高考数学二轮复习 模块六 立体几何（测试）解析版

模块六立体几何（测试）

（考试时间：12（）分钟试卷满分：150分）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

I.在四面体ABCQ中，AB上BC、AB=l,AD=CD=2g,BC=^,则四面体A3CZ）外接球的体积为

（）

【答案】D

【解析】

因为A8=l,BC=岳,所以4C=+4c2=4.

又AD=CD=2叵,所以+故AD_LCO.

取AC的中点。，则。到四面体出CD四个顶点的距离均为2,即四面体ABCD外接球的半径为2,则叫而

体A8CO外接球的体枳为岁x2,=学.

33

故选：D.

2.如图所示，在正方体中，E为线段AG上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定

值的直线为（）

Ci

C

A.直线ACB.直线A。

C.直线BOD.直线AA

【答案】C

【解析】

设正方体的楂长为1,

如图，以。为原点，分别以QAQCQA为x，》z轴建立空间直角坐标系,

A(l,(),0),D(0,0,0),C(0,l,0),8(1,1,0),A。，。」)，

设xe[0,l],则CE=(l—x,x—l,l),4C=(—1,1,0),>\D=(-l,0,-l),=(-1,-h0),

/\A=(0,0,-l),

uuruinn

/iiuruim11CEAC

costCE,AC)—uur|itup不是定值，故错;

2A

CEAC^2(1-x)+1x72

uuruuir.

/urmarCE.A4_k_2|

cos(CE,D■tttir,不是定值，故B错;

CEJ2(17『+1x&

uurmuI

/uuruinCEI3D\_

cos(CE,BDutrrnwr=0,所以直线C£与直线BO所成角为故C正确;

CEBD

Ulfl-UUH|

/Uli-UUUxiCE-A^|-1|

cos(CE,4⑷=

t1UT||UU叫=I——,不是定值，故D错.

。目卜同j2(i-xy+ix及

故选：c.

3.若平面a截球。所得截面圆的面积为12兀，且球心。到平面。的距离为拉，则球。的表面积为()

A.48兀B.5071C.56兀D.64TI

【答案】C

【解析】由平面。截球0所得截面圆的面积为12兀，得此截面小圆半径,=26,而球心到此小圆距离

d=鼻»

因此球O的半径R,有此2=)+半=]4,

所以球O的表面积S=4兀六=567r.

故选:C

4.在三棱柱中，M-L平面八是等边三角形，。是棱4c的中点，七在棱

叫上，且8石=3片邑若AA=2人8,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是()

Vio

A.VioB.

'w-~20

C.VioD.巫

~T~5

【答案】B

【解析】取AB中点产，连接DF,EF,

因为D是BC的中点，所以。r〃AC,

即异面直线AC与DE所成角就是平面尸或补角,

假设A3=2,因为AABC是等边三角形，所以£)”=1,

因为BE=3B1E,AA=2A8,

所以AA=4,8E=3,

因为AA_L平面ABC,则Me-A4G为宜二棱柱，

所以。E=JI5,EF=M'

DE?+DF2-EF2IO+I-IOViU

在Z\DEF中，CGS/EDF

2DEDF2x710x1-20,

故异面直线AC与DE所成角余弦值为巫

2()

故选：B.

A.167rB.971C.8%D.12兀

【答案】D

【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去•个三棱锥，截面三角形边长为正，

则原正方体棱长的一半为1,即多面体所在正方体的棱长为2,

可得正方体体对角线长26，外接球半径为6，

所以外接球表面积为4兀X（7J）2-12兀.

故选:D.

7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，两圆锥的表面积分别为，和邑，内切

仇

S.5-是

球半径分别为a和若，=3,4)

2

A.竺B.巫C

vn5)D.

45

【答案】C

【解析】两圆锥的母线长为/，甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面半径为4，

由圆心角之和为2冗，得平+乎=2兀，贝1"+4=/,

又Q可+吗='，即21+2“=5片+5也将石+0=，代入,

S2nr；+nr2l2

所以21+24（4+弓）=5片+54（4+弓），

..21

即4片一3斗弓-10]=0,所以彳=2弓，从而（=/,r2=/

JJ

由圆锥内切球半径公式得，4=%=，^=卫-=盛三二

5,Ttr~+TtrJ4+/+/

__更

所以包=止父,,将4=3代入学=广一,解得力宜1/,同理可得力,二①/,所以3=平.

64+/3乙21+115-6瓦5

33

故选:C.

8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体48CZ）-EFGH就是一个半

正多面体，其中四边形A8CQ和四边形）G”均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所

有校长均为2,则平面A8C。与平面耳G”之间的距离为（）

A.V2B.西C.业D.少

22

【答案】B

根据半正多面体的性质可知，四逅形EGMN为等腰梯形；

根据题意可知BC1MN、BC工MG,

而MNnMG=M,MMMGu平面EGMN,

故8。/平面EGMN,又8Cu平面48c。，

故平面A8CD_£平面EGMN,则平面EFGH_L平面EGMN,

作MS_LEG,垂足为S,平面EFGH平面石GMN=EG,

MSu平面EGMN,故MSL平面EFGH,

则梯形EGMN的高即为平面A8CD与平面EFGH之间的距离；

MG=2x叵=瓜5GJ五一2:及,

22

故MS=y]MG2-SG2=正陋』=亚7?=%，

即平面48C。与平面EFGH之间的距离为我，

故选:B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.如图，在正四棱柱ABC。—中，AA=2A3,。为AA的中点，。为A。上的动点，下列结论正

确的是（）

G

A.若PQ〃平面ABC。，则A2=；ACB.若PQ〃平面ABC。，则=

c.若PQI平面PH。，则AQ=!ACD.若尸Qi平面PHO,则AQ=！AC

43

【答案】BD

【解析】如图建立空间直角坐标系，令M=2A8=2,则力（0,0.0）,C（0,1,0）,8（1,1,0）,

4（1，。，2），

则£>“=(110),DP=(L0,l),4。=(一1，1，一2),aA=(0,0/)，

设平面尸8。的法向量为〃=(x,y,z),贝叶,取〃=(1,一1,一1

n-DB=x+y=()

乂产面A8CO的法向量可以为〃z=(0,0,1),

设AQ=2AC，^e[(),l],则PQ=PA+AQ=%+/l4C=(—4；U—2/l),

IKUIUI

若PQ〃平面ABC。，则PQ_L机，即PQ.〃7=1-24=0，解得a=不，

即AQ=g4C,故A错误，B正确；

若P。人平面P8。，则PQ//〃，则序=£,BP(-/l,2,l-2/l)=r(l-l-1),

-^=t[z=-

所以八T,解得]3,即AQ.IAC,故C错误，D正确.

\-2A=-t/=一二

故选:BD

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.已知任意非零向量a=（$,y,zj,6=（XQ，,,ZJ,若a则立=、~二，

X2）‘2Z2

1一1一1—

B.若对空间中任意一点。，有OP=三。A+^OB+qOC,则P,A8,C四点共面

632

C.设｛dAc｝是空间中的一组基底，则｛〃+〃，儿〃-力｝也是空间的一组基底

1-3

D.若空间四个点P,48.C,PC=：PA+二P8,则三点共线

44

【答案】BD

【解析】对于A：若a”,则±二上二五，

4%Z2

且X2,为，马工。，故A错误；

对于B,若对空间中任意一点。，

1II

++-

有。P」Q4+1O8+LOC,6-3-2-

632

\P,A氏。四点共面，故B正确；

对于C,丁｛。,瓦。｝是空间中的•组基底，

且占=g（E+〃）一；（5一方），*1-ci+b,b,a-b共面，

不可以构成空间的一组基底，故C错误；

一1-3

对于D,若空间四个点尸,AaC,PC=NPARPB、

44

..1+3=1,4,民。三点共线，故D正确.

44

故选：BD

11.在等腰梯形A3CO中，AB〃CD,AB=BC=3,CD=1,点5Qz,E分别为CD,AB.BC的中点,以QQ所

在直线为旋转轴，将梯形旋转180°得到一旋转体，则（）

A.该旋转体的侧面积为6不

B.该旋转体的体积为也

3

C.直线AE与旋转体的上底面所成角的正切值为这

5

D.该旋转体的外接球的表面积为警

【答案】ACD

【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图.

因为48=3,。。=1,

所以圆台的上、下底面的半径分别满足《=;1，弓二］3.

又BC=3,

所以该圆台的侧面积5=“位十幻/C=%十1）x3=6〃，所以A正确.

过点CD分别作CG±AB于点G,DH工AB于点、H,

则A"="G=G8=1,所以DH=而二而=后==2母，

故该圆台的体积V=［五（，:++片）•£>"=，兀［Wl］x2我,

3v-73U44j6

所以B错误.

易知圆台的上、卜底面平行，

所以直线4E与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角.

过点石作EM_L48于点M.易知ZLMAE为直线AE与卜底面所成的角.

乂AM=A4-MA=8G=3-LW,EM=-CG=-DH=y［2t

22222

•EM夜2夜

所以tan/K4E=而=§=工，所以c正确.

2

设该圆台的外接球的半径为R，球心为0,00?=〃?（〃?>0）.

当点。在线段反。2上时，。。1=2及一机.由R=O8=OC,得JoF+OO；=JoC+oo；,即

当点。在线段。。2的延长线上时，OOi=2y/2+m.由R=O8=OC,得表+。。；=』OQ+OO；，即

则该旋转体的外接球的表面积S=4冗六=4兀x己=三牝所以D正确.

o2

故选：ACD

12.如图1,矩形用8CG由正方形与B4A与AACG拼接而成.现将图形沿A4对折成直二面角，如图

2.点P（不与印C重合）是线段5c上的一个动点，点E在线段A3上，点/在线段A&上，且满足

PELAB,尸"_LAG，则（）

C.NE尸尸的最大值为丁D.多面体CE4EP的体积为定值

【答案】AC

【脩析】设正方形46AA,AACG的边长为1因为/W,ACAA两两垂直，

以A为坐标原点，分别以A8,ACAA,所在直线为X轴、），轴、Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

A(0,0,0),8(1,0,0),4(1,0,1),A(0,0。)，C(OJO)，c；(0,1,1),设P(x,)，,z),E(x0,0,0),一(0,%,1),

由4P=丸4。（0</1<1）,且庄_LA氏P尸_LAG，

y=\-x

z=x

可律(xo-x,-y,-z)(l,O,O)=O解得

(一尤为一丁」一2)(0/,0)二。

>0=)'

即P(x,1-x、x)(0<X<1),E(x,0,0),F(0,l-x,l),

对于A中，\PE\=7(1-X)2+X2,|PF|=Vx2+(x-l)2,可得阿卜|明，

即|PE|=|P尸I，所以A正确；

对于B中，由?日与。=2工一1,所以当且仅当x=g时，PEBC=0,

即所以B错误；

,COJPEPQ-PEPF_)7.1>1

对于C中,因为叫同冏k+(一)2上+9-2，

1—XX

当且仅当X时等号成立，由“尸尸为钝角，所以(喈叫吗，争，

即/EP产的最大值为弓，所以C正确；

对于D中，多面体CE4£P的体积丫=匕3/+匕_代=:卜2+耳，非定值，所以D错误.故选：AC.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个正四楂台的下底面周长与上底面周长之差为16,且其侧面梯形的高为26，则该正四棱台的高

为.

【答案】2夜

【解析】如图：在正四棱台48。。-加6”、£。,硒分别为侧面卜.的高以及棱台的高,

设棱台的上下底面的边长分别为。，〃，则48-加=16=>〃-。=4,

在等腰梯形ABFE中，EA=+22=4.

故棱台的高为2夜,

故答案为：20

14.如图，四边形ABCQ是平行四边形，S是平面A8CQ外一点，M为SC上一点，若SA〃平面

【答案】1

(解析］连接AC交3D于点0,连接OM,

因为四边形ABCD是平行四边形，所以。为AC的中点,

因为SA〃平面M/M，平面SAC1平面=SAu平面SL4C,

所以必〃(W，

所以M为SC的中点,

,SM,

所rc以iH

故答案为：1.

15.在四棱锥尸-A8C£>中，底面A8CD是正方形，J_底面A8CD若四棱锥尸-A8CD的体积为9,且

其顶点均在球。上，则当球。的体枳取得最小值时，AP=.

【答案】3

【解析】如下图所示，设四棱锥P-A8CD底面边长为“，则该四棱锥的体积％M8c/)=g/・PA=9,

27

所以2A=•设四棱锥户-ABCD的外接球半径为R.

通过构造长方体可知满足P^+AB^AD2=42：

即4斤=2/+［乌］=2a2+72%/，

2

令f(a)=2a+72%「4MG(0,-K»),则f'(a)=4(.-7291),令/(a)=0,即a=3；

当〃w(0,3)<0,aw(3,+oo),/'(a)>0,

所以，/(a)=2/+729/在(0,3)上单调递减,在(3,+oo)上单调递增;即函数/(〃)在a=3处取最小值，此

时外接球的半径最小，体积最小：所以a=3,PA=^27=3.

故答案为：3

16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲

率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角「卬做多面体的面角，角度用弧度制)，多面

体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点

有3个面角，每个面角是：，所以正四面体在每个顶点的曲率为2冗-3>^=冗，故其总曲率为4兀.根据曲率

JJ

的定义，正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率为.

【答案】4兀

【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为2兀-3x^=1；

由定义可得多面体的总曲率=2/rx顶点数-各面内角和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，

所以任意四棱锥的总曲率为2”5-("4+241)=4兀.

故答案为：y;4兀.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

如图，在直三棱柱44c・中，48=4。=例=2,/84。=90,£/分别为CC，3C的中点.

(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值：

(2)求点B1到平面AEF的距离：

(3)求平面AEF与平面\EB夹角的余弦值.

【解析】(1)由题意可知在*AC、AA两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系,

则4(0,0,2),5(2,0,0),£(0,2,1),*1,1,0),

即A启=(Z0,-2),E"=(1,一1,一1),

4aA.BEF4二旦

所以8"网l"=研司二诟方

即异面直线外与科所成角的余弦值为争

（2）由上易知44=（2,O,2）,AE=（O21）,A/=（l/,O）,

〃・AE=2y+z=0

设面A"的一个法向量为〃=(x,y,z),则有

n-AF=x+y=0

取y=-I=x=l.z=2.RPn=（1,-1,?.）,

•川

所以点B1到平面AEF的距离为d=L-LJ=

同限

（3）由上可知A8=（2,0,—2），AE=（0,2,—l）,

m-A^B=2a-2c=0

设面AyEB的一个法向量为m=(a,b,c)，则有

m-A^E=2b-c=0

取c=2nb=l,a=2,即m=（2」,2）,

设平面AEF与平面\EB夹角为。,

则costz=|

即平面AEF与平面AE8夹角的余弦值型.

18

18.（12分）

APpp

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是平行四边形，分别为上的点，且黑=?

rD

（1）证明：4r〃平面PCE；

⑵若POJ_平面为A8的中点，PD=AD=CD,NBAD=60。,求二面角P—C£—尸的正切值.

【解析】（1）证明：如图，在C。上取一点G,使得CG=4石，连接AG,FG,CE,

因为底面A8CO是平行四边形，所以CD=A8,所以8E=QG,

因为CG//AE,CG=AE,所以四边形AECG是平行四边形，所以4G//CE,

因为CEu平面PEC,AG（Z平面PEC,所以AG〃平面PEC,

AFPFCHPF

又因为黑=工，所以等=柴，所以尸G//PC,

rIJIJCJ卜I）

因为PCu平面PEC,Wa平面PEC,所以PG〃平面PEC,

乂因为/Gc4G=G,尸GAGu平面E4G,所以平面EAG〃平面PEC,

因为AFu平面P£C,所以AF7/平面PCE.

（2）当E为A8中点，PD=AD=CD,NR4O=60。，易知。E_LC。，尸为尸。中点，

又因为尸。J_平面ABCD,所以DE,DC,。尸两两垂直，

则以。为坐标原点，。旦。G。2所在直线为x，）'，z轴建立空间直角坐标系，如（1）图,

设P£）=AP=CO=2,则C（0,2,0）,E（＞/3,0,0）,*0,0,1）,P（0,0,2）,

所以CE二(点一2,0),FE=(V3,0.-l),PE=(x/3,0,-2).

设,I立面FCE的一个法向量为fn=（x,y,z）,

m-CE=Gx-2y=0

则令x=2S得〃?=(2石,3,6),

m-FE=JJx—z=0

设平面PCE的一个法向量为〃=(。也c),

n-CE=+a-2b=0亡/厂\

则L，令x=2®,得”仅百,3,3,

n-PE=yl3a-2z=O''

/、mn12+9+1813

WWcos^/?）=_=_^=_,

故二面角尸一8-尸的正弦值为j-燃二篇,

历

所以正切值为曙=

13

7190

故二面角P-CE-F的正切值为冷

19.（12分）

如图，在五面体八36万尸中，面心£3_面/138,ZADC=90°,QP面八BCD,=DE=DC=2,

EF=1,AB=3,二面角八一。C-尸的平面角为45.

⑴求证：CZ)〃面庄；

(2)点P在线段AE上，且AQ=2尸E,求二面角2-叱-8的平面角的余弦值.

【解析】(1)YMP面A8CQ,

又EFu面CDEF,而ABCDc面CDEF=CD,

:,CD〃EF.

乂C。仁面AB庄，EFu面ABFE,

I.CQ〃面庄：

(2)取A。中点O,BC中点连结OE,OM.

,••而面ABCO,交线为A。，

CQu面ABC。，ZADC=90°t，。。_1面人。£：.

・•・NADE是二面角A-DC-尸的平面角.即ZADE=45°.

•：EFP^iABCD,

又E”J面A6此，ifiiABCDHlABFE=AB,

・•・AB//EF.

・・・。。〃4反又4?08,・・・四边形43（笫是梯形.

，0M是梯形ABCD的中位线.・•・OM//CD.：.OMJ.面ADE.

VAE=DE,。是A。中点，：.OE±AD.

以。为原点，OA,OMt0E为轴如图建立空间直角坐标系。-冷2,则

/1（＞/2,0,0）,5（技3,0）,D（72,0,0）,C（也2,0）,网0,0词,尸（0,1,忘）,

4£=（-V2,0,V2）,CB=（2x/2,l,0）,C尸=（五,-1,血），FA=］中,7「塔,

由0=以+八~=卜/1-1,-夜）+|（-&,0,夜）=孝,一］,-#］

设面PC”的一个法向量为〃2=（8y,zj,由加_L。，机_LC/，得

嗯：;+露:取*3得*“，…，.••岚=（2•&-1）.

设面8b的一个法向量为〃=（%,%，Z2），由〃J.C8，〃1CF，得

2/：^"0-o'取以=2&，得勺=-1，Z2=3,・・・〃=（一1,2夜,3）.

-2+4-3V14

cosin、n-

x/7xV18~42~

・•・二面角P-W—A的平面角的余弦值为一巫.

42

20.（12分）

如图，A8是半球。的直径，A8=4,M,N是底面半圆弧48上的两个三等分点，〃是半球面上一点，且

NPCW=60°.

(1)证明：尸8_L平面PAA/：

(2)若点/，在底面圆内的射影恰在ON上，求直线与平面丛8所成角的正弦值.

【解析】(1)连接OM、MN,BM,因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，

所以有NMON=NNO8=6()。，又因为OM=ON=OB=2,

所以“MON”NOB都为正三角形，

所以MN=NB=BO=OM,四边形OMN8是菱形，

记ON与BM的交点为Q,。为QN和8W的中点，

因为ZPON=60。,OP=ON,

所以三角形O/W为正三角形，

所以=G=所以PB1PM,

因为尸是半球面上一点，是半球。的直径，所以依_LP4,

因为=PM,B4u平面以例，

所以依_L平面RV0.

(2)因为点”在底面圆内的射影恰在OV上，

由(1)知。为QV的中点，.OPN为正三角形,所以PQ_LON,

所以。。工底面48W,

因为四边形OMNB是菱形，所以M8_LQN,

即历8、ON、P。两两互相垂直，

以点。为坐标原点，QM,QN,QP分别为x,z轴，建立空间直角坐标系。-g2,如图所示,

则O(O,TO),M(5O,O),8(-6O,O),N(OJO),P(O,O,/)

所以PM=(VIo.—。)，OP=(0J,>/3),08=(—G,1,0),

设平面PAB的一个法向量为"?=（"*）,

〃?-OP=0y+&z=0

则，所以

mOB-0-A/3X+>'=0

取x=l,则/〃=（1,6,一1）,

设直线尸M与平面PAB的所成角为

所以sin0=cos(PM,m

故直线PM与平面以3所成角的E弦值为典.

5

21.（12分）

如图，四棱锥2-八88的底面ABC。是正方形，且平面P8C_Z平面A8CO.0,E分别是8C,%的中

点，经过。，D,七三点的平面与棱P8交于点“，平面PBCc平面"£>=/,直线OE与直线/交于点

（1）求普的值;

卜B

Q）若PB=PC=CD=2,求多面体POCQ砂的体积.

【解析】（I）连接。G,

由题意，OG与心的交点即为点F，连接EF,

因为底面A8CO是正方形，所以AD//8C,

又因为AO(Z面P8C,BCu而PBC,

所以AO〃面PBC,

因为平面P6Cc平面24。=/,4£>u面尸4。，

所以AZ)〃/,

又E为帖中点，所以GPEW.DAE,

所以4)=GP,

乂因为A力〃5c且4D=BC，

所以GP//6C且GP=6C,

所以.O8PGPF,

因为。是8。中点，所以名=*=2.

卜BOB

(2)连接OP,OE,所以多面体POCOM的体积为丫=匕38+%一户

因为PA=PC=2,。是BC中点,

所以POIBC，PO7Pde=6

又因为平面P8C/平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,POu平面PBC,

所以PO1面A8C。，

所以M，0cD='XS、3[>xPO=-x—xlx2xV3=—，

因为E为R4中点,

V

所以YE-POD=；A-POD=gLow=j*gXJ

3

由⑴可知

PF2

月7以％POF-~^FPOB=­x—V.PGR=-X-X—xlx>/3x2=—，

A-J</r3t.—r1/n32八T3329

所以多面体，08夕的体积为V=立+且+且=述.

3399

22.（12分）

无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七卜周年、建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼,

“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严171金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而

是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的

颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型

别致，可以理解为一个正六