2026年高考数学一轮复习：三角恒等变换（讲义）原卷版

专题4.3三角恒等变换(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型I两角和与差的三角函数公式】.................................................................4

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】...................................................4

【题型3辅助角公式的运用】..........................................................................5

【题型4二倍角公式及其应用】........................................................................5

【题型5三角函数式的化简】..........................................................................5

【题型6给角求值型问题】............................................................................6

【题型7给值求值型问题】............................................................................6

【题型8给值求角型问题】............................................................................7

【题型9半角公式、万能公式及应用】.................................................................7

【题型10三角恒等变换的综合应用】..................................................................8

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

三角恒等变换是三角函数的重

(1)会推导两角差的余弦公式要工具，是高考数学的热点、重点

⑵会用两角差的余弦公式推内容.从近几年的高考情况来看，主

2。23年新课标【卷：第8题，5分

导出两角差的正弦、正切公式要考察三角函数的化简求值、三角

2023年新课标H卷：第7题，5分

(3)掌握两角和与差的正弦、余函数的变换等内容，一般以单选题、

2024年新课标I卷：第4题，5分

弦、正切公式，并会简单应用多选题、填空题的形式出现，试题

2024年新课标H卷：第13题，5分

(4)能运用两角和与差的正弦、难度中等或偏下；但在有关三角函

2025年全国一卷：第11题，6分

余弦、正切公式推导二倍角的数的解答题中有时也会涉及到三角

2025年全国二卷：第8题，5分

正弦、余弦、正切公式，并进恒等变换、合并化简，比时试题难

行简单的恒等变换度中等，复习时需要同学熟练运用

公式，灵活变换.

知识梳理

知识点1三角恒等变换思想

1.三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时.,角的代换作用尤为

突出.

常用的角的代换形式：

①Q=(a+0/；

②°=成-伊-a)；

③a=g[(q+。)+(a—4)];

④a=g[(a+6)-(夕-a)];

⑥a-》=(a—6)+(6一7).

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要

特别注意的是力”的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式osina+bcosa=\Ja1+/sin(a+9)［或asina+bcosa=y/a2+b2cos(«—9)将形如asina

+/?cosa(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数层sin(a+幼)［或cos(a一夕)］.这

种怛等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称

为收缩变换,上述公式也称为辅助角公式.

知识点2二倍角公式

1.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式p=a简记符号

正弦sin2a=2sinacosaSg+为S2a

2222

有cos2a=cosa-sina=2cos«-1=1-2sinaGamc为

正切-2tanaT2a

tan2a=----------—T(a+/?)

1—tan~a

2.二倍角公式的变形应用

(1)倍角公式的逆用

3.sin2asin2a

①§2a：2sin«cos«=sm2«,sin«=--------,cosa=—.

2cosa2sina

2222

@C2a：cosa—sina=2cosa—1=1—2sina=cos2a.

③人U；虫=i

(2)配方变形

1±sin2a=sin2a+cos2a士sin2a=(sina士cos«)2.

(3)因式分解变形

cos2a=cos2a—sin2a=(coscc—sina)(cosa+sina).

(4)升幕公式

1+cos2a=2cos2a；I—cos2a=2sin2a.

知识点3三角恒等变换的应用技巧

1.两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

12皿+1a/~a11(0+/)・(1-12116^^)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3.辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4.角的变换问题的解题策略：

⑴当“己知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“己知角”的和或差的形式；

⑵当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所

求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换:2a=(«+//)4-(«—/?),a=°',y+a=y—a=(a+/?)—夕

=3一3)+夕，+等.

知识点4三角恒等变换几类问题的解题策略

1.给值求值问题的解题思路

给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相

应角的三角函数值，代入即可.

2.给角求值问题的解题思路

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊知，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间

总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得

解.

3.给值求角问题的解题思路

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围，最后确定角.

4.三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

火工尸施皿公什㈤+力的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利月整体思想解

决相关问题.

【方法技巧与总结】

1.tana±tunfl=tan(a±£)•(1千tanatan^).

_时"八t2I+cos2a.21—cos2a

2.降塞公式:cos~a=---------,sin-a=------------

3.1+sin2«=(sin«+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2,sina±cosa=y/2sinIa±

举一反三

【题型1两角和与差的三角函数公式】

【例1】(2025・广东•模拟预测)已知cos(a+0)=jcosacos/?=%则cos(a-0)=()

A.1B.C.1D.

3333

[变式1-1](2025,河北石家庄,模拟预测)已知sin(a+3)=2cos(a-0),tana+tan。=g,则tana-tan/?=

()

A.3B.-3C.-D.--

33

【变式1-2](2025•全国•模拟预测)已知sin(6+已)=4(一gW8W；),则sin(e+§=()

A3-、后n3+x/6「巫八代

A--B--c-TD-T

【变式1-3](2025•全国•模拟预测)已知sin(a+<)=2sinasin£,tanatan/?=-2,则tan(a+/?)=()

A.-7B.7C.-2D.2

33

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

【例2】(2025・云南•模拟预测)下列选项中，值为旧的是()

A.4sinl50cosl5°B.2(cos46°cosl60-sin46°sinl6°)

C.lHil，，1S1：D.8cosl00cos20ccos40°

1-tanl50

【变式2-1](2025•海南省直辖县级单位•模拟预测)sinl60Ocos：0o+cos20Ocos8(r=()

A.日B.C.1D.

2222

【变式2-2](2025・湖南•模拟预测)已知a£((J,]),/?6(0弓)，且tana+tan/?=福，则()

A.2p—a=B.2/7+a=

C.2a-p=^D.2a+p=^

【变式2-3](2025•陕西安康•模拟预测)计算：tan20。+tan40°+百tan20°tan40。=()

c2V3

A-TB«1c・vD.V3

【题型3辅助角公式的运用】

【例3】（2025・古林•模拟预测）函数/（%）=2sin2（%-?+V5cos2x的最小正周期为（）

A.2nB.yC.ITD.11T

3

【变式3-1]（2025•江苏宿迁•模拟预测）已知VJcosa-sina=1,则cos(2a+g=()

A.--B.--C.-D.叵

2222

【变式3・2】（2025•广东洪江•二模）若函数/0）=35访％+28$%在[0,加上单调递增，则当a取得最大值时,

cosa=（）

.3mn2V13c3V13D.等

A•--------13•--------C•——

131313

【变式3-3]（2025•山东济宁•一模）若函数/（%）=2sinx+cos无一百（0m）的两个零点分别为必和必

则COS（M—X2）=（）

A，-IB.C.1D-I

【题型4二倍角公式及其应用】

【例4】（2025•甘肃白银•一模）已知cos（a-e）=（贝ijsin卜a+*）=（）

2277

A.；B.一；C.5D.一？

3399

【变式4-1]（2025•湖南邵阳•模拟预测）已知小卜一①二圣贝ijcos&x+碧）=（）

A.B.C.D.\

9999

【变式4-2]（2025•山东泰安・模拟预测）若aegm）,JI5（l+cos2a）-10sin2a=3,则tan2a=)

A•-7B.IC.盘D.5

【变式4-3]（2025•山西•三模）已知。6（—：,彳），sin2a=cosa,则cos2a=（）

A.IB.告C.V3D.1

【题型5三角函数式的化简】

【例5】(2025•江西一模)化简tan350+tanl000+tan350tan800=()

A.tan65°B.-tan65°C.1D.-1

【变式5-1】（2025・河北•模拟预测）化简：詈之二（）

l+sin40

A.tan25°B.sin25°C.tan650D.sin65°

【变式5-2】（2025•安徽六安・模拟预测）任二警二（）

sm80

A.2V3B.V3C.2D.1

【变式5-3】（2025•河北沧州•二模）化简笆修吟等=（)

$m40cos60

2V3

A.1B.V3C.2D.

"I"

【题型6给角求值型问题】

【例】（高三卜•重庆沙坪坝•阶段练习）求值•。

624-25Li=()

Vl-cos20,

A.1B.72C.V3D.2V2

【变式6-1]（2025•广东汕头•二模）若2sinl60。+tan20°=瓜则实数a的值为（)

4V3

A.4B.4V3C.2V3D.

V

sinll0-cos250°附估小/

【变式6-2】（24-25高一上•广东茂名期末）8s225—2155。的值为()

娱

A.--B.-C.D.

2222

【变式6-3】（2025・重庆・模拟预测）式子效吗等竽口化笥的结果为（）

A1B.1C.2sin9°D.2

•2

【题型7给值求值型问题】

【例J7】（2025高三・全国・专题练习）已知sin（a）-cosa=则cos（2a+媒的值为（）

A.一/B.C.1以

933

【变式7-1]（2025•安徽淮北•模拟预测）已知OV0V，且sir.a+cosa=,2sin2a+cos2/?=2,则

tan//=()

A.3B.2C,1D・1

【变式7-2](2024•宁夏吴忠一模)已知cos(a+/?)=gcosacos/?=卷，则cos?。+cos2/?=()

【变式7-3】(2025・河南•模拟预测)已知sin(a+.)=#os("①/则翳+黑+焉+震=()

【题型8给值求角型问题】

【例8】(2025•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知a/£(0,9,cos2a-sin2a=且3sin/?=sin[2a+夕)，则

a十夕的值为()

A—B-C-D-

12643

【变式8-1](2025•江苏无锡•三模)已知tan/?=y^,tan(a+/?)=-署，若£6(04)，则6=()

aA.—12B16JQ-45n-3

【变式8-2](24-25高一下•辽宁辽阳•期中)已知a,/?G(0,n),且cosa=个，sin(a+夕)=^,则。一£=

【变式8-3](24-25高三•全国•期末)已知0<a<RV],COS2Q+cos2/?+1=2cos(a-/?)+cos(a+0),

贝U()

A.a+£=；B.a+0=?

63

C.p—a=yD.0—a=；

63

【题型9半角公式、万能公式及应用】

【例9】(2025•甘肃兰州•模拟预测)若(-翳)，且sina=-孚则cos§等于()

.1口近八2c历

A.-B.—C.-D.—

3333

【变式9-1](2025・河北•模拟预测)若aw(0,9,磊；=也贝i」cos(a+3=()

A.当B.AC.1D.1

222

【变式9-2】(2024•辽宁丹东•一模)已知(05)，叵蚂呼=4迎+1,则sin2a=()

'2，-^(l-$ina)(l-cosa)

A4V2+1-4V2+1万4V2-1-4V2-1

A.------B.--------C.---D.--------

816816

【变式9-3](24-25高二上湖南长沙•期末)函数/■(x)=V5sin武1+cosx)的最大值为()

A.-V3B,-V3C.-D.-

2484

【题型10三角恒等变换的综合应用】

【例10】(2025・江苏•一■模)已知函数f(%)=geos?%-sin2x-gsiMx.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若/(X))=x0G[0,^],求cos2%o的值.

【变式10-1](2025•黑龙江大庆•模拟预测)已知函数/1(%)=2sin(ir-x)cosx-2d5cos2管一丫)+百.

(I)求/(无)的最小正周期及单调递减区间；

(2)将/(无)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将/(%)的图象向右平移得个单位后，再将纵坐标变为原

来的%最终得到7=0(%)的图象，若北£卜会3,满足不等式、2ga)—sin2x42m2—3m,求m的取值范

围.

【变式10・2】(2025•上海•模拟预测)已知3>0,f(x)=sineox+2V5cos2y-.

(1)若函数y=/(x)的最小止周期为m求3的值；

(2)当co=1时，设aW[0,2TT].若函数y=f(x)和y=/(x+a)在[0,n]上有相同的最大值，求。的取值范围.

【变式10-3】（2025•北京东城•二模）已知函数/'（%）=4sin（sr+9）cos3X+匕（3>0）.

（1）若/（无）的最小值为小，求b的值；

（2）若/（0）=遮，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数/（均存在且唯一,

求/（%）在区间„上的取值范围.

条件①：f（x）的图象关于％=-浮收="对称；

条件②：八外在区间七身上单调，且/'（%）的图象关于点生。）对称；

条件③：“外的最小正周期TZm且/（一"二一次.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第•个解

答计分.

过关测试

一、单选题

1.（2025•全国二卷•高考真题）已知0<aV九，cos?=名则sin（a-f）=（）

25\4/

A或「3e

'•wc・而

2.（2025,海南海口•模拟预测）若tan。=2tana,sin（。+a）=*,则cos（2。-2a）=（）

3357

ca

・

--一-

A.8B.888

3.（2025・湖南永州•模拟预测）蟠喏1的值为（）

sinlO

A.2B.4C.-2D.-4

4.（2025•广东惠州•模拟预测）我国占代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成

的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为13,直角三角形中较小的锐角为仇

那么tan20=（）

5.（2025•安徽蚌埠•三模）已知cos（。+J=E（04），则sin（等-£）=（）

7V27V2小企c企

AA.-------nB.——C.-----D.—

10101010

6.（2025•北京海淀•三模）在△48C中，“coszlcosB<sin/lsinB”是“△48C为锐角三角形”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2025,北京•三模）已知函数/（%）=sinsxosw+coscoxsin©其中9£（一ir,0）.如图力，4是直线y=：

与曲线y=/（x）的两个交点，若则/（n）的值为（）

O

8.（2025・山东,模拟预测）已知为△嫉的内角，若甯=债’则（）

A.sin24=cosBB.s\n2B=cosA

C.sin(4+B)=cosBD.tanA-tan2/?=1

二、多选题

9.（2025•山东聊城•三模）已知sin（a-。）=一:，sinacosg=；,则（）

A.cosasin/?=—1