表示

（1）两向量共线的坐标表示

设1=（为,%，%=（*,»），其中忌0.我们知道，优方共线的充要条件是存在实数人使祗工.如果用坐标表

示，可写为（XQ1）=4X2,%），即＜"—消去九得汨外一必凹=0.这就是说，向量苍，石（1#0）共线的充

凹=2y2

要条件是X1%一不乃=0.

（2）三点共线的坐标表示

若/（XQ1）,8（%%），。（孙》3）三点共线,则有方=2数，从而（必一凡力一珀=2（对一必必一切），即

（工2—X。（乃—"）=（内—x2）（y2-乂），

或由方="就得到（必一M）或一必）=（不一M）（乃一凹），

或由就=yBC得至1」（当一汨）（乃一y2）=（x3—x2）（为一切）.

由此可知，当这些条件中有一个成立时，48,C三点共线.

4.平面向量坐标运算的技巧

（1响吊的坐标运算主要是利用向最加、减、数乘运算的法则来遂行求解的，若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来讲行求解.

【方法技巧与总结】

1.若云与石不共线，且）、a+g=0,则2=〃=0.

2.已知P为线段4B的中点，若题汨,凹），伙不,以），则Q点坐标为

3.已知△ABC的重心为G,若4g,y）,倒、?,乃），。（不,外），则G/十；十不,-十？十二）.

举一反三

【题型1基底的概念及辨析】

【例1】（2025•上海浦东新•三模）给定平面上的一组向审可、否则以下四组向晟中不能构成平面向量的基

底的是（）

A.2国+瓦和可一匹B.可+3可和可+3可

C.3可一皆和2筱一6五D.可和西+行

【答案】C

【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.

【解答过程】对A：不存在实数；I,使得2可+与=4（百一军），

故2元+逵和瓦-瓦不共线，可作基底；

对B：不存在实数；I,使得匹+3孩=2（直+3功，

故瓦+3瓦和可+3瓦不共线，可作基底；

对C：对3国-孩和2可-6可，因为可，蔽是不共线的两个非零向量，

且存在实数一2,使得2尻-6西=-2（3打一①），

故3国一五和2a一6q共线，不可作基底；

对D：不存在实数九使得百=4（可+可），故式和瓦十五不共线，可作基底.

故选:C.

【变式1-1]（24-25高一下•湖北黄冈•期中）若无，①是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不

能作为平面内所有向量的一组基底的是（）

A.可与否一瓦B.匹+2可与2否+冕

C.可―2可与瓦+2,^2D.6可-34与。2-2打

【答案】D

【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.

【解答过程】因为耳，哀是平面内一组不共线的向量，

设己2二泥1，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；

设21+2己=4（2面+襁），则[入=]无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误;

12=1

设面+2&=4@1-2&）,则无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；

6瓦-3蔡=-3（孩-2可），（6百-3遂）〃（运一2可），不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确:

故选：D.

【变式1-2]（24-25高一下•江西景德镇,期中）若回后｝是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平

面问量的基底的是（）

A.｛元一蔡，筱一2耳）B.｛西一瓦，可一g瓦｝

C.｛2筱一3区,6国一4与｝D.｛药+芍，药+3与｝

【答案】C

【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.

【解答过程】对于A,设存在唯一的实数入使无一匹二人（可一2百）=入瓦-22百，

贝Wit：/，此方程无解，故｛云—可，a-2元｝能作为平面向量的基底，故A不符合题意；

对于B,设存在唯一的实数2使可一诺二入（再一g石）=2百一）可，

1=4

则_1二1力，此方程无解，故｛可-瓦，区-g可惟作为平面向量的基底，故B不符合题意;

对于C,由6国-4瓦=-2（2瓦-3百），所以2筱一3瓦与65-4京共线，

故｛2芍-3匹,6匹-4互｝不能作为平面向量的基底，故C符合题意：

对于B,设存在唯一的实数/I使药+3筱=Z（e；+/）=%/+A区，

则｛；二;，此方程无解，故｛编+瓯区+3筱｝能作为平面向量的基底，故D不符合题意.

故选：C.

【变式1-3]（24-25高一卜•河南•期中）若乙方是平面内一组不共线的非零向量，则卜列也可以作为一组基底

向量的为（）

©a-石和2025%-2025a@a+石和力-b

③3苍一21和2苍-3b@a-3了和6b-2a

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.

【解答过程】对于①中，由五一E和2025石一2025优可得2025万一20253=一20250—石），

所以五一石和2025了一2025元是共线向量，不能作为一组基底向量；

对于②中，设方+石=/10-石），可得｛，[L），方程组无解，

所以2+石和近一石不共线，可以作为一组基底向量；

对于③中，设3五一2万二〃（2/35），可得｛一北22,方程组无解，

所以3a-2了和万一3石不共线，可以作为一组基底向量；

对于④中，设五一3l=m（6石-2砌，可得｛/解得租=一号

所以苍-和6石-2五是共线向量，不能作为一组基底向量.

故选：B.

【题型2用基底表示向量】

【例2】（2025•海南三亚•一模）已知/18C0为平行四边形，E为CD的中点，记说=瓦而=石，则籥=（）

A.a+^bB.a-^bC.-^a+bD.-^a-b

【答案】C

【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【解答过程】因为E为CD的中点，所以而=g而，

所以说=BC+CE=BC+1CD=AD-^AB=-^a+b.

故选：C.

【变式2-1］（2024•山东济南•二模）在△4BC中，E为边A8的中点，丽=|丽，则屁=（•

A.--AB+^ACB.yAB+^-AC

6363

C.^AB+^ACD.^AB-^AC

6363

【答案】D

【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.

【解答过程】因为E为边力8的中点，丽=|近，

所以瓦=DB+BE=^CB-^AB=^（AB-AC）-g而=^AB-1而.

【变式2-2］（2025•甘肃庆阳•一模）在平行四边形/4CO中，AB=2AE,BF=2BC,则丽=（）

A.2AB+-2ADB.-2AB+-2AD

C.-2AB+2ADD.2AB+2AD

【答案】c

【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.

【解答过程】

如图：~EF=~EB+~BF=^AB4-2AD.

故选：C.

【变式2-3X2024福建福州模拟预测）如图，梯形/WCD的腰CD的中点为Z7,且。C=3AD,记而=沆，而=五,

则BE=()

-m+2nC.-2沅+》D,+

【答案】A

【解题思路】根据图形，利用向量的儿何运算得到而=-访-2%，即可求解.

(解答过程】因为3c=3ADf又同+BC+CD+DA=O,所以而=-AB-BC-DA=-m-3n+n=-m-

2n,

又E为腰CD的中点，所以近=JC+CE=BC+1CD=3n--n=--m+2n,

4LL

【题型3利用平面向量基本定理求参数】

【例3】(2025•湖南•三模)在△ABC中，点。是线段BC上一点，若说=4灰，而=；府+,石，则实数4=

44

()

【答案】D

【解题思路】由向量的线性运算得而二(1-2)而+4；花，结合平面向量基本定理即可得解.

【解答过程】因为丽=/I近，

>

所以荷=AB+BD=AB+ABC=AB+A(<-AB+AC)=(<1-/)而+AAC,

因为而=；万+：而，所以入=：.

444

故选：D.

【变式3-1](2025•安徽•模拟预测)已知在△ABC中，点D满足4DB+3DC=0,设而=AAB+〃尼(尢〃eR),

则4+2〃=()

cW

A.1B-IJ7D.2

【答案】C

【解题思路】由平面向量基本定理结合4砺+3尻=6,可得瓦=：前，而=-彳前,再由同=入同+

〃版（尢〃6/?）,即可求出2+24的值.

【解答过程】由4而+3反=6,可得前=?近，而=-?近，

则而=AB+BD=AB+^BCfAD=AC+CD=AC-轲,

则2而=而+尼一萍=四+而函-砌=海+师

故亦=；而+讨，

所以4+2〃=g+2x'=与

故选：C.

【变式3-2］（2025•陕西铜川•模拟预测）在4力8。中，点。为线段BC的中点，点E满足在=2EA,若而=AAD+

〃丽，贝4的值为（）

A"C--D.V

。2

【答案】D

【解题思路】利用平面向最基木定理根据题意将荏用而，前表示出来，从而可求出入卬进而可求得结果.

【解答过程】因为点。为线段8C的中点，点£满足胃=2瓦5,

(AD=^(AB+AC)

所以］2AD=AB+AC

所以屁=AE-AB=/-AB

3BE=AC-3AB

消去而，得2而一3露=4而,

所以而=\AB-^-BE=AAD+熊

24

所以4=H=-1,所以a+〃=_(.

故选：D.

A

E

BD

【变式3-3](2025•北京朝阳•二模)在矩形71BC。中,IB1=2,AB=遮，点E为线段AD的中点,BE

与4c交于点E设而=心5+心祓(ki，&ER)，其中可，芍分别是与前，前方向相同的单位向量，则()

A.的=:也=乎B.的=?也=：

C.卜1=/#2=『D.kx=\,k2=1

【答案】B

【解题思路】利用向量的线性运算，用品,与来表示而，然后利用平面向量基本定理即可确定选项.

【解答过程】

在矩形力88中，因为点£为线段力。的中点，所以喋=^=J=MF=0C,

rCoC/5

则有而=[前=+而)=g而+g而，

因为4。=2,AB=&，国与分别是与而，而方向相同的单位向氧

所以而=2匹，前=企耳，

则/=+：而=彳可+，匹，

•J«3JJ

又因为而=向西+心瓦(的也WR),所以为

OO

故选：B.

【题型4平面向量的坐标运算】

【例4】(2025•天津红桥•模拟预测)若向量益=(一1,0),b=(0,l),则列+21的坐标为()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.

【解答过程】由五=(一1,0),b=(0,1),

则万+2石=(-1,0)+(0,2)=(-1,2).

故选：A.

【变式4-1](2025・云南曲靖•二模)已知4(-2,1),8(—5,3),«3,4),若点。满足荏=沆，则点。的坐标为

()

A.(2,2)B.(3,1)C.(1,3)D.(5.5)

【答案】A

【解题思路】设点。(%y),求出而，比，再列出方程，即可得解.

【解答过程】设点。(%,v),

则而二(1,2)辰=(3,4-y),

又屈=反，所以

所以点。的坐标为(2,2),

故选:A.

【变式4-2】(2025・贵州遵义•模拟预测)已知向量记，式五在正方形网格中的位置如图所示，瘠而绕着起点

顺时针方向旋转90°后得到向量五，若五=ma-nvt则m+n=()

【答案】A

【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可;

【解答过程】

由图可得瓦=而，以A为原点，4C为y轴，力E为“轴建立平面直角坐标系,

设每个小正方形的边长为1,

C(0,3),4(0,0),E(3,0),8(3,1),。(3,2),G(5,-2),

所以N=(2,-2),u=AB=(3,1)*=CD=(3,—1),

因为五=nia-nv,即(3,1)=m(2,-2)—n(3,-1)=(3,1)=(2m-3n,-2m+n),

所以｛3=2m-3n=1n=一；

tl=-2m4-n=-->

所以m+n=-|.

故选:A.

【变式4-3](2024•河南郑州•模拟预测)已知点儿B,C,。为平面内不同的四点，若丽二2a一3反,

且元=(-2,1),则布=()

A.(4,-2)B.(-4,2)C.(6,-3)D.(-6,3)

【答案】D

【解题思路】由已知整理可得而=3尼，然后由坐标运算可得.

【解答过程】由前=2万？-3反得而+万5=3而一3丽，UPFX=3CA,即丽=3而，

又而=(-2,1),所以宿=3后=(-6,3).

故选：D.

【题型5向量共线的坐标表示】

【例5】(2025・天津红桥•模拟预测)已知向量d=(1,2),b=(-l,y),若可/A则》的值为()

A.—B.——C.2D.—2

22

【答案】D

【解题思路】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.

【解答过程】由力万，则lxy=2x(-1),解得y=-2.

故选：D.

【变式5-1](2025・陕西西安•模拟预测)已知向量五=(0,1),b=(l,l),若五+m石与方一超共线，贝U()

A.m+n=0B.m+n=1C.mn=0D.mn=1

【答案】A

【解题思路】由题意G+m石=(m,l+m),五一7函=(一洱1-九)，结合向量共线的充要条件即可求解.

【解答过程】因为向量五=(0,1),b=(1,1)»所以五+痴=(m,1+m),N—岫=(一九,1一九)，

因为五十mb与五一nb共线，则力1(1—n)=-n(l十力1),即TH+7i=0.

故选：A.

【变式5-2](2025•广东东莞•模拟预测)已知向量N=(l,2)是=(2,d)，则“0+石)〃0—是“％=2”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值，结合充分、必要性定义判断关系即可.

【解答过程】由题设4+1=(3,2+，),五一石=(一1,2—7)，

若@+了)〃0—石)，则3(2-必)=一(2+%2),可得工=±2,

所以“伍+b)//(a-石)”是“3=2”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式5-3](2025•辽宁盘锦•三模)已知4(0,0),6(矣,1),CQ,-2),0(2,-1),若南与沅共线，贝〃二

()

A.1B.2C.-1或2D.-2或1

【答案】D

【解题思路】首先求出而与反的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【解答过程】因为4(0,0),8(",1),CQ-2),。(2,-1),

所以通=(",1),DC=(A-2,-1),

又通与反共线，故一"=a-2,解得入=-2或4=1.

故选：D.

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】

【例6】(24-25高三•全国•阶段练习)在直角梯形"C。中而•而=0/8=30。，AB=2W,BC=2,点、E

为3c边上一点，且族二%而+?而，则xy的取值范围是()

A(F)B.[0,1]C.[0,?]D.[1,2V3]

【答案】B

【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作CF14B,垂足为凡

因为48=30°,8C=2,

所以有sinB=―,cosB=—^>CF=2sin300=1,BF=2cos30°=遍,

71(0,0),F(2V3,0),C(V3,1),D(0,l),设E(a,b),BE=mBC(me|O,1J),

因此有(a_2V5,b)=m(-V5,l)=卜一275=-=卜=2百—,

因为标=%而+丫而，

所以有(a,b)=x(2V3,0)+y(0,l)=(2臼乂y)=卜：2y^x=卜=誉，

(b=yy=b

而[a=2>/3-V3m

Ib=m

所以xy==(2g-y[3m)m=(1-1m)m=-1(m-I)2+1,

当执=1时，xy有最大值当m=0,xy有最小值0,

所以盯的取值范围是卜日

故选：B.

【变式6-1]（24-25高一下•广东韶关•期末）如图，四边形力BCD是正方形，延长CD至E,使得DE=C。.若

动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中寿=4万+〃荏，下列判断正确的

A.满足入+〃=2的点P必为BC的中点.

B.满足〃=1的点P有且只有一个.

C.4+〃的最大值为3.

D.4+〃的最小值不存在.

【答案】C

【解题思路】建立生标系，讨论PC4B,PCBC,PCCD,PU,4。四种情况，出AI〃的范围，再判断每个

选项的正误，即可得出结果.

【解答过程】如图建系，取力8=1,-：AE=AD+DE=AD-AB,

：.AP=AAB+liAE=(A-〃)而+nAD=(A-〃)(l,0)+〃(0,l)=("〃,〃),

动点P从点力出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当PW4B时，有0工/1一〃工1且〃=0,0<A<1,0<A4-//<1,

当PW8C时，有=1且OWaWl,则/l=〃+l,A1<A<2,.\1</1+^<3,

当PWCD时，有0工/1一〃工1月以=1,则/.1<1<2,/.2<A+^<3,

当P640时，有2—〃=0且0工〃工1,则;l=〃，AO<1<1,AO<A+<2,

综上，owa+〃工3,

选项A,取/1=〃=1,满足4+〃=2,此时而=而+荏=而，因此点P不一定是8C的中点，故A错误;

选项B,当点P取8点或4。的中点时，均满足入+〃=1,此时点P不唯一，故B错误；

选项C,当点P取C点时，4一〃=1且〃=1,解得入=2,〃取得最大值为3,故C正确；

选项D.当P取点力时，入+〃取得最小值0,故D错误：

故选：C.

【变式6-2](2024•湖南常德•一模)如图，四边形为BCD是边长为1的正方形，延长C。至£，使得DE=2CD.动

点P从点力出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到4点，而=4万+〃荏，贝「+〃的取值范围

为.

【答案】[0,4]

【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论「€484£8&「6。。〃£。力四种情况，即可求出入+〃的

取值范围.

【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系:

则B(1,O),E(-2,1),所以而=板+屈=(4-2〃,〃),

当PG/B时，有二会,1，印owawi,〃=o，此时入+〃的取值范围为[o,i]，

当PWBC时，有口工?：：，即1W4+4=Q—2〃)+3〃=l+3〃W4,此时4+〃的取值范围为[1,4],

当P6CD0寸，有｛°&即3<4+〃=(/1一2〃)+3〃=(/1一2〃)+344,此时Y+〃的取值范围

为[3,4],

当P6ZM时，有｛1｝?；：，即04/1+〃=。-2〃)+3〃=3〃工3,此时入+〃的取值范围为[0,3],

综上所述，4+〃的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4].

【变式6-3](2025•广西柳州•三模)在△4BC中，41=90。，18=2,AC=3,P为△ABC内一点、,ELAP=1.

若丽=AAB+〃正，则2A+3〃的最大值为.

【答案】V2

【解题思路】利用平面向显的坐标运算以及正弦函数的性质求解.

【解答过程】

如图，因为24=90。，所以以力为坐标原点，

AB,AC方向为爸y轴建立平面直角坐标系,则4(0,0),8(2,0),C(0,3),

设/248二仇则66[0,3，

过点P作不轴的垂线,垂足为Q,则4Q=cos。,PQ=sin。,

所以P(cose,sin。)，

所以而=（cosasin。）,荏=（2,0）,m=（0,3）,

因为Q=/l通+〃n，所以（cos6,sin。）=（2尢3〃），

所以24=cos。,3〃=sin。，

则24+3〃=sin。+cosO=V2sin

。中图，所以。+：6片卦

所以当£+：=*即。=洒，24+3〃有最大值为企,

故答案为：V2.

过关测试

一、单选题

1.（2025・山西・二模）若｛可，与｝是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（

A.｛可一石，五一百｝B.｛2否一匹一百+,右｝

C.｛品+&2,67+4^2）D.｛3仇262,—6西+462）

【答案】C

【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.

【解答过程】对于选项A,可一匹=一（祓-可），两向量共线，不符合基底的定义，故A错误；

对于选项B,26一无二一2（一百十g豆），两向量共线，不符合基底的定义，故B错误；

对于选项C,不存在实数九使得嬴=4（酉+4初，故C正确：

对于选项D,-6可+4/=-2（3百-2孩），两向量共线，不符合基底的定义，故D错误.

故选：C.

2.（2025•安徽马鞍山•二模）已知平面向量苍，石满足苍=（1,一冉），b=（2,x）,若必不，则”二（）

A.-V3B.-2>/3C.V3D.2百

【答案】B

【解题思路】由向量平行坐标表示可得答案.

【解答过程】\^]a//b,a=（1,-V3）,b=（2,%）,则一2百=七

故选：B.

3.（2025•甘肃甘南•三模）△力8c中，若方=益，AC=b,BD=3DC,则向量而可用五，石表示为（）

A.^a+-bB.a+'-b

444

C.-a+-bD.-a+-b

4444

【答案】A

【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.

【解答过程】在△ABC中，BD=3DC,

则而=亚+丽=荏+河=而+3函一硝

=四+次一加=；万+沛.

4444

又因为而二五,而二及所以而=9元+5江

44

故迄A.

4.（2025•湖北•模拟预测）已知向量五=（1,4）,b=（2,%）,若匕〃（2,+b）,则％=（）

A.8B.4C.2D.-8

【答案】A

【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.

【解答过程】2元+9=（4,8+十）,

由2〃（2M+5）得4%=2（8+%）,解得x=8.

故选：A.

5.（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在△ABC中，丽=2祝,N为线段上一点，且丽=一;I）而+/,

则实数;I的值为（）

【答案】D

【解题思路】先利用基底而，尼表示丽，再设丽二摘而，即可构造关于九t的方程组.

【解答过程】因由=2流，则丽=:近，

故俞=AB+~BM=AB+萍=荏+久而-通）=^AB+翔，

因AN,M三点共线，故设前=£祠，则前=5万+=而，

•3»5

1-1=-A

3

因丽=(1-A)AB+g/lC,则|A_2t,解得/I二

I3~~

故选：D.

6.(2025•河南•二模)在△力8。口，。是AC边的中点，且点M满足丽=3两，若宿=入而+〃而，则

/+〃=()

A禺B.1C.|D.|

【答案】D

【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.

【解答过程】因为前=而+丽=而+?而①，祠=而+两=3而一,而②，

由①x2+②，得3宿=2而十1而，所以病=2荏+白正，

236

即幺=j1所以a+“=・

3oo

故选：D.

7.(2025・河南•模拟预测)已知两个不相等的向量五=(2,7n+1),5=(2-4?n,1),若五〃(22-b),则巾=

()

A.-B.0C.--D.--

224

【答案】C

【解题思路】根据向量的坐标运算得2方-石=(2+4m,2m+1),然后根据向量共线的坐标运算求得m=0

或m=一提再代入验证即可求解..

【解答过程】因为向量H=Q,m+1),d=(2—4m,1),所以2d—5=(2+4zn,2m+1),

由Z〃(2d—石)得2x(2m+1)—(m+1)x(2+4m)=0,即mx(14-2m)=0,

解得m=0或m=—I，当m=0时，a=(2,1),h=(2,1),此时N=b,不符合题意，

当加=一决寸，a=(2,1),b=(4,1),此时五,氏符合题意.

故选：C.

8.(2025甘肃甘南模拟预测)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若W=/l五十〃了(九〃€/?),

则4+〃的值为()

C.-2.5D.-3

【答案】C

【解题思路】建立坐标系，然后用坐标法计算即可

【解答过程】

如图，以。为坐标原点建立坐标系，

则H=(-1,1)5=(6,2),c=(-1,-3)

所以(—1,—3)=入(—1,1)+〃(6,2)

则｛二二7；2彳，则｛:二匚则入+〃=-25

故选：C.

二、多选题

9.(24-25裔一下•四川成都•期中)在下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.药=(0,0),夙=(1,一2)B.e；=(-1,2),e；=(5,7)

C.国=(3,5),正=(-6,10)D.可=(2,-3),正=Q,-习

【答案】BC

【解题思路】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解.

【解答过程】对于A：零向量与任意向量都共线，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错

误；

对于B：(-1)x7-2x500,所以耳=(一1,2),筱=(5,7)不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内

所有向量的基底，故B正确：

对于C：3x10-5x(-6)^0,所以百=(3,5)与孩=(一6,10)不共线的，所以其可以作为它们所在平面内

所有向量的基底，故C正确;

对于D：2x(-1)-(-3)xl=0,所以无=(2,-3)与石二质一3是共线的，故其不可以作为它们所在平

面内所有向量的基底，故D错误.

故选：BC.

10.(24-25高二上•湖南株洲•阶段练习)已知近=(-1,2),石=(2,5),下列选项中关于市石论坐标运算正

确的是()

A.a+~b=(7,1)B.a-2b=(-5,-8)

C.若而=N且4(2,3),则B⑶1)D.2a+3^=(4,19)

【答案】BD

【解题思路】利用平面向量的电标运算，逐项计算判断即得.

【解答过程】向量不=(-1,2),t=(2,5),则五+5=(1,7),A错误;

a-2b=(-1,2)-(4,10)=(-5,-8),B正确;

令0为坐标原点，则丽=工？+而=(2,3)+(—1,2)=(1,5),点8(1,5),C错误；

2万+3了=(-2,4)+(6,15)=(4,19),D正确.

故选：BD.

II.(2025高三•全国•专题练习)如图，在四边形"CD中，近=2而，E为CO的中点，BE与4c交于点八

8。与力C交于点G,设荏=优AD=b,则下列结论正确的是()

A.GD=^BD

B.GF=FC

C.而一为+"

22

D.若BF=疝+贝）,则24—〃=—1

【答案】AC

【解题思路】对于A,根据条件，利用几何关系得到G0=；BG=；8D,即可判断选项A的正误；选项B,

先假设而=而，从而可得EF〃DG,与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C,结合条件，利

用向量的中线公式，即可求解；选项D,法一，设标二771元，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合

条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解.

【解答过程】对于选项A,因为前二2而，所以40〃8C,RAD=^BC,

所以GD=：BG=/D,所以而=?前，故选项A正确，

对于选项B,若不=而，则尸为CG的中点，因为E为CD的中点，

所以EF〃OG,与E居0G相交于点B矛盾，故选项B错误，

对于选项C,因为E为6的中点，所以而=*点+前)=乂2了+石-五)=-软+|反故选项C正确，

对于选项D,解法一：由题意可设方=小刀，me(0,1)»

所以方=AF-AB=niAC-AB=m(AB+BC)-AB=(m-1)AB+inBC=(?n-l)a+2m石，

又5尸二疝+〃］，所以4=m—1,R=2m,所以2a—〃=2(m—1)—2nl=—2,故选项D错误，

解法二：因为4吃C三点共线，所以加=%瓦？+y正，且％+y=l,

又xb/十y8C=一4五十2yb,BF=Aa+fib,所以入=—4，pi-2y,22一〃=-2,故选项D错误，

故选：AC.

三、填空题

12.(2025・上海崇明•二模)已知3=(1,0),5=(2,1),则位+2同=.

【答案】V29

【解题思路】写出益+2石坐标，由坐标得到|五+2瓦.

【解答过程】a+2b=(5,2),A|a+2b\=V52+22=V29.

故答案为：V29.

13.(2025・陕西咸阳•模拟预测)已知向量员=(2,1),石=(1#),7=(-k,2),若0+2〃(2近一司，则

【答案】5或一1

【解题思路】根据向量共线的坐标形式可求参数的值.

【解答过程】由题得4+4=(2-A,3),2a-b=(3,2-fc),

又0+Z)〃(2五一司，则(2-k)x(2-k)-3x3=0,解得k=5或一1.

故答案为：5或一1.

14.(2025•宁夏银川三模)在直角梯形48co中，AB||CD,CD=2AB.ABLAD,七是CD的中点，若m=

ABD+nAE,则％+〃=.

【答案】1

【解题思路】首先用AD,DC将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出入,〃的值，从而得到答案.

【解答过程】AC=ABD+nAE=4(一g辰+后)+〃(G+g辰)=-g/l)法+(4+〃)G,

ffTfl1/_12—1(U=~

而4c=AD+DC,所以5“5,解得1"

M+A=l[A=-1

所以;l+〃=1.

故答案为：1.

四、解答题

15.(24-25高一下•甘肃白银期末)如图，在△4BC中，。是4c的中点，E是BD的中点，设瓦？=五，BC=c.

(1)用五，W表示向量

(2)若点F在AC上，且丽=；五+；已求/W:OF.

7A

【答案】(1)荏=五

44

(2)7:5

【解题思路】⑴利用向量基本定理得到而=抵一初荏=公一济

(2)设而二a？，所以而二(1一/1)五十左，结合条件得到a=三从而得到4D:DF