高考数学一轮复习：三角函数的单调性与最值

第4讲三角函数的图象与性质

最新考纲考向预测

以考查三角函数的性质为主，题

目涉及单调性、周期性、最值、

1.能画出）=5抽厂y=cosx,y=tanx的

图象，了解三角函数的周期性.零点.考查三角函数性质时，常

命题

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0.2扪与三角恒等变换结合，加强数形

趋势

上的性质（如单调性、最大值和最小值以结合思想、函数与方程思想的应

用意识.题型既有选择题和填空

及与X轴的交点等），理解正切函数在区

间（甘，野内的单调性.题，又有解答题，中档难度.

核心

直观想象、逻辑推理

素养

走进教材•自主回顾

知识梳理_______________温故知新

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

五个关键点是：（0,0）,俘1）,

（1）正弦函数产5m了，s£[0,2句的图象中,

（兀，0）,（%,-1）,（2兀，0）.

（2）余弦函数、=85%，x£[0,2兀]的图象中，五个关键点是：（0,1）,停0）,

（兀，一1）,（苧,（）），（2K,1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yy.y

1

图象\黑，一A

-r

0：:工2才

-1-1

71

定义｛小WE+],

RR

域

kGZ\

值域LI,11r-i,iiR

周期

2n21c匹

性

奇偶

奇函数偶函数奇函数

性

L，+2E,

单调

「一兀+2攵兀,(一\+E,W+E),

递增，+2&冗1，

2E1，ZWZ

区间kGZ

kGZ

续表

函数y=sinxy=cosxy=tanx

.+2E,

单调

兀+2，兀1,

递减堂+2EL无

kGZ

区间

k£Z

对

对称中心伏兀，())，&WZ显享Q：(量;,kWZ

称

/=攵兀+冬k£Z

性对称轴x=kr,kez无对称轴

P零占八、、kit,kGZ攵兀+4，Z£ZE,kGZ

4

©常用结论

I.对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是

半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相

邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y=4sin(tox+9)为偶函数，则有兀+永2仁2)；若为奇函数，则有e

=kji(kGZ).

(2)若y=Acos(cor+9)为偶函数，则有(p=kn(kGZ);若为奇函数，则有(p=kn

+软6).

⑶若y=Atan(s+9)为奇函数，则有0=E(A£Z).

0常见误区

1.对于y=lanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间

E甘,E+?(k£Z)内为增函数.

2.求函数y=Asin(公t+夕)的单调区间时要注意A和。的符号，尽量化成口

>0的形式，避免出现增减区间的混淆.

诊断自测,易错清零

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(l)y=cosx在第一、二象限内是减函数.()

(2)若y=Zsin工+1,x£R,则y的最大值是2+1.()

(3)若非零实数7是函数人用的周期，则是非零整数)也是函数人幻的周

期・()

(4)函数尸sinx图象的对称轴方程为x=2E+/£Z).()

(5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)X

2.(易错点)函数y=tan2x的定义域是()

.71

A.jxx手,履+7kS

eII兀I兀

B.UkWZ

C,^|

D-M反了+不kGZ

jrLITjr

解析：选D.由ZiWE+j,kGZ,得工工彳十公，k£Z,所以y=tan2r的定

乙乙•

义域为卜户号+：,Z：ezk

3.(多选)下列函数中，最小正周期为兀的偶函数有()

A.7="tanx

（）函数）（的单调递减区间为.

.加1/0=sin—2x+§

（2）函数於）=lan（2r+多的单调递增区间是________.

【解析】（lVCx）=sin（—2x+§=sin—（2A—§=—sin（2x一守），由2履一5

・21一聂2%兀+百，左右Z,得E—相，％£Z.故所求函数的单调递减

区间为也一有E+母（2£Z）.

（2）由也一依到+长也+我"），得g—浮。V与+曲k£Z）,所以函数

ZJZZl”Z1Z

/U）=tan（2r+目的单调递增区间为售一招，亨+专）（火"）.

【答案】（1[〃冗一专，女元+碧（力EZ）

⑵俘一瑞,y+^aez）

【引申探究】

1.（变条件、变问法）若本例（1次¥）变为：於尸一cos（—2%+目，求於）的单

调递增区间.

解：/U）=_cos（_2x+§=_cos（2x一§,

欲求函数«r）的单调递增区间，

只需求），=cos（2x—g）的单调递减区间.

兀

由2EW2t—?忘2也+兀，k£Z,

得E+今WxWE+亨，kSZ.

yr2x

故函数«x）的单调递增区间为E+1E+牙（k£Z）.

2.（变条件、变问法）本例（iyu）变为：40=比11（2丫一号，试讨论yu）在区间

一会不上的单调性.

解：令z=2t—鼻，易知函数y=sinz的单调递增区间是一，+2E,，+2E

kGZ.

由一3+2EW2x一±.百+2既，

乙。乙

得一古+攵兀<W送+攵兀，攵£Z.

设A=一£,；,8=x|-金+EWxW驾+E,keZ,易知ADB=

nn

12f4_-

所以，当一；，彳时，风丫）在区间一自，:上单调递增，又因为々一卜:）

=^<T,所以兀r）在区间一£,一专上单调递减.

求三角函数单调区间的两种方法

（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角

，，（或。，利用复合函数的单调性列不等式求解.

（2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.

［提醒］要注意求函数y=Asin@x+9）的单调区间时g的符号，若QJ<0,那

么一定要先借助诱导公式将切化为正数.同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.

跟踪训练;

1.函数y=|cosR的一个单调递增区间是（）

71Tt,

A.Lr]，引B.[0,兀]

［伊，用

C.[71,引D.2

解析：选D.将），=cos犬的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x

轴上方，x轴上方（或x轴上）的图象不变，即得y=|cosR的图象（如图）.故选D.

r

一

一手。号宣如2"

2.设函数yU）=sin（〃一§,一去兀，则以下结论正确的是（）

A.函数/㈤在甘，。上单调递减

B.函数次x）在0,上单调递增

C.函数贝x）在冬y上单调递减

D.函数於）在旅，n上单调递增

解析：选C.由入目甘，。］得ZL铝一华，一：，所以府）先减后增；由

0,得2x—黑卜号，用，所以於）先增后减；由工£惇制得21—三

y,y,所以於）单调递减；由工£",兀得2x—界与，用，所以於）先

减后增.

2

三角函数单调性的应用

角度一利用三角函数的单调性比较大小

例2己知函数./U）=2sin（x+g,设停），〃=•/e），c=J停），则。，仇c

的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<b

因为y=sinY在0,g上单调递增，且京•粤<3，所以

_4」D乙I乙

【答案】B

侬窗窗

利用函数的单调性比较大小

（1）比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三

角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；

（2）比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较.

角度二利用三角函数的单调性求值域（最值）

BE（1）函数/氏）=33池（2X一"在区间0,1上的值域为（）

_3

-2-

_

_3啕

AC.--

一

(2)函数y=sinx—cosx+sinxcosx的俏.域为

近

兀

兀

兀

一

时

一

O一

2-6-"

61

3

--3

才

3

3

一

即此时函数/U）的值域是万

（2）1殳/=sin戈―cosx,则一yfiWfl,/2=sin2A-4-cos2x_2sinxcosx,则sin

1-z2

xcosx=-2-，

所以y=-3+1+、=-16+1.

乙J乙

当，=1时，＞max=l；当一一啦时，ymin=-1—V2.

所以函数y的值域为也，1].

【答案】（1）B（2）[-1-V2,1]

【引申探究】

1.（变条件）若本例⑴中函数危）的解析式变为：/U）=3COS（2L5）,则危）

在区间0,y上的值域为.

解析：当闻0,引时,y],

cos（2x一翡一坐,1,

故凡¥）=385（21一方£一3.

答案：一乎，3

2.（变条件）若本例⑵中工目0,呼则函数危）的值域为.

解析：设/=sinx—cosx,则f=/sin（x—；）,

又x£[0,7r],所以1,啦].

Z2=sin2x4-cos2x_2sinxcosx,

1—f2

即sinxcosx=?,

所以y=_g+f+；=—1＞+L

当t=\时，＞ax=l：当t=—\时，＞in=­I.

所以函数y的值域为[-1,1].

答案：[-1,1]

陶信明

三角函数值域的求法

⑴利用y=sinx和y=cosx的值域直接求.

（2）把所给的三角函数式变换成y=Asin（s+0）+仇或y=Acos（Gx+s）+Z?）的

形式求值域.

（3）把sinx或cos文看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域.

（4）利用sinx土cosx和sin.tcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域.

跟踪训练:

1.下列关系式中正确的是()

A.sinll0<cos100<sin168°

B.sin1680<sinll0<cos10°

C.sinll0<sin168°<cos10°

D.sin1680<cos10°<sin11°

解析：选C.因为sin168°=sin(180o-12°)=sin12°,cosl()o=sin(90o-10°)

=sin80°,由正弦函数），=sinx在0。《不忘90。上是增函数，得sin11。Vsin12。V

sin80°,所以sin11。Vsin168。Vcos10。,故选C.

2.己知函数人x）=—lOsiR—lOsinx—m的值域为一2,2,

则实数〃，的取值范围是（）

olB（■一匹ol

A.3，uo.6，u

-「兀兀]c「兀兀

C1—?6jD.[—%,司

兀"1

解析：选B.记，=sinx,—5，"2，则函数兀丫）可转化为g（f）=—10户一10,

_g=-10（/+04-2.

因为函数的最大值为2,显然此时r=—

令g«）=T得/=一1或f=0,

由题意知m,当工=号时，f=—1,^（―1）=—1,结合g⑺的图

象及函数的值域为一;，2,可得一吴sin〃zW（）,

解得JWZO.故选B.

3

根据三角函数的单调性确定参数

例4'（一题,多解）若函数«r）=2，5sinfoxcoscox+2sin2tox+cos2cox在区间

竽，用上单调递增，则正数①的最大值为（）

B6

C-4D3

【解析】方法一：因为/(x)=2小sincoxcos(ox+2sin2wx+cos2Gx=\Gsin

,,一、r「3兀3兀

2cox-V1在区间一了，y上单调递增,

一3①兀2一彳,

所以〈一解得所以正教”的最大值是白攵选B.

3w7t^2-

方法二：易知危）=gsin2cox+\f可得贝x）的最小正周期丁=今所以

"兀）3兀

一诟＜_》］］

,解得所以正数口的最大值走故选B.

兀、3兀oo

【答案】B

已知函数单调性求参数

明确一个不同，掌握两种方法

（1）明确一个不同.“函数/5）在区间M上单调”与“函数人工）的单调区间为

N”两者的含义不同，显然M是N的子集.

（2）掌握两种方法.已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方

法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二

是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解.

励酷都3

1.若y（x）=cosx-sinX在［一以，a］上是减函数，则〃的最大值是（）

nTt

A.B.

42

3兀

C.TD.兀

选Ay（x）=cosx-sinx=­啦sin［一：）,

解析:

71—371—7C_7171,

当xe4，彳4，即入一产］，2时，

产sin卜一;单调递增,

则7W=—啦sinQ一野单调递减.

因为函数/U）在［—〃，〃］上是减函数，

所以［―〃，竽］,所以ov〃W,

所以a的最大值为不

7T717r

2.若函数段)=sin5a>0)在区间［0,司上单调递增，在区间悖之上单

调递减，则CD=.

解析：因为兀v)=sin3(①>())过原点，

所以当OWsrW冬即()&xW/时，

y=sin51是增函数；

当，(ftzrW手，即j-WxW雪时，y=sintox是减函数.

3

解

得-

四-

由已知得需下2

3

答-

M:2

知能提升?分层演练

［A级基础练］

I.当x£[0,2呼则y=Ntanx+)—cosx的定义域为()

A.(),1B.他兀

D.(竽,2兀

C.兀,

"tan戈2(),

一cosx2(),

解析：选C.方法一：由题意得<x£［(),27t］,所以函数y的定义域为

JT

xWE+彳，kCZ,

IZ

兀，竽).古攵选C.

方法二：当工=兀时，函数有意义，排除A,D;当人=苧时，函数有意义,

排除B.故选C.

2.下列关于函数y=4sinx,工£［一兀，兀］的单调性的叙述，正确的是()

A.在［—兀，0］上是增函数，在［0,利上是减函数

B.在甘，上是增函数，在一兀，甘及自兀上是减函数

C.在［0,用上是增函数，在［一兀，0］上是减函数

D.在旨兀］及［一兀，一］上是增函数,在［一令,上是减函数

解析：选B.函数j=4sinx在一兀，一空和多兀上单调递减，在一卷与上

1

A-

4

D.岑

c坐

21253

解析：选AJ（%）=sin2x+sin2^+^j=sinx+]sinx+中声工+^

12’

COS2R+坐sinxcosx=3.1—cos-+^sin2r=l+13.1

sinZr-]cos2xj=1+5

442122

sin(2L胃力-z1=1,故选A.

2

4.(2020•贡阳市第一学期监测考武)已知函数/a)=sin(2A+w),其中3£(0,

27i),若/*)勺("对于一切x£R恒成立，则./(x)的单调递增区间是()

兀兀兀

A.E,E+g2（左£Z）B.kn—yE+5（攵£Z）

一,[兀>1271I■.兀71，■

C.%兀+4,D.攵兀­1,kit（攵£Z）

2

彳野为函数/&)的最大值，即

解析:制对XER恒成立，则

TT7TTTTT

2*^+夕=2E+5（Z£Z）,则0=2E+£Z£Z）,又夕£（0,2兀），所以夕=大所

U乙UU

以_/to=sin（2x+"令2x+狂2Z兀-2E+微伏£Z）,则E一5，E+袭

（火WZ）.故选B.

5.（2020•昆明市三诊一模）已知函数<x）=sin（公t—：）（3>（））,0,g的值

域是一坐，1,则①的取值范围是（）

'3--3-

--3

Ac.2B.-I

2_,

-5-

-72I一)7

-D--

3-_

22-

.一

，)

解析：选一B.通解：因为工电），,加＞0,所以①X一狂[一去等一部又当

xe0,I时，/）£一坐，1,所以畀詈一六季解得|w①W3,故选B.

优解：当①=2时,./U）=sin（2Lg）.因为0,手，所以公一为[一金y],

所以sin（2x-：）£-乎，1,满足题意，故排除A,C,D,选B.

6.比较大小：sin[—曰sin（一言）

解析：因为尸sinx在一0上为增函数且一春,一岳甘，故5乂一春）

>sin

答案：〉

7.已知函数yU）=4sin（2x—§,xU[—兀，0],则凡r）的单调递增区间是

jr717r

解析：由-5+227tWZt-］忘5+24兀(攵£Z),

7T、兀

得一石+E(%£Z),

1乙1L

8.若函数/(x)=2sinGX(OVGVI)在区间0,3上的最大值为1，则co=

717r71

解析：因为OVGVI,OWXWQ,所以OWG.tVQ,所以危）在区间0,、上

单调递增，则Kv）max=/［）=2sin罟=1,即sin罟=；又因为OWsW，所以等

=1,解得①=;.

较□索•--2

9.已知函数段）=gsin（2x+；）.

⑴求府）的单调递增区间；

（2）当x零，"时，求函数府）的最大值和最小值.

TTTTJT

解：（1）令2E—火WZ,

则E—乎忘入・左兀+称，女WZ.

OO

故人x）的单调递增区间为E—学E+1，kGZ.

（2）当［1,苧］时，竽竽，所以一lWsin（2x+：k乎，所以一派

所以当苧］时，函数#x）的最大值为1,最小值为一也.

10.已知函数危尸sin（2x—"讨论函数段）在区间一自，卷上的单调性并

求出其值域.

九

兀

兀

三

兀

则

一

一V4N

一

X一

26、26一3

3

兀

兀

兀

一

一

一W-WXW57-1

26236

因为一胡x/

71、「71TriFITTT

（ZT—在区间一行，？上单调递增，在区间？，5上单调

递减.

7T

当工=耳时，«r）取得最大值为1.

所以当X=一若时，/U)min=—2-

所以./(M的值域为一坐，1.

［B级综合练］

11.(2020•湖北八校第一次联考)若函数J(_r)=sin5cosx在区间［a,/?］上

是减函数,且/(。)=2,/(。)=—2,则函数g(x)=cosx—\j3sinx在区间［a,加上()

A.是增函数B.是减函数

C.可以取得最大值2D.可以取得最小值一2

解析：选D“¥)=sinx+45cosx=2sin(x+§,g(x)=cosx—,sinx=

2cosG+W)=2sin(x+］+g).兀Y)在区间［〃，/?］上是减函数，且次a)=2,加)=—2,

不妨令a+卜去。+畀芸则〃+'+鼻=兀，0+胃+12兀，故g(x)在［a,上既

不是增函数，也不是减函数，g(x)在加上可以取得最小值-2,故选D.

12.(多选)关于函数凡i)=sin|x|—|cosx］,下列结论正确的是()

A.«r)是偶函数

B.段)在区间停兀)上单调递减

C.火外的最大值为吸

D.当闻一去加，府)<0恒成立

解析:选ABD.因为—X)=sin|—x|—|cos(—刈=sin|x|—|cosx\=J(x)，所以«r)

为偶函数，故A正确；当7,时，於)一sin|x|—|cosx|—sinx+cosx-y(2

sin(x+；),又xW像7i),所以令f=x+；,则管,引，y=『又HI单调递减,

所以B正确；因为人幻为偶函数，所以求函数#的的最大值可只考虑当x2()时的

情况，又易知当12()时，2兀是其一个周期，所以只需研究x£［(),2兀］时的情况，

7l~|(3兀

sinx-cosx,0,司”E，2兀

则7W=sin一|cos

37f

sinx十cos尤,2,T

,2兀

,则函数式幻的值域为[一6，1],因此C错

误；当0,争时，/：x)=sinx—cosx=[5sin1一*则x一扣一至0),所以

sinfx-^<(),即火©V0在0,向上恒成立，因为於)为偶函数，所以

xe(-^,争时，於)V。恒成立，故D正确•综上可知，正确结论是ABD.

⑴求/&)的最小正周期；

(2)求证：当不£一；，；时，

解：(岫)=2sin.rcosx

坐cos2x+|sin2x-sin2x

=；sin2t+坐cosZr=sin^2x+^