垂线（同步练习）解析版-2024华东师大版七年级数学上册

4.1.2垂线

夯基础

题型一理解垂线的定义

1.（22-23七年级下•湖南长沙•期中）如图，COLAB,DOLAB,。为垂足，那么C、D、。三点在同一条直

线上，其理由是（）

A.两点之间线段最短4

B.平行于同一条直线的两条直线互相平行

CD（）

C.两点确定一条直线-----------•--------•-----------------

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直R

【答案】D

【分析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断.

【详解】C014B,D01A8,。为垂足，那么C、。、。三点在同一条直线上，其理由是：在同一平面内，

过一点有且只有一条直线与己知直线垂直，

故选：D.

【点睛】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.（23-24七年级上•四川泸州•期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；

③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形

是直角.其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】本题主要考查了平面儿何中概念的理解，根据垂线、对顶角、点与直线的美系、邻补角和角平分

线的定义逐项判断即可.

【详解】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；

②相等的两个角不一定是对顶角，故②错误；

③不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，故③错误；

④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故④正确.

故选D.

3.（22-23七年级下•湖南益阳・期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对

对顶角相等；③有•对邻补角相等：④有三个角都相等.以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件

有（）.

A.1种B.2种C.3种D.4和।

【答案】C

【分析】根据垂直定义，对顶角、邻补角，余角和补角的定义遂行分析，逐一判断即可.

【详解】解：两条直线相交构成四个角，

①有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，正确；

②有一对对顶角相等，不能判定两条直线互相垂直，错误；

③有一组邻补角相等，则这两个角都为90。，能判定两条直线互相垂直，正确；

④有二个角都相等，则每个角都等于90。，能判定两条直线互相垂直，正确；

所以，能判定这两条直线互相垂直的有：①③④，共有3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了垂线，角的概念，对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关

键.

4.（23-24七年级上•福建福州•期末）如图，从点A出发的四条射线满足_L4E.则

下列结论一定正确的是（）

A./.CAE=/-BAD=45°B.ACAD+/-EAB=180°

C.Z-CAD-Z,EAB=90°D.Z.CAE+/-BAD=90°

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，根据垂直的定义得到乙04E=乙CAB=90。,

进而得到乙。4。+乙BAE=180°,据此可得答案.

【详解】解：^AB1AC,ADLAE,

团4DAE=乙CAB=90°,

^CAE+乙BAE=90°=Z.BAD+Z.BAE,

团4CAE+4BAE+乙BAD4-LBAE=180°,

团4CAD+乙BAE=180°,

根据现有条件无法得到A、C、D中的结论，

故选：B.

5.（21-22七年级下•广东广州•期末）如图，AB.CD相交于O,EO1AB,下列结论错误的是（）

A.乙1与N2互余B.与/3是对顶角

C.43与440c是邻补角D.zl+Z3=90°

【答案】B

【分析】本题主要考查垂直、余角、补角、对顶角、邻补角的定义，关键是理解定义会根据定义判断出相

应的角.

【详解】解：^EOLAB,

0Z1与42互余，

0Z1+42=90°,

直线力8、CD相交，则43与42是对顶角，

0Z.3=Z.2,

0Z14-Z3=90°,则

乙3与41不是对顶角，

乙3与乙40C是令卜角，

所以只有B.41与43是对顶角是错误的，符合题意.

故选：B.

题型二垂线

6.122-23七年级下•福建厦门•期末）如图，已知直线48,8,点P在直线6上，用三角尺过点P画直线旗的

垂线1.下列选项中，三角尺摆放;立置正确的是（）

AB

A.

【答案】C

【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另

一直角边到已知点，三过已知点面垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可.

【详解】解：回三角尺过点P画直线48的垂线

利用直角三角板的一直角边贴在已知直线48上,

移动三角板另一直角边到已知点P，

三、过已知点P画垂线，,

四、画垂直符合,

团Q页符合题意，A、C、D不符合题意;

故选C.

【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移

动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解

题的关键.

7.（2022•河北石家庄•二模）如图，经过点O的直线”，b,c,d中，有一条直线与直线，垂直，请借助三角

板判断，与直线/垂直的是（）

A.直线aB.直线〃C.直线。D.直线d

【答案】B

【分析】用三角扳的两条直角边中的一条与直线L重合，再另•条边直角边能与。、b、c、d中的那条边重

合即可得解.

【详解】解：用三角板的两条直角边中的•条与直线/重合，再另•条边直角边能与人重合,

【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角.

8.（22-23七年级下•北京朝阳•期末）如图，过点尸作线段AB的垂线，垂足在（）

P

AB

A.线段A8上B.线段A3的延长线上C.线段48的反向延长线上D.直线外

【答案】B

【分析】根据作垂线后垂足的位置直接判断即可.

【详解】解:如图所示，垂足在线段的延长线上：

故选：B.

P

AB

【点睛】本题考置了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题美铤是掌握相关

概念.

9.（23-24七年级上•浙江宁波・期末）如图，尸是△/1。8的边。8上一点.

B

----------------------------A

⑴过点P画。A的垂线，垂足为点H.

（2）PHP0（填"<"或依据是.

【答案】（1）图见解析

（2）<,垂线段最短

【分析】本题考杳画垂线，垂线段最短.掌握垂线段最短，是解题的关键.

（1）根据题意，画出垂线即可；

（2）根据垂线段最短，进行作答即可.

【详解】（1）解：如图，尸〃即为祈求；

（2）国PH10A,

国PH<P0（垂线段最短）

故答案为：V，垂线段最短.

10.（23-24七年级上•吉林长春•期末）如图，在6X6的正方形画格中，每个小正方形的边长均为1,其顶点

称为格点，点力、B、C、0均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图

痕迹.

-

D

⑴画线段48,画直线力C.

（2）过点。画直线AC的垂线，垂足为£.

⑶点。到直线4。的距离为线段—的长度.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶DE

【分析】本题考查作图-应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识

点是解答本题的关键.

（1）根据线段、直线的定义画图即可.

（2）结合网格，过点。作DE垂直直线4C即可.

（3）由点到直线的距离可知，点。到直线4C的距离为线段0E的长度.

【详解】（1）解：如图，线段AB、直线AC即为所求.

（2）如图，0E即为所求.

（3）点£）到直线4c的距离为线段DE的长度.

故答案为：DE.

题型三垂线段最短

11.（2022•河北•二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（）

起

跳

线

C

A.两钉子固定木条*

【答案】C

【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识.熟练掌握两点确定一

条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题.

【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；

B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；

c中能用垂线段最短进行解释，符合题意；

D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意;

故选：C.

12.（2023・贵州遵义・模拟预测）如图，河道2的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道,从P地把河水引

向M、N两地.下列四种方案中，最节省材料的是（）

M，

・N

【分析1本题主要考查「垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间,

线段最短〃和“垂线段最短”这两个中去选择.根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可.

【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是:

故选：D.

13.（23-24七年级上•云南昆明•期末）P为直线m外一点,A,8,C为直线m上三点,P4=5,PB=4,PC=3,

则点。到直线〃?的距离（）

A.不大于3B.等于3C.小于3D.不小于3

【答案】A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

是解答此题的关键.根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短〃进行解答.

【详解】解：团直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，

团点~到直线/的距离人三。。=3,即/IW3.

故选:A.

14.（23-24七年级上•福建泉州•期末）如图，下列线段中，长度最短的是（）

p

A.PDB.PCC.PBD.PA

【答案】C

【分析】本题考查了垂线段最短：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短.据此即可求

解.

【详解】解：^PBLAD,

团长度最短的是P8,

故选：C

15.（22-23匕年级下•河南商丘•期末）如图是一个湖泊，C是湖泊外的--块山地，现欲挖一条水渠从湖泊/W

将水引到C处.问：从湖泊的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由.

•C

【答案】沿线段C。开挖，水渠最短；图见解析；理由：垂线段最短.

【分析】本题考查了垂线段最短的应用；根据垂线段最短，过点C作CO148于点。，即是最短的.

【详解】解：如图，过点C作于点。，则沿线段CD开挖，水渠最短；

题型四点到直线的距离

16.（22-23七年级下•福建厦门•期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段MN的长表示点M到直

线/的距离的是（）

【答案】A

【分析】本题考查点到直线的距离.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距成，由此即可

得到答案.

【详解】解：线段MN的长表示点M到直线!的距离的是选项A中的图形.

故选:A.

17.（22-23七年级下•贵州六盘水•期末）如图，点8和C在线段40上，PC1AD,PA=7.2,PB=6,PC=3.6,

PD=4.8,则点P到线段AD的距离是（）

A.7.2B.6C.4.8D.3.6

【答案】D

【分析】由题意即可推出点尸到线段4。的距离即为点P到力。的垂线段的长度即为尸。的长度.

【详解】解：0PC±AD,PC=36,

回点P到线段的距离为3.6.

故选D.

【点睛】本题考查「点到直线的距离，解题的关键在于推出点8到AC的距离为BC的长度.

18.（22-23七年级下•福建凰门・期末）如图，点力在直线m上，点8,C在直线n上，设力8=%,=y且无

论《取何值，均有则下列说法正确的是（）

A.点小到直线几的距离是48的长度B.点A到直线n的羽离是AC的长度

C.点8到直线m的距离是48的长度D.点C到直线m的距离是力C的长度

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解.

【详解】解：^AB=x,4C=y且无论％取何值，均有％之y.

回点A到直线九的距离是4c的长度,

故选：B.

【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键.

19.（22-23七年级下•安徽合肥•期末）如图，三角形4"的面积为15,48的长为5,P为直线4B上一动点,

连接PC,则线段PC的最小值是

【答案】6

【分析】根据垂线段最短即可求解.

-xABxCD=-x5xCD=15

解得：CD=6

由垂线段最短可知：线段PC的最小值是6

故答案为：6

【点睛】本题考查垂线段最短.熟记相关结论即可.

20.（22-23七年级下•甘肃定西•期末）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B,C,小明在4处测得AB=4

米，/1C=6米，则点A到DE的距离d可能为米.（填一个你认为正确的答案）

【答案】3米（答案不唯一）

【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案.

【详解】解：•••AB=4米，4c=6米，

，点A到DE的距离d小于或等于4米，

•••点A到DE的距离”可能为3米〔答案不唯一）.

故答案为：3米（答案不唯一）.

【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义.

21.（21-22七年级上•吉林长春・期末）如图，平面上两点C、。在直线的同侧，按下列要求画图并填空.

（1）画直线AC：

（2）画射线CD：

（3）画线段3D：

（4）过点。画垂线段。"3/W,垂足为"；

（5）点。到直线A8的距离是线段的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）DF

【分析】（1）连接AC并向两端延长即可：

（2）连接CO并延长CQ即可；

（3）连接B。即可；

（4）过。作线段D/汹4B,垂足为尸；

（5）根据垂线段的长度是点到直线的距离解答即可.

【详解】解：（1）直线AC如图所示；

（2）射线CQ如图所示；

（3）线段如图所示；

（4）垂线段如图所示；

（5）垂线段。F的长是点。到直线AS的距离,

故答案为：DF.

B

【点睛】本题考查画直线、射线、线段、垂线段、点到直线的距离，熟练掌握基本作图方法，理解点到直

线的距离的定义是解答的关键.

题型五已知线段垂直求解相关角度问题

22.（23-24七年级下•广西百色•期末）如图，直线AB,CD相交于点。，0E1CD,垂足为O,0D平分乙BOF,

^.BOF=60°,求乙/4OC和430E的度数.

【答案】4/。。=30。，/-BOE=60°

【分析】本题考查垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性

质定理，推出相关角的度数.利用角平分线的定义求出“。。的度数，利用对顶角的性质求出乙40c的度数，

利用垂直的定义求出的度数，然后利用角的和差关系求出4BOE的度数即可.

【详解】解：回OD平分/BOGLBOF=60°,

^LBOD=-2^BOF=30°,

团乙IOC和乙BOD是对顶角，

^Z.AOC=（BOD=30°,

0OE1CD,

^Z-DOE=90°,

（3NBOE=乙DOE-乙BOD=60°.

23.（22-23七年级上•江苏宿迁•期末）如图，直线43,CD相交于点。,。£平分乙4。。，OF10C.

c

E/

7）

⑴图中N4。/的余角是（把符合条件的角都填上）；

（2）如果乙1=20°,求乙2和43的度数.

【答案】（1）立力。。，乙BOC

（2）40%50°

【分析】本题考杳了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握时顶角相等的性质和

角平分线的定义是解决问题的关键.

（1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果；

（2）由角平分线的定义求出匕40D,由对顶角相等得出42的度数，再由角的互余关系即可求出23的度数.

【详解】（1）解：®OF1OC,

0ZCOF=Z.DOF=90°,

^Z.AOF+^BOC=90°,Z.AOF+LAOD=90°,

回NAOF•的余角是4/100,乙BOC；

故答案为：zAOD,LBOC：

(2)国。E平分乙力。0,

团乙40。=2Z1=40°,

0Z2=Z.AOD=40°,

0Z3=90°-Z2=50°.

24.(23-24六年级下•山东淄博•期末)如图，直线EF,CD相交于点O,。510B,且0C平分zAOF.

(1)若440E=40°,求480。的度数;

（2）若乙40E=a,求MOD的度数（用含a的代数式表示）.

【答案】（1）20。

⑵;a

【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔

定义是解题的关键.

（1）先求出乙，。“，根据角平分线定义求出根据对顶角相等求出乙七求出48。七，即可

得出答案；

（2）先求出心力。凡根据角平分线定义求出乙尸0C,根据对顶角相等求出乙E。。=，FOC,求出N80E,即可

得出答案.

【详解】（1）解：国直线EF,CD相交于点。，

B/.AOE+Z.AOF=180°,

团，AOE=40°,

0Z4OF=140°；

乂①。。平分/力。入

^/.FOC=-/-AOF=70°,

2

^Z-EOD=Z.FOC=70°（对顶角相等）；

回04±OB.

MOB=90°,

团4BOE=Z,AOB-/,AOE=50°,

团4BO。=LEOD-乙BOE=20°：

（2）解：团直线E/，CD相交于点O,

0Z4OE+AAOF=180°,

0Z4OE=a,

0Z4OF=180°-a；

又（3OC平分N力。尸，

^Z.FOC=-^-AOF=90°--a,

22

^Z-EOD=Z.FOC=90°--a（对顶角相等）；

2

^OA±08,

团4A08=90°,

团4BOE=Z-AOB-Z,AOE=90°-a,

包4BOD=乙EOD-乙BOE=90°-1a-(900-a)=1a；

25.(23-24七年级上•浙江丽水•期末)如图，点O是直线A8上的一点，射线0C,。。在直线的异侧，已

知OC1OD,OE^^-^AOC.

(1)若t80。=40°,求乙AOE的度数；

(2)i/10E与NB。。是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出N80D的度数；若不可能，请说明理由.

【答案】⑴65。

(2)不可能，理由见解析

【分析】本题主要考查了对顶角的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关性

质，数形结合.

(1)根据4BOC与48。0互余可得NB。。的度数，再根据补角的定义可得乙40C的度数，然后根据角平分线

的定义解答即可；

(2)根据对顶角相等可得/BOD+乙BOC+4COE=180°,再根据与乙8。。互余，可得乙BOC与4COE

互余，据此可得结论.

【详解】(1)解：130c10D,

团NBOC+乙BOD=90°,

回NBOC=90°-乙BOD=50°,

^Z-AOC=180°-(BOC=130°,

(30E平分N/1OC,

^/.AOE=-^AOC=65°；

2

(2)解：乙AOE与4BOD是不可能成为对顶角，理由如下:

当N/4OE=乙8。。口寸，乙BOD+乙BOC+乙COE=180°,

回0E平分乙AOC,

团ZJtOE=(COE,

^LBOD=乙COE,

WC1OD,

回NBOC+乙BOD=90°,

团NBOC4-乙COE=90°,

回NBOC+乙BOD+Z.BOC+Z-COE=180°,

与£BOD+Z,BOC+Z-COE=180c相矛盾,

团4OE与乙8。。是不可能成为对顶角.

26.（23-24七年级上•江苏无锡•期末）已知，点。为直线48上一点，过点。作射线OC,^BOC=110°.

⑴如图1,则乙40c的度数为_。；

⑵如图2,过点。在直线4B下方作射线。。，使。0_L0C,作N/0C的角平分线。M,求NM00的度数;

⑶在（2）的条件下，作射线OP,若乙80P与4OM互余，求“。P的度数.

【答案】（1）70

⑵55°

⑶55。或165。

【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可；

（2）首先由（1）可知乙40C=70S结合垂直的定义可得NC。。=90。，再结合角平分线的定义可得/COM=

Z-A0M=35°,然后由/MOD=4COD-/COM求解即可；

（3）由（2）知N40M=35。，结合4BOP与4力OM互余，可求得匕80P=55。，然后分射线OP在N80C内部

和射线OP在480C外部两种情况，分别求解即可.

【详解】（1）解：110°,

0Z/WC=180O-Z.BOC=70°.

故答案为：70；

(2)由(1)可知，Z-AOC=70°.

团OD1OC,

团4C。。=90°,

回。时为乙4OC的角平分线，

团乙COM=^AOM=-LAOC=-x70°=35°,

22

^MOD=乙COD-乙COM=90°-35°=55°；

(3)由(2)知乙4UM=35",

^Z-BOP+Z-AOM=90°,

乙BOP=90°-Z.AOM=90°-35°=55。，

当时线OP在4BOC内部时，如下图，

当射线OP在4BOC外部时，如下图,

C

综上所述，/COP的度数为55。或165。.

【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定

义和性质是解题关键.

提能力

1.（23-24七年级上•河北保定•期末）如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为1cm.请在方格纸上画图并

回答问题：

⑴在点4的正东方向取一点凡使A、8两点间的距离为4cm.

⑵过点A画直线48的垂线.

⑶在点A的正北方向取点C,使4C=AB.

⑷以点A为端点，画A点的北偏东45。方向的射线交8C于D点.

⑸过点D画直线的平行线交AC于点E.

(6)在线段AB上取点F,使得4尸=3FB,并画射线EF.

⑺写出图中NACD的一个同位角点8到直线AC的距离

⑻用数字1在图上标出NODE的对顶角，用数字2标出NEFB的一个邻补角.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

(3)见解析

(4)见解析

(5)见解析

⑹见解析

(7)乙4EF(答案不唯一)，4

(8)见解析

【分析】本题主要考查了根据题意画图，同时考查了同位角、对顶角的概念，难度适中.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)根据要求画图，正确表示题干要求।再根据同位角、对顶角、邻补角的概念从

图中找出即可.

【详解】(1)解：如图，线段48即为所求；

(2)解：如图，直线/即为所求；

(3)解：如图，线段AC即为所求

(4)解：如图，射线A。，点。即为所求；

（5）解：如图，直线。E即为所求；

（6）如图，射线EF即为所求；

⑺解:图中乙4CD的一个同位角乙4EF,点5到直线AC的距离4.

故答案为：LAEF（答案不唯一），4：

（8）解：如图，Z1,42即为所求.

2.（22-23乜年级上•北京昌平•期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A,。和村庄M,N.完

成以下作图.

铁路

公路

⑴若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由;

⑵若在公路8N上选择一个地点尸安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口8的距离相等：在图中标出

点P的位置:

⑶当一节火车头行驶至铁路48上的点。时，距离村庄N最近.在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）;

⑷若在道口A或8处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在处.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

⑶见解析

⑷8

【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可;

（2）取BN中点即可；

（3）作N到AB的垂线段即可;

（4）直接根据图作答即可.

【详解】（1）

(2)

（4）由图可知M、N到8点距离均小于到A点距离，

故答案为：B.

【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键.

3.（22-23七年级上•江苏徐州•期末）在如图所示的方格纸中，。是乙/10B的边。B上的一点，按下列要求画

图并回答问题.

⑴过点C画。8的垂线，交0/1丁点D,该垂线是否经过格点？若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点;

⑵过点C画。4的垂线，垂足为E.

①线段CE的长度是点C到的距离，是点。到。8的距离；

②线段CO、CE、0D.。。的大小关系是（用"V〃号连接），依据是：.

⑶过点。画直线MN_LCZ）,若N0DM=x。，则乙。。。=（用含x的代数式表示）.

【答案】（1）画图见解析，经过格点。、G、H

（2）①04CD：（2）CE<CD<0C<0D,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

（3）（90-乃。或。-90）0

【分析】（1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论；

（2）根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果；

（3）根据平行线的性质作出图形后，再根据余角的定义即可解答.

（2）解：如图所示，®vCE10A,CD1OB,

二线段CE的长度是点。到。力的距离，C。是点。到。8的距离;

故答案为：。4CD；

②如图，vCD1OC,CD<OC,

CD<0C<OD,

vCE10A,

CE<CD,

CE<CD<0C<OD.

依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；

(3)解：如图所示，vCD1MN,Z.ODM=x°,

Z.ODC=(90-%)。或Q-90)°.

故答案为：(90-x)。或90)。.

【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握中垂线的性质及勾股定理是解决此题的关键.

4.(23-24七年级下•湖南株洲•期末)如图，点。在直线EF上，点48与点C、。分别在直线EF两侧，且乙108=

120°,乙COD=70°.

图1图2

⑴如图1,若OC平分48。。，OE平分乙力。0,过点。作射线。GL08,求NEOG的度数；

(2)如图2,若在480c内部作一条射线OH,若乙COH：乙BOH=2：3,(DOE=5Z.FOH,试判断乙4OE与4OOE

的数量关系.

【答案】(1)80喊100。

(2)/AOE=2乙DOE-105。或440E=乙DOE-105°

【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义，

(1)根据角平分线定义和周角是360。可得N40C的度数；分两种情况：当。G在EF下方时；当0G在EF上方

时，计算即可；

(2)由乙。0从△8。"=2:3,乙DOE=5乙FOH,设zOOE=5a,则/尸。"=a,再结合角平分线的性质可

用a表达出乙。。4/8。。的度数，求出4/1OE与/OOE的度数.

【详解】(1)•••。。平分乙8。。，

：・£BOD=2乙COD=2x70°=140°,

VZ.AOB=120°,

£AOD=360°-/.AOB-乙BOD=360°-120°-140°=100°.

当OG在EF下方时，

图1•••OE平分4。。0,Z.AOD=100°,

ALAOE=-Z-AOD=50%

2

vOG±OB,

Z.BOG=90°,

Z.AOG=Z-AOB-乙BOG=120c-90°=30°,

Z.EOG=Z-AOG+/-AOE=80°.

当OG在EF上方时，

图2v。£平分乙力。0,Z.AOD=100°,

••Z.AOE=2-z.AOD=50°,

••OG1OB,

•.Z.BOG=90°,

.*Z.AOE+Z-