导数的概念及运算（解析）-高考数学一轮复习

第9讲导数的概念及运算

学校姓名___________班级

一、知识梳理

1.导数的概念

(1)称函数)，=段)在x=xo处的瞬时变化率AJ-为函数y=

於)

/Qo+Ar)—/(.To)

在x=.ro处的导数，记作了(xo),即/(XO)=J1T--------------------------------

(2)在/0)的定义域内，/(戈)是一个函数，这个函数通常称为函数y=/U)的导函

../(r+Ar)—/(.r)

lim---------------------

数，记作PG)(或v',y，)，即/(x)—)—yJ—d—OA.r,导函

数也简称为导数.

2.导数的几何意义

/'Qo)是曲线y=/U)在点(xo,«w))处的切线的斜率，从而在点(xo,/U。))处的切线

方程为v—ZUo)=)(刀())二xo).

3.基本初等函数的导数公式

(1)C=O；(2)2=空心

(3)(a')'=cP-ln。；(4)(1咯团'=六；

(5)(sinx),=cosx；(6)(cosxY=-sinx；

(7)(^)'=更；(8)(lnx)'=±

人》

4.导数的运算法则

如果fix),g(x)都可导，则有：

(1)[/U)土g(x)]'=£k)歧区;

(2)伏x)g(x)]，=尸(五)女(1)+/U)g'(x)；

fG).f(x)R(x)—f(x)炉(x)

(g(x)WO)；

⑶.g(X).陵(x)P

(4)[C/W]'=3L

5.复合函数的导数

如果函数》=大〃)与〃=g(x)的复合函数为y=h(x)=figM)f则灵合函数的导数

〃(幻与/(〃)，g3之间的关系为

/(x)=伏8。))]'=/(〃>如)=/(g(x)>g'(x)，即■'="，％二

二、考点和典型例题

1、导数的概念及几何意义

【典例1-1](2022.河北.模拟预测)曲线y=e'sinx在x=0处的切线斜率为()

A.0B.1C.2D.-2

【答案】B

【详解】

1v1

y=e'sinx+ecosx,k=y|x=0=1.

故选：B.

【典例1-2](2022•山东枣庄•三模)曲线)，=/+纵2+c在点M(l,0)处的切线与直线

x-y-2=0垂直，则。的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】

设/(力=/+加+。，则/(力=3/+次,直线1-)-2=0的斜率为1,

f/71)=3+2Z?=-l优=—2

由题意可得心工,।八，解得।.

j(l)=Z?+c+I=0[c=l

故选：C.

【典例1-3】(2022•湖北•宜城市第一中学高三阶段练习)若过点(。⑼可以作曲线

y=x-L(x>0)的两条切线，则()

X

A.b>a>0B.a-<b<()<a

a

C.0<a--<b<aD.a>力>a—,且a>0

【答案】D

【详解】

作出y=%：（x>。）的图象，由图可知，

若过点（〃㈤可以作曲线产x」（x>o）的两条切线，点（。㈤应在曲线外,

•V

设切点为（3，%）伉>0）,所以%=%一■y=i+x-2,

X。

所以切线斜率为乙一41__/一£一”，

.%/一〃与一"

整理得（。-〃）£-2/+。=0,即方程在%>0上有两个不同的解，

1,

4-4«(67-Z?)>0a——<b

a

所以_天工？>

0,a-b>0,

a>0

«>0

所以且a>0.

a

故选：D.

【典例1-4]（2022・广西广西模拟预测（理））曲线y=V+l在点（-La）处的切线方程为

()

A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-\D.y=-3x-3

【答案】A

【详解】

,・,>,=/(x)=x3+l

・・・八力=3舄所以r(T)=3,

当r«O,l)时，两个函数图像有三个不同的交点.

故选：c.

2、导数的运算

【典例2・1】(2022•陕西•西安中学模拟预测(文))己知函数f(x)的导函数为尸(力,且满

JE/(x)=2^(l)+lnx,则/'(1)=()

A.1B.--C.-1D.e

2

【答案】C

【详解】

因为/(力=29'(l)+lnx,所以/'(刈=2/(1)+1，

所以r(i)=2r(i)+i,解得r⑴=—i.

故选：C.

【典例2-2】(2022•全国•河源市河源中学模拟预测)已知实效工满足

2/(x)+xf'(x)=2ACOS2A+2(cosx+sinx)2,x>0,/(g)",那么/(兀)的值为()

A.0B.1C.2D.不

【答案】C

【详解】

由2/(x)+.f(x)=2xcos2x+2(cosx+sinx)2两边同时乘x可得:

2xf(x)+x2f(x)=2/cos2x+2xsin2x+2x=[x2f(x)]，

sin2x+x2)=2x2cos2x+2xsin2x+2x，

因此f/(x)=*sin2x+A2+c.

由/偿|=5,BP—x5=—sinn+—4-c>可得c=/,

444

2

/(x)=sin2x+*+l,

2

，/(n)=sin2兀+之+1=2.

故选：C.

【典例2-3](2022・全国•高三专题练习)若函数/(%),g(“)满足f(x)+xg(»=f-L且

41)=1，则/'。)+/(1)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

取x=l,则有〃l)+g(l)=0,即g(D=-〃D=-l,又因为〃力+空(力=17，所以

r(x)+g(x)+xg'(x)=2x,所以r(l)+g(l)+g'(l)=2,所以

r(l)+/(l)=2-g(l)=2+l=3.

故选：C

【典例2-4】(2022•江苏盐城•三模)已知/'(X)为/(x)的导函数，且满足"0)=1,对任

意的工总有2/'(6-/(同>2,则不等式/(x)+2N32的解集为.

【答案】[0,”)##3工之0}

【详解】

小)+2,⑴3-"口("+2]_2r3-〃力2

设函数g(x)=7,则g3―/r\2-X

2e2

又・・・2/'(K)—/(X)>2：.g,(x)>0

所以g(x)在R上单调递增，又g(O)=/(O)+2=3

故不等式/(X)+223/可化为g(x)Ng(。)

由g(x)的单调性可得该不等式的解集为［0，”).

故答案为：［。,+8)

【典例2-5］(2022•全国•赣州市第三中学模拟预测(理))已知

/X

2f(x)+xf\x)=2xcos2x+2(cosx+sinx)2,且x>0,fg=5,那么

f⑺=----------------.

【答案】2

【详解】

07^12/(x)+=2xcos2x+2(cosx+sinx)2=2xcos2x+2sin2x+2,

所以，2xf(x)+x2f'(x)=2.r2cos2x+2xsin2x+2x=(x2sin2x+x2+c)，

即［%2/(力］’=(fsin2x+x2+cj,所以，x2f(x)=x2s\n2x+x2+c,

因为x>0,则/(x)=sin2x+l+：,

•*V

/\

所以.广苣.解得c=储.所以./(A)=sin2.Y+l+^,

T尸

因此，/(X)=2.

故答案为：2.

3、导数运算的综合

【典例3-1】（2020・陕西•咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知/（司=加+3/+2

且（（-1）=4,则实数〃的值为（）

19c16C13n10

A.--B.—C.—D.—

3333

【答案】D

【详解】

,//(X)=6U?+3X2+2,

/./*(.v)=3O¥2+6x,

・・・/'(T)=4,

3a—6=4,

10

/.a——.

3

故选：D.

【典例3-2】(2022•河南•方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线/的斜率为2,/与曲

线G：y=x(l+lnx)和圆Cz：f+y一6工+〃=0均相切，则”=()

A.-4B.—IC.1D.4

【答案】D

【详解】

设直线/：2x-y+〃7=。与曲线G相切，切点为(x),小(l+ln为))，因为y=x(l+lnx)的导

数为y=2+inx,由2+ln.%=2,解得与=1,所以切点为(草)，代入2%-丁+〃?=0得

，，口T,所以切线方程为1=0.将f+),2-6x+〃=0化为标准方程为

(.r-3)2+y2=9-«(/7<9),因为/与圆C?相切，所以7|==的二1解得"4.

y2~+1

故选：D

【典例3-3】(2022・山西太原•二模(理))已知函数/(M=asinx+〃cosx+c¥图象上存在

两条互相垂直的切线，且/+〃=1,则a+h+c的最大值为()

A.273B.2&C.GD.72

【答案】D

【详解】

Fh+Z>2=I»令。=sin"Z?=cos。，

由f(x)=as\nx+bcosx+cx,

得/'(x)=。cosx-Z?sinx4-c=sin6cosx-cos^sinx+c

=sin(。一x)+c,所以c-l«r(x)Kc+l

由题意可知,存在不毛，使得意可)/(再)=-1，

只需要|。一1|卜+1|=k2一|21,即02一1V一1,所以©=(),

a+b+c=a+b=sin0+cos0=0sin!0+—<近

所以a+b+c的最大值为企.

故选:D.

【典例3-4】(2022•江西南昌•二模(理))己知函数//(9二卜：>2°(〃>()),若函数

ae,x<0

/(力的图象上存在两个点A(XQ[),网孙必)，满足)1%一012<0,则〃的取值范围为

()

A.a>2B.a>\C.0<«<1D.0<a<2

【答案】C

【详解】

由函数解析式，x>0时，f(x)=6/e,/(—x)=ae-S)T=aei=/(x),

x<0时，f(x)=ae-*，f(一力=ae'1=f(x),

综.上/(—#=/3),/(x)为偶函数，

易知xNO时，/(x)单调递增，x<0时，/J)单调递减，

显然有X>0，%>。，因此要使得,必一内七<。成立，则王玉>。，

即A8两点在)，的同侧，

由八X)是偶函数,不妨设两点都在y轴右侧,即4B在/⑴=讹1。>0)的图象上,

X%一百声<0，乂)'2<百々,<%%2,

等价于存在不与c(。，y)使得-4>e"'e'，

aXjX2

设8(幻=尸，g'(x)=ei,设g(x)的图象过原点的切线的切点为(%,%),^U)=e^'

所以小7二0工，解得厮=1,^(D=e,-,=1,

%-U

所以g(x)=ei(K>0)的图象过原点的切线斜率为1,即g(x)=e'T