高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理

最新考纲考向预测

以利用正弦、余弦定理解三角

形为主，常与三角函数的图象

命题趋和性质、三角恒等变换、三角

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一势形中的几何计算交汇考查，加

些简单的三角形度量问题.强数形结合思想的应用意

识.题型多样，中档难度.

核心素

逻辑推理、数学运算

养

_________________I--印I_________________

走迸教材•自主回顾

知识梳理温故知新

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

abc/=加+「22ccosA；

------=-------=-------=?/?

内容sinAsinBsinC〃=。2+「2-2cacosB；

为外接圆半径)

(RAABCc2=c/+3—2cOcos__C

〃+。2一次

(l)〃=2RsinA,b=2Rs\n_c=2KsinC；cosA-2bc；

(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(r-Ver-b1

变形cosB—2ca；

(3)〃sinB=bsinA,Z?sinC=csinB,asinC

苏+"一c'2

=csinA

cosJ2ab

2.A43C的面积公式

(\)S^ABC=\a-h(h表示边a上的高).

(2)SMBC=]a加inC=]qcsinB=ResinA.

(3)SMBC=^+b+c)(r为△ABC内切圆半径).

3.三角形解的判断

A为钝角

A为锐角

或直角

A*

图形4、/

关系式a=bs\nA力sinA<a<ba^ba>b

解的

一解两解一解一解

个数

［注意］上表中A为锐角时，4〈加inA,无解.

A为钝角或直角时，。=仇人均无解.

©常用结论

I.在△A8C中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>8oa>Z?asin

A>sinAOCQSA<COSB.

2.三角形中的三角函数关系

⑴sin(A+3)=sinC.

(2)cos(A+B)=—cosC.

A+3C

(3)sin-5-=cos不

A+3C

(4)cos-~=sin".

3.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；

b=acosC+ccosA；

c=bcos4+acosB.

9常见误区

1.在△ABC中，已知mb和A,利用正弦定理时，会出现解的不确定性，

应注意根据“大边对大角”来取舍.

2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公

因式，以免漏解.

诊断自测易错清零

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()

(2)在△ABC中，若sinA>sin3,贝)

(3)在△43C中的六个元素中，己知任意三个元素可求其他元素.()

答案：⑴X(2)7(3)X

2.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,4c.若A=60。，a2=bc,

则sinBsinC=()

A.|B.当

-3

C-5D'4

解析：选D.因为廿=儿，所以sin%=sin8sinC.因为A=60。，所以sinBsin

3

C=sin2A=疝故选D.

3.(多选)在△A3。中，角A,B,C所对的边分别为％b,c,若。=4,sin

A=1,cosC=笔，则下列结论正确的是()

JJL

371

A.cos4=±§B.

C.h=^-D.ZXABC的面积为7啦

解析：选BC.由sinA=g,得cosA=±^,由cosC=噜，得sin若

JJ1\J1Vz

3

cosA=—z,则sin8=sin(A+C)=-<(),与sinB>0矛盾,故cosA=彳

JJ

A错误，则sin(A+0=噂，由sinA=*,cosC=噜，得A>[,C>?,所以A

4J>1X-/

+C>5,所以A+C=*故””正确.由正弦定理卷=扁，得b=乎,

C正确，所以△ABC的面积为：X4X平义喑=7,D错误.

乙乙1V/

4.(多错题)△48。的内角A,&C的对边分别为。，b,c.已知C=60。，b

=加，c=3,则4=.

,..c乖又堂历

解析：由题意得，品=舟，即sin8="&=-7—=券，结合bVc

^111IJ5111lxC-J乙

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

解析：选C.由正弦定理得益h=看r,

o111o111

,.r4()X坐

所以sin6=—=———=小>1.

V/

所以角8不存在，即满足条件的三角形不存在.

2.（2020•广东省七校联考）若△48C的内角4B,。所对的边分别为。，b,

c,己知2戾in2A=3asin3,且c=2〃，则方=()

A.^B.6

C.TD.小

J

解析：选B.由2Z?sin2A=3〃sin8,及正弦定理可得4sinBsinAcosA=3sinAsin

3

-

/?.4又c=2b.所以cr=b~+c〜-2bccos

3

4=序+4序一2/?X2bX；=2/,所以故选B.

3.(2019・高考全国卷I改编)△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,

设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A;

(2)若也a+〃=2c,求C.

解：(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2>4=sinBsinC,故由正弦定理得好+/

—cr=bc.

庐+—CT1

由余弦定理得COSA=---方-----=T.

2.bc2

因为()°VAV18()。，所以A=6()。.

⑵由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理将■啦sinA+sin(120。-C)=2sin

C,即坐+坐cosC+zsinC=2sinC,可得cos(C4-60°)=一岸.

由于00VUV120。，所以C+600=135。,

即C=75°.

考点2

判断三角形的形状

屈R(1)(一题多解)设△A8C的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若

ZJCOSC+CCOS8=osin4则△A8C的形状为()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不确定

(2)在△ABC中，若c—〃COS8=(2Q—Z?)cosA,则△A8C的形状为

cr~\~tr—c-cr~\~cr-tr

【解析】(1)方法一：因为Z?cosC+ccosB=b----五石---+(?----京---=五"

=a,所以asin即sin4=1,故A=],因此△ABC是直角三角形.

方法二:因为bcosC+ccosB=f/sinA,

所以sinBcosC+sinCeosB=sin2A,

即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sir?A,

jr

故sinA=l,即A=],因此△ABC是直角三角形.

(2)因为c-acos8=(2。一Z?)cosA,所以由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sin

AcosA—sinBcosA,

所以sin(A+B)—sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA,

故cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinA=sinB,

7T

即4=1或A=B,

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

【答案】(1)A(2)等腰二角形或直角二角形

【引申探究】(变条件)若将本例⑴条件改为“2sin4cos8=sinC"，试判

断aABC的形状.

解：方法一：由已知得2sinAcos8=sinC=sin(A+8)=sinAcos8+cosAsin

B,即sin(A-8)=0,因为一兀＜人一8V兀，所以A=8,故△A8C为等腰三角形.

方法二：由正弦定理得2acos8=c,再由余弦定理得

〃+4—庐

2。==b,

lac

故△ABC为等腰三角形.

伍同趟

判定三角形形状的两种常用途径

小&工话是£春记"谑花%有成:而MA*

里巴丝厂;怛等变换，求出边与边之间的关系进行判断

■^TVLJiiti最看至£春&无量:应应有索:而葡色

q三「角色等交换得出三角形内角之间的关系进行

:判断

［提醒］“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；

“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角

的关系.

跟踪训练:

I.在△A6C中，u：b：c=3：5：7,那么△45。是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.非钝角三角形

解析：选B.因为〃：/?：c=3：5：7,所以可设〃=3z,b=5tfc=71,由余

9/24-25/2—49?I

弦定理可得cos。=»…一=一7,所以。=120。，ZVIBC是钝角三角形,

Z/\J/乙

故选R

2.（多选）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,则下列四

个命题中正确的是（）

A-汽最=岛=^,则一定是等边三角形

B.若“cosA=bcos8,则△48C一定是等腰三角形

C.若反osC+ccos8=4则△A8C一定是等腰三角形

D.若/+/—/＞（）,则△ABC一定是锐角三角形

＞.77.3A_上。bc_y＞、“mesinAsinBsinC

e:选AC.由7=Q=^及正弦定理付,7=o=7,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形，A正确.由

6/cosA=hcosB及正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB,解得sin2A=sin2B,则

24=23或2A+26=兀，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确,由

bcosC+ccosB=b及正弦定理得，sinKcosC+sinCeosB=sinB,印sin（B-f-C）

=sin所以sinA=sinB,则4=3,所以△ABC是等腰三角形，C正确.由余

届+廿一C"

弦定理得，cosC=-—>0,所以角C为锐角.而角A,3不一定是锐角，

故D不正确.故选AC.

考点3

与三角形面积有关的问题

角度一计算三角形的面积

做⑶（1）（2020・高考全国卷I改编）△A3C的内角A,B,C的对边分别为。，

b,c.已知3=15（）。.若。=,08=2巾，则△ABC的面积为.

（2）（2020•福建五校笫二次联考）在△A3C中，A,B,。所对的边分别为小b,

c,己知〃2+〃2—/=小出^acsinB=2y[3s\nC,则△ABC的面积为.

【解析】（1）由题设及余弦定理得28=3/+，-2X,，XCOS150°.

解得c=-2（舍去），c=2f从而。=2s.

△A8C的面积为2小X2Xsin150。=小.

片+从一c2市cib

（2）因为〃+〃一/二小〃/；,所以由余弦定理得cosC=

2ablab

坐，又0VCV兀，所以C弋.因为acsin8=2小如1C,结合正弦定理可得人=

2V5g所以ab=2事.故SMBC=^absin。=京2仍5唠=乎.

【答案】（lh/3（2）博

求三角形面积的方法

（1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），结合题意求解这

个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；

（2）若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代

入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

角度二已知三角形的面积解三角形

做⑷（2020•广州市调研检测）在8c中，角A,B,C的对边分别为a,b,

c,己知csin(A+§J—winC=0.

(1)求角A的值；

(2)若△ABC的面积为小，周长为6,求。的值.

【解】(1)因为csin^4+^—^sinC=0,

所以由正弦定理得sinC^sinA+坐cosA)—sinA-sinC=0.

因为sinOO,

行1

所以乎cosA—^sinA=(),即tanA=S，

J乙

因为4£(0,兀)，所以A=/

J

(2)因为△ABC的面积为镉，所以茨sinA=市，得bc=4.

由余弦定理/n^+d—zbccosA,得/=b2+/一儿=屹+"—3儿=3+

C)2-12,

因为△ABC的周长为6,即〃+b+c=6,

所以〃=(6—4)2—12,

所以4=2.

陶信明

已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.

［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函

数公式的工具性作用.

跟踪训练;

1.(2020•福州市质量检测)在钝角△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为

a,〃，c.已知c=巾，6=1,若△A8C的面积为坐，则a的长为.

解析：因为△ABC的面积S=J〃csinA,所以号=；X1X#sinA,所以sinA

=；号，所以cosA=±^,当cosA=乎时，由42=/+^—2bccosA得。=、R,

此时△ABC为直角三角形(舍去)；

当cosA=一乎时，由〃=庐+才一2/?ccosA得a=，Tb,经检验，a=4i5符

合题意.

综上，C7=V10.

答案：E

2.(202()•合肥第一次数学检测)在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为

chb,c,若Q=2,acosC+CCOSA+也bcosB=0.

⑴求B：

(2)若BC边的中线AM长为小，求△ABC的面积.

解：(1)在△ABC中，且acosC+ccosA+g/?cosB=0,

sin/isinZ5binv

所以sinAcosC+sinCeosA+也sinBcosB=0,

所以sinB(l+gcos8)=0,

又sinBW(),所以cosB=一乎.

因为9是三角形的内角，所以“坐

(2)在aABM中，BM=1,AM=4B=于，AB=c,

由余弦定理人"=/+8”-20叫坏858,得c2+V2c—4=0,

因为c>0,所以c=[5.

在△ABC中，〃=2,c=y/2,5=1~,

所以△ABC的面积S=；acsinB=1.

'2—ZX\\方法素养?助学培优「〃——

高考新声音系列4解三角形中的结构不良型开放型问题

新高考卷1第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补

充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的给论,

难度也会有区别.

»（2020・新鬲考卷I）在①加、=，5,②csinA=3,③这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的

三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△A8C,它的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA

=V3sinB,C=*，?

【解】方案一：选条件①.

由。4和余弦定理得小器=坐

由sinA=J§sinB及正弦定理得。=^b.

于是誓萨=坐，由此可得…

2731y2

由①ac'=d5,解得a=小,b=c=\.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

方案二：选条件②.

由Y和余弦定理得上于等.

由sinA=#sin8及正弦定理得

22

日3/r+/?~cV31叔/_乙A

于我.25bl—2’由此可行"方―c，B—C—6,A—3.

由②csin4=3,所以。=〃=2小，a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2#.

方案三：选条件③.

由0=/和余弦定理得“=岑.

OLab2

由sinA=«§sinB及正弦定理得a=y[3b.

于是吟萨=坐，由此可得…

2731y，

由③c、=，5。，与b=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件（在这些条件下三角形并不能

随之确定），在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件

下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由.

在①sinB=坐,37

拓展练习】②cos8=1,③cosC=一§这三个条件中选择

一个，补充在下面的恒题中，并判断三角形是否有解.若有解，求出。的值；若

尢解，请说明理由.

在△ABC中，己知a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足C=2B,b

+c=10,.

A

解：若选择①sin8=彳，则8=60。或8=120。,

因为C=28,所以C=120。或C=240。，显然矛盾,

此时三角形无解.

_3

若选择②cos8=1，

33

…sinCsin2B2sinBcosB-=-

则由正弦定理可得---F-42

bsinBsinBsinB

又/?+c=l(),所以c=6,方=4.

由余弦定理/r=〃"+<?“一2accos8,可得16=〃~+36—9a,

解得〃=4或67=5.

若〃=4,则由〃=4知A=8,

又C=2B,所以8+8+28=180。，解得B=45。，

这与cosB=t矛盾，舍去.

经检验知，当。=5时适合题意.故a的值为5.

若选择③cosC=-Q,

7

-

因为C=2&所以cos25=9

7

-

即2cos2B—19

2

,,csinCsin2B-

此时不3所以c<b,

inBsinB

这与C=2B矛盾,

此时三角形无解.

(知能提升■分层演练

[A级基础综]

1.设△A3C的内角A,B,C的对边分别为。，/?,c若。=2,C=2A/3,COS

A=乎且力＜c,则Z?=()

A.3B.26

C.2D.小

解析：选C.由余弦定理。?+/—2〃ccos4=/,得户一60+8=0,解得6=2

或〃=4,因为Xc、=2小，所以〃=2.选C.

2.△A8C的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,己知/?=巾，c=4f

pj

cosA=^,则△ABC的面积为()

3由

3V27

AC.

9

9B.

D.彳

解析：选B.因为cosA=乎，则sinA=弓，所以S/\A8C=；XZ?csin

qq乙j

故选B.

3.(2020・湖北八校第一次联考)已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为

b,c,且sin8—sinA(sinC+cos0=0,。=2,c=啦，则角C=()

解析：选B.因为4+。=兀-8,所以sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin

C,因为sinB—sinA(sinC+cos0=0,所以cosAsinC—sinAsinC=0,因为

CW(0,兀)，所以sin0(),所以cos4=sinA,义A£((),n),所以A=：,由正

弦定理得‘一=—£7，又。=2,c=y[2f所以sinC=)因为心c,所以。=%,

.7csin乙o

sina

故选B.

4.（多选）在△A8C中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,8=45。

C.a=6,b=3小,B=60°D.a=20,〃=30,A=30°

解析：选BC.对于A,因为b=7,c=3,C=30°,所以由正弦定理可得sin8

7只7

hsinC

无解;

一6>L

.R4X半

csinB2.

对于。，所以由正弦定理可得

B,b=5,c=4,8=45sinC=b~5

^^Vl,且eV/?,有一解;

,r\

对于C,因为a=6,b=3邓,8=60°,所以由正弦定理可得sinA=公m一=

6X坐

飞行=1,4=90°,此时。=30。，有一解；

/?sinA

对于D,因为。=20,〃=30,>4=30°,所以由正弦定理可得sinB=-^—=

30X；

/且力>〃，所以B有两解，故选BC.

7T

5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为①b,c,.若C=w，。=4,&ABC

n.2a~\~3c—b

=2,贝ijT—:।~~~=()

2sinAX+Q3sinC—sinB

A.小B.2小

C.2巾D.2如

解析：选B.因为C=：,a=4,S"8c=2,所以加in^=|x4X/?X^

=2,解得匕=也.由余弦定理可得/=庐+/—2及cos：=10,c=E.由正弦定

,__2。+3c—6cr-..

理可付zo丁i「I-,.j~~T；=i-=2*\/5,故选B.

2sinA+3sinC—sinBsinC也v

2

6.在△ABC中，A=60°,AC=4,BC=2小，则△ABC的面积为

解析：因为襦=磊，

所以sinB=l,所以8=90。，

所以AB=2,所以S"BC=；X2X2小=2，5.

答案：2^3

7.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为mb,c.若a=4,c=2,B=

60°,则8=,C=.

解析：因为。=4,c=2,8=60°,所以由余弦定理得〃=。2+02—2〃ccos8

=16+4-2X4X2x1=20-8=12,

则b=2事.

由正弦定理卷=默，可得sinC=^

2*坐1

=WF=》

因为c、V仇故。为锐角，所以C=30。.

答案：2小30°

JF

8.ZVIBC的内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,若B=Q,C=2,且

sinA=3sinC.AC的中点为。，则.

解析：sinA=3sinC.由正弦定理得，a=3c,所以。=6.

由余弦定理得，/?2=62+22-2X2X6XCOS60°=28,

所以b=2小.

从+/一4（2巾）2+22-6?S

所以cosA=

2bc2X2X2由一一14

因为。是AC的中点，所以AD=y[j.

所以BD2=AB2-¥AD2-2ABADCOS

所以BD=g.

答案：VT5

9.(2020・高考全国卷II)△"(7的内角A,B：C的对边分别为。，b,a已

知cos2弓~+A)+cosA=*

⑴求A；

(2)若匕一0=坐小证明：△A8C是直角三角形.

解：(1)由已知得sin2A十cosA=l，

即COS2A—cosA+^=0.

（iyi

所以（cosA-2I=0,cosA=爹.

由于0<4<兀，故力=?

(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=^sin4.

27r

由（1）知B+C=?,

所以sinB-sin停-8）=V3.n

3sin3,

即JsinB-申cosB=；,sin（8-^）=；，

2*

2冗TT

由于0<8<w，故8=].从而△ABC是直角三角形.

10.(2020•成都市诊断性检测)在△A8C中，角4,B,。的对边分别为。，b,

(1)求sinA的值；

(2)若△A/C的面积为W，且镜sin"=3sinC,求△A8C的周长.

解：(1)因为加+廿一〃2=2bccos4,

4、历

所以2/?ccosA=y~bc,

所以cosA

所以在AC中，sinA=yj1—cos2A=g.

(2)因为△ABC的面积为也，所以;〃csinA=%?c=也，

所以儿=6啦.

因为啦sin8=3sinC,所以由正弦定理得也b=3c,

所以b=3小,c=2,

所以/=及+廿一2/?ccosA=6,所以4=册.

所以△A5C的周长为2+3近+#.

[B级综合练]

C1

11.在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsin8(2—cos0=sin4+g,则△ABC

为()

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.锐角非等边三角形

D.钝角三角形

解析：选B.将已知等式2acos8=c利用正弦定理化简得2sinAcos3=sinC,

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcos8=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB—cosAsinB=sin(A—8)=(),

因为4与B都为△ABC的内角，

所以A-B=0,即4=A

因为sinAsin8(2—cosC)=sin23-+z,

所以sinAsin8(2—cosQ=^(l—cos0+；=l—；cosC,

所以一T[COS(A+B)—cos(A—3)](2—cosQ=1—^cosC,

所以一T(—cosC—1)(2—cosC)=1—^cosC,

即(cosC+1)(2—cosC)=2—cosC,

整理得cos2C—2cosC=0,即cosC(cosC—2)=0,所以cosC=0或cosC

=2(舍去)，所以。=90。，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.

12.（多选）在aABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,若〃=ccosA,

角A的平分线交BC于点。，AO=1,COSA=Q,则以下结论正确的是（）

o

3

A.AC=aB.A8=8

CD13s

C.为="D.△ABO的面积为乎

nlJo4

。2+/—/i

解析：选ACD.在△48C中，根据余弦定理得，cosA=—忘一=-，即

乙0Cv

T

-

2由二倍角公式得cosNBAC=2cos2NC4D—l=d，解得

O

3

cosNCAQ=]

在Rt/XACD中，AC=ADcosZCAD=^f故选项A正确；

在RtZXABC中，COSZBAC=T^=I,解得AB=6,故选项B错误；浮、

A力OS^ADB

^CDAC^ACADsinZCAD

------=-;---------------,则器=器="，故选项C正确；

^BDAC^ABADsinZBAD'

在△A5O中，由cosN84£)=,得，sinNBAD=牛,所以S^ABD=\

4D4》sinNB4O=3xiX6x¥=乎，故选项D正确.

13.（2020•沈阳市数学质量监测（一））A4BC的内角A,B,C的对边分别为

nj

c,已知〃c。*A+〃co*八=与-〃c,sin24=sinA.

（1）求A及a；

（2）若c=2,求8c边上的高.

解：（1）因为acosB+/?cos4=，-〃c,

rz

所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=^~asinC,

所以sin(A+4)=乎“sinC,又4+区=兀-C,所以sinC=^~asinC,又sinC

>0,

所以4=市.

因为sin2A=sin4,所以2sinAcosA=sinA,又sinA>0,所以cosA=；,

71

因为A(E(0,兀)，所以A=Q.

(2)由(1)及余弦定理cr=b2-\-c2—2Z?ccosA,

得Z?2+c2—/?c=7.

将6=，+2,代入序+/一酎=7,得/+2c—3=(),

解得c=l或c=—3(舍去)，所以Z?=3.

因为卷=薪，所以萼，

设8。边上的高为九则〃=戾吊。=陪1

14.在①(2〃+〃)sinA+(28+〃)sin3=2csinC,@a=y[3csinA-acosC,

③△ABC的面积S"BC=曰(〃2+Z?2—/)这三个条件中任选一个，补充在下面的问

题中，作为问题的条件，再解答这个问题.

在△A8C中，角A,B,C的对边分别是mb,c,若。=小，且________,

探究三角形48c的周长/是否存在最大值？若存在，求出/的最大值；若不存在,

说明理由.

解：若选①，因为(2〃+/?)sinA+(20+4)sinB=2csinC,

所以由正弦定理可得(2。+b)a+(28+a)b=2d,

+序一621

即cr^b1—(r=­aby所以cosC=---^-/---=-5，

2兀

因为。£(0,兀)，所以。=3.

又所以由正弦定理可得S出A=sin=二4=2,所以。=2sinA,b=

2

2sinB,

则/=〃+/?+c=2sinA+2sin3+3=2sin4+2sin《—A，+g=sinA+小

cosA+V5=2sin（A+,

因为OVAV小所以2小V2sin（A+§+小W2+S，

即△ABC的周长/存在最大值，且最大值为2+3.

若选②，因为a=\[3csinA—acosC,

所以由正弦定理可得