二次曲线的主直径与主方向

PAGE－PAGE87－§5.6二次曲线的主直径与主方向定义5.6.1二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向．我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向．显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点．现在我们来求二次曲线F(x，y)≡ (1)的主方向与主直径．如果二次曲线（1）为中心曲线，那么与二次曲线（1）的非渐近方向X︰Y共轭的直径为（5.5－1）或（5.5－2）．设直径的方向为X'︰Y'，则由于两方向共轭，有X'︰Y'＝︰ (16)由于方向X︰Y和X'︰Y'垂直，在直角坐标系下，两向量{X︰Y}和{X'︰Y'}垂直，故其内积为零，即XX'＋YY'=0，或写成X'︰Y'＝－Y︰X (17)将（17）代入（16）就得X︰Y＝︰ (18)因此X︰Y成为中心二次曲线（1）的主方向的条件是 (5.6－1)成立，其中l≠0．（5.6－1）可改写成 (5.6－1')这是一个关于X，Y的齐次线性方程组．因为X，Y不能全为零，此齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式 (19)即 (5.6－2)因此对于中心二次曲线来说，只要由（5.6－2）解出l，再代入（5.6－1）或（5.6－1'），就能得到它的主方向．如果二次曲线（1）为非中心二次曲线，那么它的任何直径的方向总是它的惟一的渐近方向X1:Y1＝而垂直于它的方向显然为X2:Y2＝＝所以非中心二次曲线（1）的主方向有下面两种：渐近主方向X1:Y1＝－a12:a11=a22:(－a12) (20)非渐近主方向X2:Y2＝a11:a12=a12:a22 (21)在方程（5.6－2）中令I2=0，得其两根为将这两个根代入（5.6－1）或（5.6－1'），得到的主方向恰好为非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近主方向．这样，我们就把根据方程（5.6－2）的根和（5.6－1'）求二次曲线的主方向的方法推广到了非中心二次曲线．因此，一个方向X︰Y成为二次曲线（1）的主方向的条件是（5.6－1'）成立，这里的l是方程（5.6－2）的根．定义5.6.2方程（19）或（5.6－2）叫做二次曲线（1）的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根．从二次曲线（1）的特征方程（5.6－2）求出特征根l，把它代入（5.6－1）或（5.6－1'），就得到相应的主方向．如果主方向为非渐近方向，那么根据就能得到共轭于此主方向的主直径．至此，我们需要解决特征根的存在问题，这有下面的命题保证．命题5.6.1二次曲线的特征根都是实数．证因为特征方程的判别式D＝≥0所以二次曲线的特征根都是实数．命题5.6.2二次曲线的特征根不能全为零．证如果二次曲线的特征根l1=l2=0，那么由（5.6－2）及韦达定理得即 与从而得 a11＝a12＝a22＝0这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零．命题5.6.3由二次曲线（1）的特征根l确定的主方向X︰Y，当l≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当l＝0时，为二次曲线的渐近主方向．证首先所以由（5.6－1）得因X、Y不全为零，故当l≠0时，≠0，X︰Y为二次曲线（1）的非渐近主方向；当l＝0时，＝0，X︰Y为二次曲线（1）的渐近主方向．命题5.6.4中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径．证由二次曲线（1）的特征方程（5.6－2）解得两特征根为1°当二次曲线（1）为中心曲线时，I2≠0．如果特征方程的判别式D＝＝0，那么＝，＝0，这时的中心曲线为圆（包括点圆和虚圆），它的特征根为一对二重根l＝a11＝a22(≠0)把它代入（5.6－1）或（5.6－1'），则得到两个恒等式，它被任何方向X︰Y所满足，所以任何实方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线不仅都是直径，而且都是圆的主直径，于是圆有无数多条对称轴．如果特征方程的判别式D＝＞0，那么特征根为两不等的非零实根l1，l2，将它们分别代入（5.6－1'），得到相应的两个非渐近主方向X1:Y1＝a12:(l1－a11)＝(l1－a22):a12 (22)X2:Y2＝a12:(l2－a11)＝(l2－a22):a12 (23)这两个主方向是共轭的，现证明它们也是垂直的．由（22）和（23），存在非零实数t使{X1，Y1}×{X2，Y2}＝{a12t，(l1－a11)t}×{a12t，(l2－a11)t}＝＝＝＝＝0所以这两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径．2°当二次曲线（1）为非中心曲线时，I2＝0，这时两特征根为＝＋，＝0所以它只有一个非渐近的主方向，即与l1＝＋对应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径．例1求二次曲线的主方向与主直径．解∵I1＝1＋1＝2，I2＝＝≠0∴曲线为中心曲线，它的特征方程为解此方程得到的两特征根为：，将代入方程（5.6－1'），得，即 此方程组的解就是由特征根确定的主方向X1:Y1=1:1．将代入方程（5.6－1'），得故由特征根确定的主方向为X2:Y2=－1:1．又因为，，所以所给二次曲线共轭于主方向1:1的主直径为即 x＋y＝0所给二次曲线共轭于主方向－1:1的主直径为－即 x－y＝0例2求二次曲线的主方向与主直径．解∵I1＝1＋1＝2，I2＝＝0∴曲线为非中心曲线，它的特征方程为两特征根为 l1＝2，l2＝0因为l1＝2是非中心二次曲线的非零特征根，它确定二次曲线的非渐近主方向：X1:Y1