二元一次方程组的应用（古题今解）导学案-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第五章二元一次方程组

5.3二元一次方程组的运用（古题今解）导学案

a学习目标与重难点

学习目标：

1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。

2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实”.界

3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型,

发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。

学习重点：能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.

学习难点：用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。

A预习自测

一、知识回顾

I.解二元一次方程组的方法有消元和消元.

2.解方程组：「A_v=s

3y

x+y=35J

3X

〔2x+4y=94L1~y=1

3.甲数是乙数的2倍,甲数与乙数的和是12,则甲乙两数分别是多少？

A教学过程

一、创设情境、导入新课

《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤

为广泛，飘洋过海流传到了口本等国.

“鸡兔同笼”题为：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，

下有九十四足，问鸡兔各几何？

说一说；已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？

已知条件：__________________________:

所求问题：.

隐藏条件：_______________________________.

你能用小学学过的知识解决这个问题吗？

解法一：假设全部是鸡，贝IJ:

所以兔子一只，鸡只,

解法二：假设全部是兔子，则:

所以兔子一只，鸡只，

解法三：设鸡有只，兔子（35・x）只，依题意得

所以兔子只，鸡只，

解法四：设兔子有y只，鸡（35-x）只，依题意得

所以兔子一只，鸡只。

二、合作交流、新知探究

探究：应用二元一次方程组解古算题

今有鸡兔同笼，上有三十五头，

下有九十四足，问鸡兔各几何？

等量关系2______________________________________1

解：设笼中有鸡x只、兔y只,根据以上分析，得方程组

所以笼中有鸡只、兔只。

尝试与思考

若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳

尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利

数学家斐波那奇《计算之书》）

解：设甲原来拥有X第纳尔，乙原来拥有y第纳尔，依题意得

答：甲原来有—第纳尔，乙原来有—第纳尔.

例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙

各怀钱几何？（选自《张丘建算经》）

题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，

如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？

数量关系：.

解：设：甲带的钱数是x,乙帝的钱数是y.依题意得

所以甲带的钱数是钱，乙带的钱数是钱.

例题2：以绳测井;若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？

题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折

成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？

数量关系：.

解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得

答：绳长尺，井深尺.

例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”

题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各

价值多少“金”？

数量关系：.

解：设牛值x两，羊值y两，依题意得

答：羊值“金"两，牛值“金”两。

【强调】：列二元一次方程组解应用题的基本步骤

(1)审题，找两个等量关系；

(2)设两个未知数，

(3)根据等量关系列方程组；

(4)解方程组；

(5)检验并作答.

三、课堂练习、巩固提高

1.根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物.

大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了.”

小马说：“我还想给你1包呢！”

大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了.”

小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题.设未知数K,y,已经列出一个方程x・l=y+l,则

另一个方程应是()

A.x+l=2yB.x4-l=2(y-1)C.x-1=2(y-1)D.y=l-2x

2.一只蛔蛔6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蝴蝴和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛔螭有x只，蜘

蛛有y只，则列出方程组为.

3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3

尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组

4.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.

设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为.

5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外送来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到

几个声音，下面有这一古诗为证：

隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？

6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地.匕觅食的鸽子说：

“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树

下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

能力提升：

7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十XC,共卖价钞五百七.四/E绢价九十贯，三无布价该五十.欲

问绢布各几何勺;…”其大意是：今有绢与布30卖得尹0贯钱“1绢价90贯，3（名布作颌贯，

|x+y=30x+y=30-

乐济■有给少.xB布有y^E，依据题意可

—x+一

43x+y=30

拓展迁移：

8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台

4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不

同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

四、总结反思、拓展升华

列二元一次方程组解应用题的基本步骤:

（1）审题，找两个等量关系：

（2）设两个未知数，

（3）根据等量关系列方程组；

（4）解方程组；

（5）检验并作答.

关键：等量关系式

五、【作业布置】

】.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有

九十四足，问鸡兔各几何.”用你所学知识可知笼中有（）

A.12只鸡，23只兔B.23只鸡，12只兔

C.15只鸡，20只兔D.20只鸡，15只兔

2.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；

若每人9两，则差8两.银子共有数目是（）

44B.45C.46I）.47

3.我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺

五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；

将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组

为__________________________

4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱

分别是多少？设每头牛价钱x,每头羊价钱y,依题意得.

5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有人，该物品价值

元.

6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有匹大马，

匹小马？

7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是cm,宽是

cm。

60

提示：从图中可以知道长是宽的3倍

能力提升:

8.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1.图2所示，图中各行从左到右列出的

算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组

形式表述出来为13x+2y=ll类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________________.

L4x+3y=26

^1111=|||'

.....................................

图2

拓展迁移：

9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B

货车一次可以运货160吨.

(D请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将仝部货物一次运完(A、B两

种货车均满教)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出

所有的运输方案，并指空哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元.

课堂作业参考答案:

1、B

2x+y=10

6x+8y=68

*

33x+4=y

、［4x-3=y

,5x=5y+10

4''4x=6y

5、解：设人数为x人，银两为y两，依题意得

―5x=y-6

6x=y+5

x=ll

解得jy=6l

答：人数为11人,银两为61两。

6、解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得

-y-l=(x+y)x

_x-l=y+l

一x=7

解得]y=5

答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，

7、B

8、解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购进C型电脑Z台，则可分以下三种情

况考虑：

(1)只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得

[■60(X)x+4(M)0y=1()0500

lx+y=36

解得！x=-21.75

(y=57.75

不合题意，应该舍去.

(2)只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：

f6(X)Ox+25()()z=l(M)50()

Ix+z=36

解得rx=3

、z=33

(3)只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：

■4000y+2500z=100500

,y+z=36

解得fy=7

.z=29

答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑