高考数学一轮复习：数列的概念

第六章数列

§6.1数列的概念

【考试要求】I.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列Cln+\>^ln

递减数列其中

项与项间的

常数列

an+i=an

大小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

如果数列｛斯｝的第〃项以与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式

子叫做这个数列的通项公式.

4.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的递推公式.

【常用结论】

S\,〃=1,

1.已知数列｛〃”｝的前〃项和S”，则知=L°

5〃一

1，1,

2.在数列｛斯｝中，若斯最大，则、522,〃£N＞；若如最小，则一("22,

aBcin+ila〃W0j+i

〃£N"）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（X）

（2）1,1,1,1,…,不能构成一个数列.（X）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

⑷如果数列｛〃“｝的前〃项和为S”，则对任意〃WN",都有斯+产斗+1一工.（J）

【教材改编题】

1.若数列｛卬｝满足0=2,%+]=巳4，则。2023的值为（）

1Cln

A.2B.—3C.-fD.j

答案C

解析因为s=2,4rH=产，

I-%

l+mQ

所以S=E=-3,

同理可得。3=—dg，"5=2,…,

可得a“+4=。”，则"2023="505x4+3=。3=一,

2.数列多1,吉,=，去，…的通项公式是小=.

答案Mi万〃£N*

解析7£?,=lX(l+2)=3*

1_1

d2-2X(24-2)-8,

_1_1

"3=3义(3+2)=石'

1_1

a4=4X(4+2)=为

1_1

^-5X(5+2)-35,

・•・通过观察，我们可以得到如上的规律，

则=(Lov〃eN”.

3.已知数列｛为｝的前n项和S“=2〃2—3〃，则数列｛4｝的通项公式〃〃=

答案4〃一5

解析«I=SI=23=1.

当〃22时，a„=Sn-Sn-i

=(2〃2—3〃)一[2(〃-I)2—3(/i—1)]

=4〃-5,

因为0也适合上式，所以。“=4〃-5.

■探究核心题型

题型一由小与S”的关系求通项公式

例1(1)设S,为数列｛3｝的前〃项和，若2s“=3如一3,则。4等于(

A.27B.81

C.93D.243

答案B

解析根据25〃=3%一3,

可得2S〃+1=3an+1—3,

两式相减得2。”+]=3。〃+]—367,1,

即。〃+1=3,7〃，

当71=1时,251=301-3,解得。1=3,

所以数列｛斯｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以4=44=3，=81.

(2)设数列｛诙｝满足〃1+342H-----F(2〃-1)%=2",则an=.

2,〃=1,

答案v2〃一1

五H心2

解析当〃=1时，67|=2'=2.

Vai+3d2H-----F(2〃-1)斯=2",①

・・・0+3色+…+(2〃-3)斯-1=2"一(?22),②

由①一②得，(2〃-1)5=2"-2'门=2'门，

代入化简得

经检验，当〃=1时，Si=4,0=3,

所以SWai,

4,n=1,

所以a—

n4n—1,〃22.

⑵设S„是数列｛斯｝的前n项和，且m=-1,即+]=S〃S“+i，则an=

—1,n=1，

答案

I

〃(〃一1)

解析由已知得a〃+i=S〃+i—S〃=S〃+iS”,

两边同时除以S〃+5”

11

得

S〃+।S”

故数列｛（；]是以一1为首项，―1为公差的等差数列,

则1)=一”.

所以s”=一：

当〃22时,

11

4"=S”_SnT=

n-\〃(，1)'

-1,〃=1,

故a=1

n,〃22.

n(ii—1)

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2在数列｛m｝中，m=2,知+i=〃”+ln（l+3则斯等于（

)

A.2+lnnB.2+(/?—l)lnn

C.2+〃lnnD.14-n+lnn

答案A

〃+1

解析因为斯+1—a〃=ln〃=ln(〃+1)—Inn,

所以«2—fli=ln2—In1,

S—〃2=ln3—In2,

出一〃3=ln4—In3,

azl-i=ln〃-In(〃-1)(〃22),

把以上各式分别相加得知一m=ln〃-ln1,

则4”=2+In〃(〃22),且。1=2也适合，

因此1=24-In

命题点2累乘法

例3若数列｛斯｝满足④=1,-1=(〃+1),〃”(〃22)»则an-

答案-^―

口采〃+1

解析由〃加1=(〃+1)a”(仑2),

得a=±〃22).

an-\〃-H

上anan-\an-243a2nn~12322

所以a”=-----------------------••••・一•一•，fli=—TTX------X-------X-X7X7X1=——,

SlI〃”-2。"-3"2G\n~\-1nn—143〃+1

又0=1满足上式，所以册=#［.

【教师备选】

1.在数列｛m｝中，。|=3,即+i=&+〃（〃；］）,则通项公式外=.

答案T

解析•・・诙+1-%==3)="*，

，当〃22时，a,i-an-i=~~~~,

11

^-1-^-2=—^

〃-1

U2~ai=1—

・••以上各式相加得，小一0=1一

••・4〃=4一［,0=3适合上式，

••・斯=4―；

2.右｛““｝满足2(〃+1>斯+("+2)”「4“+1—〃•届+|=0,且a〃>0,。1=1,贝ij。”=

答案“2门

解析由2("+l).+(〃+2)as+i—〃•/+1=0得

〃(2居+atl-afl+1一屑+1)+2a„[an+〃”+1)=0,

；・〃(知+a〃+1)(2。”—an+\)+2an(an+an+1)=09

3”+an^i)[(2an—an+1)•〃+%”]=0,

又。〃>0,

2nan+2a”一1=0,

.2(〃+1)

••Unn9

又0=1,

・••当“22时，

a,tan-\aam

an=--------••••一•—ai

an-\an-242al

2〃2(〃-1)2(〃-2)2X32X2

〃一、n

I/?_2Xii—3X-X—X—Xl=2

又〃=1时，41=1适合上式，

••皿尸”吃门.

思维升华⑴形如斯+1—斯=4〃）的数列，利用累加法，即利用公式。“=3“一a”-i）+（a“-L

斯-2）+…+（。2—0）+4（〃22）,即可求数列｛斯｝的通项公式.

（2）形如:一=儿7）的数列，常令〃分别为1,2,3,…，n—\,代入一'——fin）,再把所得的（〃一

1）个等式相乘,利用4”=。詈•竽…•卫，〃沁）即可求数列（4”｝的通项公式.

跟踪训练2（1）已知数列｛斯｝的前〃项和为工,若0=2,%+1=3+2”-1+1,则a„=.

答案2"r+〃

解析•••。”+1=。”+2"一|+1,

=n

••a,t+i—an2*4-1,

・••当”22时，a〃=3“一a”-2）H---卜（俏―他）+（。2-ai）+“i=2"一？+2"-3T------1-2

1—2/,-1

+1+⑷+〃-I=।<+2+〃-1=2〃一1+〃.

1—2

又・・・0=2满足上式，

nl

:.an=2~-^-n.

（2）（2022・莆田模拟）已知数列｛斯｝的前〃项和为S”，0=1,S尸混”〃£N*）,则数列｛斯｝的通

项公式为.

答案如=又毫

2

解析由Sn=fiant

可得当〃22时，Si=(〃-1尸斯一,

*232

则a„=Sn—Stl-1=nan—(n—1)atl-\,

22

即(n—\)an=(n—\)an-\,

易知。”H0,故a=*!1〃22).

cif\—।nI1

所以当〃22时，

卫X吧x9x…X色X色Xm

an-\an-2an-3sm

21

n—\2n—3-X-

=——X----X-X•43

〃+1〃n—I

2

一〃S+iy

2

当"=1时，0=1满足斯=〃(〃+]).

2

故数列｛m｝的通项公式为“，尸;^一万

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4已知数列｛斯｝的通项公式为斯=/一2方;(〃£N"),则”是“数列｛〃”｝为递增数列“

的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条作

答案A

解析若数列｛““｝为递增数列，

则有斯+i—

(n+I>-27(〃+1)-+27〃

=2n+l-2A>0,

即2〃+1>22对任意的〃仁、♦都成立，

于是有六(2〃"％n=|,

•・•由衣1可推得7<1,

3

但反过来，由次!不能得到2<1,

因此。<1”是“数列｛为｝为递增数列”的充分不必要条件.

命题点2数列的周期性

例5(2022•广州四校联考)数列｛m｝满足0=2,a〃+]=7J—则6。23等于()

1(In

A.-2B.-1

C.2D.1

答案C

解析,:数列｛｝满足41=2,

小+|=1(〃£N"),

・__!__.

••〃2=二^=一1，

11

"3-1—(―1)

出=」-[=2,…，

1-2

可知此数列有周期性，周期T=3,

即。〃+3=〃”，则"2023=41=2.

命题点3数列的最值

例6已知数列｛斯｝的通项公式为=(〃+1)(*>,则数列｛斯｝的最大项为()

A.。8或49B.。9或00

C.mo或a”D.a”或。12

答案B

解析结合Ar)=(x+1)('〉的单调性，

设数列｛m｝的最大项为an,

小2斯+1，

所以、

a会册-1,

卜+1岭)〃2(〃+2)谓)+1

所7+M加卅，

解不等式组可得9W〃W10.

所以数列｛。“｝的最大项为。9或00.

【教师备选】

I.已知数列｛小｝的通项公式为〃“=3界，若数列｛◎｝为递减数列.则实数*的取值范围为

A.(3,+8)B.(2,4-oo)

C.(1,+8)D.(0,+8)

答案D

.3〃+3+%3〃+%

解析因为〃〃+1-(In—7]一”

3-3n-k

=2”+i

由数列他“｝为递减数列知，

十3—3fi—k

对任意〃£N‘，an+\—an=一斤~j—<0,

所以k>3-3n对任意恒成立，

所以&£(0,+8).

2.在数列｛«〃｝中，。1=1,4Ml+3=1,则logs。1+10段。2T---Hog5〃2O23等于()

A.-1D.0

C.log53D.4

答案B

解析因为4/"+3=1,所以。〃+34〃+6=I，所以4”+6=。”，所以｛〃”)是周期为6的周期数列,

所以logMi+logM2H---HogM2023

=log5(aia2-6T2O23)

=10酎31。2…%产73],

又因为。1。4="2。5=。346=1,

所以042…46=1，

所以原式=10g5(l"7Xl)=IOg51=0.

思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法,根据斯+1一m的符号判断数列｛小｝是递增数列、递减数列还是常数列.

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

(3)求数列的最大项与最小项的常用方法

①函数法，利用函数的单调性求最值.

斯Wa”-]

②利用(〃22)确定最大项，利用(〃22)确定最小项.

2a”，，

跟踪训练3(1)在数列｛〃〃｝中，%+[=<]4

若。1=亍则〃2023的值为()

2〃“1,ciu22，

A.|B.1

C.|D.|

答案D

4I

解析fli=7>7，

・

・・42=c2ai—,1=^3>15，

・.,11

..<73=2«2—1=5<2»

21

/.674=2d3=^<2，

.一_4

•・。5—2a4一亍

可以看出四个循环一次，

,,___1

＜SO23一田*505+3-的一亍

（2）（2022.沧州七校联考）已知数列｛a„｝满足小=筌j%（〃仁N"）,则数列｛a”）的最小项是第

________项.

答案5

解析""=始抬=10+藐%）,

当心5时，斯＞0,且单调递减；

当〃W5时，斯＜0,且单调递减，

，当〃=5时，〃”最小.

课时精练

E基础保分练

1.数列｛为｝的前几项为13,y,8,案…，则此数列的通项公式可能是（）

乙N乙

5〃一43〃一2

==

A.an-5~B.chi

6〃一510«-9

=D.a=

C.an2n2

答案A

解析数列为与，*，…，其分母为2,分子是以首项为1,公差为5的等差数列,

乙乙乙乙4

故数列｛为｝的通项公式为册=卡-.

(―1Y,

2.在数列｛〃”｝中，《=1,如=1+i-----%?22),则的等于()

(In-1

3582

-B-C--

A.35D.3

存2

案]D

若

尸

3.已知数列他”｝的前〃项积为7；,且满足«1则“023为()

3

A.-4B.-j

C.-3D4

答案C

==

解析由an+i~.»a\4»

所以数列｛斯｝具有周期性，周期为4,

因为7'=〃]・42,〃3，“4=1,2023—4X505+3,

所以乃023=(。1。2的〃4)…(〃2021。2022a2023)

=1x|x(-4)=-1.

4.若数列｛m｝的前〃项和S“=20L1(〃£N"),则的等于()

A.8B.16C.32D.64

答案B

解析数列｛斯｝的前〃项和S产2a〃-15£N*),

则S”-1=2aLi—1(〃22),

两式相减得%=2。“-1(〃22),

由此可得，数列｛%｝是等比数列，

又S=2m—1=4],所以。1=1,

故数列｛©,｝的通项公式为a„=2,rl,

令〃=5,得45=16.

5.（多选）已知数列｛斯｝的通项公式为册=—=（〃WN*）,则下列结论正确的是（）

A.这个数列的第10项为看

B.志是该数列中的项

C.数列中的各项都在区间[；，1）内

D.数列｛〃“｝是单调递减数列

答案BC

钮94-9〃+2（3〃-1）（3〃-2）

解析避=9层_]=（3〃—1）（3〃+1）

_3n~2

3〃+1'

令〃=10得“10=可，故A错误；

.3ri—297.*

/3〃+I=丽仔〃=33&N‘

故奇是数列中的项，故B正确；

u3/?—23/?+l-3__3_

因m为。产市=3〃+]=i一乔T

又〃£N*.

所以数列｛斯｝是单调递增数列，

所以:Wa〃Vl,故C正确，D不正确.

6.（多选）若数列｛小｝满足：对任意正整数〃，｛斯+1—%｝为递减数列，则称数列｛斯｝为“差递

减数列”.给出下列数列｛a”）（〃£N）其中是“差递减数列”的有（）

2

A.an=3nB.afl=n-^-1

=

C.any[tiD.i“=ln1

答案CD

解析对于A,若斯=3〃，则“〃+i—a”=3（〃+1）—3〃=3,所以｛%+i—a”）不为递减数列,故

A错误；

对于B,若a”=〃2+l,

则ari+\—aH=（n+1产一〃?=2〃+1,

所以（%+1—小｝为递增数列，故B错误；

对于c,若斯=5,

1

贝"。"+1一斯=>〃+1—y[ri=

、〃+1+w

所以｛%+1一%｝为递减数列，故C正确;

对于D,若…含,

Tl"+1”

则斯+i—a”=lnR5-ln/j7y

(nA-1〃+1

=lnL+2,«"十百五

由函数y=ln(l+巨片)在(0,+8)上单调递减，所以｛”“+]—〃“｝为递减数列，故D正确.

7.数歹1]｛知｝的前〃项和为S”，若0=1,a”+i=3S〃(〃£N*),则如=

1,〃=1,

答案

3-4n-2,

解析・・・知+|=3工(〃£1<),

:.当〃=1时，42=3：

当〃22时，。尸3S〃-i，

*>an+i—an=3ant

得=4斯,

・•・数列｛%｝从第二项起为等比数列,

当〃22时，4尸34「2,

1,n=l

故a=t

n34"P,〃22.

8.(2022・临沂模拟)已知a尸〃2+%，且对于任意的〃wN,数列｛斯｝是递增数列，则实数2

的取值范围是.

答案(一3,4-oo)

解析因为｛〃“｝是递增数列，所以对任意的“£N"，都有

即(〃+1)2+"〃+1)>〃2+力?，

整理，得2〃+1+2>0,即2>—(2〃+1).(*)

因为〃£N",所以一(2〃+l)W-3,要使不等式(*)恒成立，只需2>—3.

I0

9.已知数列｛小｝中，s=L前〃项和S；=『，

(1)求42，。3；

(2)求｛⑶｝的通项公式.

4

解⑴由§2=予72得3(0+。2)=4。2,

解得。2=30=3,

由S3=1i73，得3（。1+。2+〃3）=5。3,

解得。3=不41+。2）=6.

（2）由题设知当〃=1时，0=1.

当〃22时，有

〃+2〃+1

〃〃-Sn—On—1-3"〃-3

整理得。”=匚1〃7,

于是。2=翡,俏=•，…,n

^n-\=_^Cht-2>

〃+1

“产

将以上〃一1个等式中等号两端分别相乘，整理得小=吆#.

当〃=1时，a\=\满足〃”=〃（"）1）.

综上可知，｛6｝的通项公式为3=嗒久.

10.求下列数列｛〃〃｝的通项公式.

（1）〃1=1,4〃+|=4〃+3"；

=,l

（2）«i=1,an+i2alt-

解（1）由。“+[=。”+3"得劭+1—知=3",

当〃22时,4“=。1+（。2­。1）+（的-〃2）+（土—03）T---卜（0L41T）

=1+3,+32+33+-+3,,_,

lX（l-3〃）3〃一1

1-3-=2，

31—1

当〃=1时，4|=1=下一，满足上式，

3"—1

a„=-5—（z：GN*）.

⑵由斯+1=2%”得丁=2"，

当“22时，丝x/x且x…X.

a\念San-\

=1X2X22X23X--X2n

=2"2+3+…+伽-1)=2-2-

当〃=1时，a\=\满足上式，

/r(n-l)

2

•*an=2(〃£N").

过技能提升练

(3—〃)〃—2,〃W6,

11.已知数列｛知｝满足为=，且伍”是递增数列，则实数〃的取值范围是

匕〃)〃>6,

A厚3)B.[y,3)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

3—a>0,

解析若｛斯｝是递增数列，则S，

。7>。6,

。<3,

即，。>1,

“尸>6(3一。)一2,

解得2<〃<3,

即实数”的取值范围是(2,3).

12.(多选)(2022•江苏盐城中学模拟)对于数列｛〃”｝,若存在数列｛瓦｝满足》=小一!(〃任1<),

则称数列｛d｝是｛〃”｝的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是()

A.若数列｛斯｝是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列

B.若仇二3〃一1,则其“倒差数列”有最大值

C.若如=3〃-1,则其“倒差数列”有最小值

D.若斯=1—(一则其“倒差数列”有最大值

答案ACD

解析若数列｛«7｝是单增数列，则。”一仇-i=a〃一J—a”-i+—L=3“一—

(inUn-1\〃-1，

虽然有an>an-\,

但当1+」一v0时，bn<bf

anan-\

因此出”)不一定是单增数列，A正确;

斯二3〃-1,则。“=3〃-1一暴，易知的｝是递增数列，无最大值，B错误；C正确，最小

值为伍.

若an=I

则―(—分—二^?

•・•函数y=x—5在(0,+8)上单调递增，

・•・当〃为