高考物理二轮复习 第2课时 带电粒子在复合场中的运动

第2课时带电粒子在复合场中的运动

本专题主要解决带电粒子在电场和磁场中运动的综合

解决问题问题，掌握带电粒子在复合场中运动问题的分析思路

和方法。

回旋加速器、质谱仪等带电粒子在复合场中运动的实

例分析；带电粒子在叠加场中的运动；带电粒子在组

专题高考重点

合场中的运动；带电粒子在周期性变化电场或磁场中

复习

的运动。

定位

本专题选择题和计算题都有可能命题，选择题一般考

查质谱仪和回旋加速器的原理、粒子在复合场中运动

题型难度的简单分析，题目相对简单；计算题考查带电粒子在

复合场中运动的多过程问题，是带电粒子在电场和磁

场中运动的组合问题，综合性强，难度较大。

r必备知识链接

1.电场中常见的运动类型

(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU=%/一%为济来求解；对于匀强电场,

电场力做功也可以用卬=9股来求解。

(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题。对于类平抛运动可直

接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方

法来处理。

2.匀强磁场中常见的运动类型(仅受磁场力作用)

(1)匀速直线运动：当。〃8时，带电粒子以速度c做匀速直线运动。

(2)匀速圆周运动：当时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大

小做匀速圆周运动。

3.关于粒子的重力

(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁

场力相比太小，可以忽略：而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等

一般应考虑其重力。

⑵不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运

动状态可分析出是否要考虑重力。

r规律方法回扣............................•

1.解题关键

带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的金处力及初始运动状态

的速度，因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。

2.力学规律的选择

（1）当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和受力

分析列方程联立求解。

（3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定埋或能量守怛定

律列方程求解。

高考题型1带电粒子在复合场中运动的实例分析

【例I】（多选）（2021•福建泉州市4月质量监测）如图1,电磁流量计的测量管横

截面直径为Q,在测量管的上下两个位置固定两金属电极b,整个测量管处于

水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为8。当含有正、负离子的液体从左向

右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q（单位时间内流过

的液体体积），下列说法正确的是（）

液体入LI广----

U\飞示器

图1

A.。极电势高于〃极电势

B.液体流过测量管的速度大小为圣

C.〃、b两极之间的电压为禁

D.若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大

答案AC

解析由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则。极电势高于8

极电势，选项A正确；由于。=oS=p&ZA解得液体流过测量管的速度大小为

0=怒，选项B错误；当达到平衡时若解得a、Z?两极之间的电压为U

=鬻，选项C正确；因，力两点间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当粒

子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。

【拓展训练1】（2021•河北省普通高中学业水平选择性考试，5）如图2,距离为

”的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为3,一束速度大

小为。的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在

与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为快,导轨平面与水平面夹角为

0,两导轨分别与P、。相连。质量为机、电阻为R的金属棒"垂直导轨放置，

恰好静止。重力加速度为g,不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。

下列说法正确的是（）

图2

Rsin0

A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=BxBiLd

B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=BxBiLd

mgRian<9

C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,V=BiBiLd

"zgRan9

D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,V=B\BzLd

答案B

解析由左手定则可知。板带正电，P板带负电，所以金属棒R?中的电流方向

为从。到。，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，

由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B1IL=

机gsin仇而/=系而对等高子体受力分析有/=w8,解得u="黑W故B

正确，A、C、D错误。

高考题型2带电粒子在叠加场中的运动

1.解题规范

(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加。

(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力。

(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非

匀变速曲线运动。

(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系。

2.灵活选择运动规律

(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电

场与磁场中满足9七=卯&重力场与磁场中满足〃重力场与电场中满足

mg=qE。

(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，

则有mg=把，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即卯8=〃7。

(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或

能量守恒定律求解。

【例2】(多选)(2021•广东六校第三次联考)如图3所示，空间中存在水平方向的

匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球

恰能以速度。。做直线运动，其轨迹如图虚线所示，虚线与水平方向成30。角，小

球最终穿过一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于

小球直径)，下列说法正确的是()

图3

A.小球一定带正电

Er-

B.磁场和电场的大小关系为

C.小球可能是从管道的乙端运动到甲端

D.若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀速直线运动

答案AD

解析小球做匀速直线运动，若带正电，电场力水平向左，重力竖直向下。从甲

端运动到乙端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右上三力恰好平衡，能保证小球沿图

中虚线运动。若小球带负电，电场力水平向右，重力竖直向下。从甲端运动到乙

端时或者从乙端运动到甲端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左上或者右上，均不能

使小球沿直线运动，故A正确，C错误；由以上分析可知，电场力和洛伦兹力关

系为sin30。=卷，整理，得焦=，，故B错误；未撤磁场时，小球三力平衡，

其中电场力和重力沿虚线方向的合力为零，当撤去磁场时，在管道中所受重力和

电场力均没有变化，沿虚线方向（管道方向）合力仍为零，而管道的支持力垂直于

管道，即小球合力仍为零，做匀速直线运动，故D正确。

【拓展训练2】（多选乂2021•广东汕头市高三下第二次模拟）如图4所示，一根足

够长的绝缘均匀圆杆倾斜固定在匀强磁场中，磁场的方向垂直于圆杆所在的竖直

平面向里。现有一个带正电小圆环从杆底端以初速度如沿杆向上运动，环与杆间

的动摩擦因数处处相同，不计空气阻力。下列描述圆环在杆上运动的v~t图像中，

可能正确的是（）

答案AD

解析当小圆环的初速度较小时，有K+w5=〃!gcos。，当速度变小时，小圆环

与杆之间的弹力增大，由/=〃网，可知摩擦力增大，再根据牛顿第二定律可得/

+/〃gsin6=ma,则加速度逐渐增大，所以小圆环做加速度逐渐增大的减速运动。

当小圆环速度减到0时,如果有mgsin9W〃加geosa则小圆环将静止在圆杆上，

如果mgsinG〃〃igcos0,则小圆环将向下做加速运动，有FN=fngcose+qvB,速

度增大，则小圆环与杆之间的弹力增大，摩擦力增大，由mgsin。一尸机m则小

圆环的加速度将减小，当加速度为（）时，小圆环将做匀速运动下去。当小圆环的

初速度较大时，有人=卯3—〃吆cos。，当速度变小时，小圆环与杆之间的弹力逐

渐减小，由/=〃尺，可知摩擦力减小，再根据牛顿第二定律可得/+〃次sin。=加〃，

则加速度逐渐减小，当速度减到。=侬萨时，小圆环与杆之间的弹力为0,摩

擦力为0,加速度最小，当速度再继续减小时，有/N'+®B=〃火cos。，当速度变

小时，小圆环与杆之间的弹力增大，由可知摩擦力增大，再根据牛顿

第二定律可得了+〃吆sin0=〃4,则加速度逐渐增大，小圆环做减速运动到速度为

0,最后小圆环可能静止在杆上，或者先向下做加速度逐渐减小的加速运动，最后

做匀速直线运动卜去。根据v-t图像的斜率表示加速度，则A、D正确，B、C

错误。

高考题型3带电粒子在组合场中的运动

I.两大偏转模型

电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中。

2.思维流程

【例3】（2021•广东佛山市石门中学高三下高考模拟）如图5所示，三块相同大小

的均匀带电平行金属板M、。、N间距均为"，板长为/。其中M、N极板带正电，

。极板带负电，电荷量均相等。板间电场可视为大小为E的匀强电场。虚线右侧

存在竖直向下的匀强磁场8,磁场区域足够大。现在距MO板均为亨处以速度M

水平射入一带负电粒子（不计重力），电荷量为夕，质量为〃7,穿出。M板的速度偏

转了30。，最终从ON板间飞出电场。求：

图5

⑴匀强电场的电场强度E；

(2)粒子在OM板和ON板运动的时间是否相同，请简要说明理由;

(3)求该粒子在电场、磁场中运动的总时间。

答案⑴当票⑵相等⑶各鬻

解析(1)如图所示，由运动学规律可知4七=，〃。

Wi=Z

33。。与

联立解得“等。

(2)粒子在0M板和ON板运动，沿水平方向做匀速运动，由/=oof

可得粒子在两板间运动的时间相等。

(3)设粒子进入磁场时的速度为0,则有cos30。=T，该粒子在磁场中做匀速圆周

、一U2

运动有qvB=nr^

丁2成

T=~

2

故该粒子在磁场中的运动时间为t2=^T

故该粒子在电场和磁场中运动的总时间为

-।21,4兀"7

,=2力+12=~~\~QnO

vo3qB

【拓展训练3】(广州市高三模拟)如图6,在竖直平面的矩形区域"cd内有竖直

向上的匀强电场（未画出）。一带电小球从竖直边ab上的p点以某一速度射入该区

域，小球沿直线”做匀速直线运动。若在该区域内再加入垂直纸面向里的匀强磁

场，完全相同的带电小球仍以相同的速度从p点射入该区域，则小球最终从cd

边上的某点网图中未标出）垂直〃离开该区域。已知小球的质量为〃?，带电荷量

34

为夕，洞长为L,年长为百L,9长为铲，磁感应强度大小为B,重力加速度大

小为g，小球在磁场中的运动时间小于求:

2qB°

图6

（1）匀强电场的场强大小；

（2）带电小球的入射速度大小；

（3）底〃两点之间的电势差。

答案（］）期Q）匆煞或为丝⑶皿或如

口木⑴夕⑷4〃广乂14机⑴2q-乂7q

解析（1）设电场强度大小为E,依题意，带电小球在竖直平面内沿直线pc做匀速

直线运动，说明其所受合力为零，则有tng=qE

解得片=等

⑵在竖直平面内的矩形区域加上垂直纸面向里的匀强磁场后，带电小球在合外力

（洛伦兹力）作用下做匀速圆周运动。根据题意分析可知，带电小球有两种从M边

射出场区的可能，如图，从左或匕点射出。

①若从心点射出，设带电小球以速度切入射，对应的轨迹半径为八

「mvx

则有qv\B=—

由几何关系有s\nZpO\k\=^

②若从七点射出，设带电小球以速度s入射，对应的轨迹半径为力

„.,mv2

则有cfuiB=—

由几何关系有2n+z^cosZpOia=L

由几何关系得sin/〃Oi%=cosNpO2a=0.8

联立解得带电小球入射速度为5=喘或V2=端。

（3）①若从k点射出，设片与〃在竖直方向上的距离为力，则有

d\=r\—川cosNp。次।

Uk\p=Ed\

②若从42点射出，设公与〃在竖直方向上的距离为出，则有必=f2一

UMp=F.d2

联立并代入数据得鼠〃两点间的电势差为U%〃=翳或以2〃=鬻。

高考题型4带电粒子在周期性变化电场或磁场中的运动

I.基本思路

变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下

要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁

场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。

2.分析重点

（受力特点］~~►｛运动性质］

i（叠加场卜同时受到根据受力

几个场力情况和初

场的组成一（组合场不同阶段速度.判

及变化受不同力断带电粒

子的运动

L（交变场4不同时间

受不同力性质

【例4】（2021•山东青岛市黄岛区期末）如图7甲所示的坐标系中，在上轴上方的

区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为

瓦，交变磁场的磁感应强度大小为Bo,取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸

面向外为磁场的正方向。在f=0时刻，将一质量为〃7,带电荷量为夕，重力不计

的带正电粒子，从），轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直

打在X轴上。求:

图7

⑴粒子第一次在磁场中运动的半径；

(2)粒子打在x轴负半轴上距O点的最小距离;

(3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件;

(4)粒子打在工轴上的位置与坐标原点0的距离跟粒子加速和偏转次数〃的关系。

C、兀〃?尻/.八、-、,n2nmEo,-,、

答案(1(2)词(兀+劣(3W=~^T(〃/=1，2,3…)

(4)x="：濡5+2)(n=1,2,3…)

解析(1)粒子第一次进入电场中qEo=ma,v\=ato

粒子第一次进入磁场中夕。出0=吟

联立方程解得幻=喘

⑵可知粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上距0点的距离最小，如图所示

第一次加速的位移为人口二万--立丽

第二次加速的位移Ax2=3A*

__2兀&

022altoB

AXP=AJQ-A口+/?2=.咫（兀+2）

（3）分析带电粒子运动，如图所示

可知A与坐标原点间的距离。应满足

,7n〃2瓦

d="R=_g7r庆zM5=1,2,3…）

⑷由上图知，若粒子经过〃次加速和偏转后打在工轴上，则与坐标原点0的距离

T-*

+4)=-^^°(兀+2)5=1，2,3…)

专题F艮时训练

（限时:40分钟）

1.（多选）12021•湖北七市（州）教科研协作体3月联考］智能手机中的电子指南针利

用了重力传感器和霍尔元件来确定地磁场的方向。某个智能手机中固定着一个矩

形薄片霍尔元件，四个电极分别为从F、M、M薄片厚度为力，在从厂间通入

恒定电流/、同时外加与薄片垂直的匀强磁场8,M、N间的电压为UH,已知半

导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图1所示，下列说法正确的

是（）

图1

A.N板电势高于例板电势

B.磁感应强度越大，UH越大

C.增加薄片厚度力，UH增大

D.将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势

答案AB

解析电流的方向由E端流向产端，根据左手定期，带正电的载流子受洛伦兹力

的方向指向N端，带正电的载流子向N端偏转，则N板电势高，故A正确；设

左右两个表面相距为d,载流子所受的电场力等于洛伦兹力，即号1=田3,设材

料单位体积内载流子的个数为小材料横截面积为S,则l=neSv,S=dh,解得

出=悬，令攵=上，贝、加=悬=谓，所以若保持电流/恒定，则M、N间的电

压UH与磁感虑强度8成正比，故B正确；根据UH=谓，可知增加薄片厚度儿

UH减小，故C错误；若磁场和电流分别反向，依据左手定则，带正电的载流子

仍向N端偏转，则N板电势仍高于M板电势，故D错误。

2.(2021-1月广东学业水平选择考适应性测试，13)如图2所示，M、N两金属圆

筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域

abcdaT/c”内有竖直向上的匀强磁场。一质量为小、电荷量为+q的粒子，以初速

度优水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒

间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形。国”的中心垂直进入磁

场区域，最后由正方形川历d中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求：

(1)粒子进入磁场区域时的速率;

⑵磁感应强度的大小。

答案⑴m+优⑵qL

解析(1)粒子在电场中加速，由动能定理可得

qU=^nv2—^mvi

解得。+乩

(2)根据题意从正方形4C0”的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形力”中心

垂直飞出磁场区域，粒子在磁场中运动的轨道半径A=L

在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力

2=[

解得%2这。

3.（2021•广东佛山市南海区西樵高级中学高三下3月模拟）在光滑水平桌面上建立

直角坐标系，第一象限与第三、四象限分布有如图3所示的匀强电场和匀强磁场，

匀强磁场磁感应强度为以垂直纸面向外，现在第三象限中从P点（一4乙一2s

L）以初速度oo沿x轴正方向发射质量为机，电荷量为+q的小球（小球可以视为质

点），小球经过电场从。点射入磁场。

⑴求电场强度E大小？

（2）要使小球在磁场中运行的时间最长，求最长的时间及磁场最小宽度面?

答案由Q源猊+啕

解析（1）在电场中，带电小球做类平抛运动，有

4L=vot

2小心=孕处

v2m

“BL小〃城

解得七=七二。

（2）小球进入磁场的速度为0=］捕+（誓）=2vo

与水平方向的夹角为a,

,i七a）1

则n有cosa=~J=2

所以a=60°

当小球从），轴离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，运动周期为7=2詈

qB

2L匹

所以最长时间为砧=^^呼=普

z7lCJn

p2

根据牛顿第二定律得="?下

磁场最小宽度为do=R（l+sina）

解得do=

4.（2021•广东肇庆市第二次统一测试）在如图4所示的直角坐标系xOy中，第一象

限内存在沿），轴负方向的匀强电场，电场强度大小为仇未知）。在第四象限内，有

一半径为/的圆形匀强磁场区域，该磁场区域圆心坐标为（2/,-/）,磁场方向垂直

于坐标平面向外。在第三、四象限内、磁场区域外存在竖直向上的匀强电场，电

场强度大小为E（未知）。现将某一电荷量为+夕，用量为〃7的带电粒子（不计重力）

从坐标为（0,#/）的M点以初速度如沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从⑵,

（））处进入磁场区域，后经过第三、四象限中的磁场、电场偏转后与x轴交于N点

图中未标出），已知粒子在磁场中运动的轨道半径R=/,求:

⑴匀强电场场强E和E'的大小和圆形磁场区域的磁感应强度B的大小;

⑵粒子从M点运动到N点所用的时间。

3tnvl2/nro

答案（1）

2qlqlql

解析（1）粒子在匀强电场E中做类平抛运动，设加速度为类平抛运动的水平、

竖直位移分别为:n=2/,户=小1,由类平抛运动规律得必=加力

yi=2〃iZT,又有解仔E=加

竖直方向速度Vyi

设粒子进入磁场时的速度方向与X轴正方向的夹角为9，tanW=M=M=2X

OUA14，

=小,故夕=60。，由几何关系，粒子进入磁场的速度为v=2vof粒子的运动轨

迹如图所示。

因粒子在磁场中运动的半径/?=/,

故以出射点、入射点、磁场圆圆心和轨迹圆圆心为顶点的四边形为菱形，所以粒

子出磁场时的速度为20，且沿x轴负方向，由他3=〃*,

得“繁

粒子进入匀强电场后做类平抛运动，粒子的水平和竖直位移分别为

X2=2/-/sin6()。+坐/=2/

3

=-

/+2

由X2=2V0t3

又有qE,=ma2

解得£="一。

⑵由(1)可得，粒子在第一象限运动的时间为

X£2/

粒子在磁场中运动的时间为/2=；乂瑞=畀

粒子在三、四象限电场中运动的时间为，3=我=套=!

N(70j(