高考数学专项复习：立体几何中的动态、轨迹问题

§7.10立体几何中的动态、轨迹问题

【重点解读】“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更

趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥

梁，使得它们之间灵活转化.

题型一平行、垂直中的动态轨迹问题

例1己知正方体的棱长为I,点?是正方体表面上一个动点，满足则点

2的轨迹长度为（）

A.2B.2V2

C.4D.3V2

答案D

解析由题意可知，动点P的轨迹为过点8与直线AC垂直的截面与正方体的表面的交线，如图所示.

在正方体A3CD-A/中，BDLAC,BD±AA],

又AC,A4u平面A4C且ACCAA尸4,所以平面A4C,

因为AiCu平面AAiC,所以BDlAiC.

又在正方体中，BG±B|C,,

又BE,SAu平面81cA且BiCC\B\Ai=Bi,所以8Gl.平面81cAi,

因为AiCu平面BICAI,所以8G1AC.

由BD,8Gu平面BDC\且BDCBC产B,

所以AC_L平面BDC].

于是点尸的轨迹长度为不包含点8的△8DG的周长，

即△8OG的周长等于3V12+12=3V2.

思维升华动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定

义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

跟踪训练1在棱长为4的正方体ABCQ-A向G0中，棱上的点E满足屁二两，”是侧面

CDOG上的动点，且8/〃平面44E,则点尸在侧面CDGG上的轨迹长度为（）

4

1

4

C

A.2V2B.3V2C.2V3D.4

答案A

解析取CG的中点”，G。的中点M,连接用”，1iM,MBI，

A

P

在正方体中，明显有,B\H//AxE,

又“MG平面A\BE,/Me平面AiRE,平面AiBE4Eu平面A8E,

所以MM〃平面A由E,8i〃〃平面,

又HM,8iau平面B\HM,HMCBH二H,

所以平面8HM〃平面AiBE,

当/在线段MH上运动时，有助广〃平面AiBE,

即点F在侧面CDDtCi上的轨迹为线段MH,

又MH5C\M=2五,

故点广在侧面CDDC上的轨迹长写为WL

题型二距离、角度有关的动态轨迹问题

例2（多选）（2024•朔州模拟）在三棱锥4-48C中，4A_L平面ABC,ABLAC,AA]=AB=AC=3,尸为△

48c内的一个动点（包括边界），4P与平面48c所成的角为45。，则（）

A.4户的最小值为遍-百

B.4P的最大值为连+V5

C.有且仅有一个点P,使得4P_L8C

D.所有满足条件的线段A尸形成的曲面面积为毕

答案ACD

解析依题意，A\B=A\C=BC=3\/2,

取BC的中点M,连接AM,AiM,

则AM_LBC,4M_L8C,

AM.AiMu平面4AM,AMCI4M=M,

所以BC_L平面4AM,

过A作4"_L4M于“，因为4"u平面AMM,所以AH_L3C,

又Ai历CI8C=M,AiM,ACu平面ABC,所以AH_L平面418c,

易得A”二百，且〃为等边△A|8C的外心，

由A尸与平面4SC所成的角为45。，

可知A/7="P,

所以点P的轨迹是以〃为圆心，逐为半径的圆在△AiBC内部及边界上的一部分，如图所示，

所以AiP的最小值为AiH-HP=V6->[3,A选项正确；

由于轨迹圆部分在△48C外部，所以4P的最大值不等于4"+“P=遍+百，B选项错误；

因为8C_L平面AAM,若4P_LBC,则点尸在线段4阳上，

有且仅有一个点尸满足题意，C选项正确；

二・点P的轨迹长度为2兀XV6=2-76^.

题型三翻折有关的动态轨迹问题

例3（多选）（2025•泰安模拟）如图，在五边形A8COE中，四边形48CE为正方形，CO_LDE,

CD=DE=V2,尸为A8的中点，现将△A8E沿8£折起到平面4BE位置，使得A归则下列结论

正确的是（）

八「

F

BCBC

A.平面8COE_L平面A}BE

B.若。为BE的中点，则。石〃平面尸OC

C.折起过程中，尸点的轨迹长度为？

D.三棱锥A.-CDE的外接球的体积为巫兀

答案ABD

解析对于A,由题意得NBEONCEgU,所以/BED『,即DELBE,

42

而已知由，且AiBDBE=B,平面A^E,A£u平面A】BE,

所以DEJ_平面AiBE,OEu平面BCDE,所以平面5。）£_1_平面A,BE,故A正确；

对于B,因为。为BE的中点，所以0C上BE,又DE上BE,所以OC//DE,

又力用平面FOC,COu平面FOC,所以力月〃平面FOC，故R正确；

对于C,因为四边形A8CE为正方形，,CD=DE=V2,所以CE=J（鱼尸+（72）2=2,

过点F作FG上BE交BE于点G,如图，

贝ijFG=yBF=y,

所以折起过程中，产点的轨迹是以G为圆心，/G=¥为半径，圆心角为］的圆弧，

所以F点的轨迹长为5乂彳=字，故C错误；

224

对于D,连接A。,如图，

贝ijA\OLBE,又平面3cOE_L平面AiBE,平面8coEH平面A\BE=BE,

4Ou平面A山石，所以4Q_L平面BCOE,

又四边形OCOE为边长为企的正方形，则三棱锥A・CDE的外接球即为四棱锥4-OCOE的外接球，

又四边形OCDE外接圆的直径为CE=2,AQ=：BE3,

•L

设四棱锥A^-OCDE的外接球的半径为R,贝1」（27?尸=4。2+。。2=①。2+。炉，即（2R产=（加户22=6,所以长邛，

3

所以外接球的体积V号R3号x（9=品,

即三棱锥4-CQE的外接球的体积为遍冗,故D正确.

思维升华翻折有关的轨迹问题

（1）翻揖过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.

（2）翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.

（3）可以利用空间坐标运算求轨迹.

跟踪训练3（多选）（2024・南阳模拟）如图I,在直角梯形A8CD中，AB//CD,ABA.AD,A8=3百,

CD=4x<3,AO=3,点E,尸分别为边48,C。上的点，JE.EF//AD,AE=2V1将四边形4EF0沿E尸折

起，如图2,使得平面AE尸。_L平面E6C尸，点M是四边形AE尸。内的动点，且直线用8与平面AEF。

所成的角和直线MC与平面AEFO所成的角相等，则下列结论正确的是（）

图1图2

A.AC1BF

B.点”的轨迹长度为今

•J

C.点M到平面E8C厂的最大距离为百

D.当点M到平面E8C尸的距离最大时，三楂锥M-8C厂外接球的表面积为28兀

答案BCD

解析如图，连接CE,EM.因为平面AEFQ_L平面EBCF,平面平面EBCF=EF,AEu平面AEFD,

5LAEA.EF,所以AE_L平面EBCE所以CE为C4在平面EBCE内的射影.易得△8CT为等边三角形，显然

CE不垂直于BF,所以AC不可能垂直于B/7,故A错误；

易知BE_LE/"易证BE_L平面AEf。，所以N8ME为直线M8与平面AEFO所成的角.同理/CM尸为直线

MC与平面AEFD所成的角，所以NBME=NCMF,所以tanZBME=（anZCMF,所以普•因为CF=2BE,

EMFM

所以FM=2EM.

在平面AEFD内，以E为坐标原点，以方的方向为x轴正方向，瓦5的方向为），轴正方向建立平面直角坐

标系，则尸（3,0）,设M（x,y）,则有—3尸+y2=2jM十0，化简得（户］＞+9=4,即点M在平面

AEFD内的轨迹方程为。+1）2+），2=4（0・^＜1,y20）,所以点M在四边形AEFD内的轨迹为以（-1,0）为圆心，

2为半径的圆的一段弧，弧所对的圆心角为所以弧长为5X2=r,B正确；

要使三棱锥M-8C尸的体积最大，只要点M的纵坐标的绝对值最大即可.令人=0,

则产土遮，又），20,所以M（0,V3）,此时M到平面E8C尸的最大距离为百,C正确；

三棱锥M-BC/外接球的球心在过△BCY'的外接圆圆心且垂直于平面8CT的直线上.

在三棱锥M-8CT中，设点Q为等边△式/外接圆的圆心，设三棱锥M-BCb外接球的球心为O,半径为R,

设OQ=a,则有於=曲4=（75-a）2+7,

解得＜7=73,所以K=7,所以三棱锥r外接球的表面积S=4JIR2=28兀，D正确.

课时精练

［分值:42分］

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

I.在正方体A8CD-A山iGQ中，。是正方形8由CG内的动点，4Q_L8G,则。点的轨迹是（)

A.点氏B.线段田C

C.线段BCD.平面BiBCC

答案B

解析如图，连接4C,

囚为BCxLAyQ,BC\±A^B\,4QCIA4尸A,A}Q,平面A,BiQ,

所以BG_L平面4%Q,

又XQu平面AEQ,所以BCilBiQ,

又8G_L8C,所以点。在线段SC上.

2.如图,在三棱柱A3C-A山Ci中，M为4G的中点,N为侧面3CC7i上的一点,且MN〃平面ABG,若

点N的轨迹长度为2,贝1」（）

A.AC=4B.BCi=4

C.ABi=6D.BiC=6

答案B

解析如图，取BC的中点D,BBi的中点E,连接MD,DE,ME,

由MD//A\BX//AB,DE//BC\,

又M/X平面ABG,ABu平面ABC\,所以MO〃平面ABC\,

同理可得OE〃平面A8G,

又MDCDE=D,M。，QEu平面MDE,

所以平面MOE〃平面A8G,

又MN〃平面A8G,

故点N的轨迹为线段。石，

又由DE]8G=2,可得BG=4.

3.（2024・南充模拟）在三棱锥48co中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,尸为△BCD内部及边界上的动点,

AP=2\[2,则点P的轨迹长度为（）

A.nB.2冗C.37tD.47t

答案B

解析如图所示，

由AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,

可知三棱锥A-BCO为正三棱锥，

设点A在底面BCD上的射影为0,

连接80并延长，交CO于点石，可知E为CO的中点，

贝ijB£=3V3,08=275,0E=V3,

贝ijAOJ•平面BCD,OA=>JAB2-0B2=2,

又P为△8C£>内部及边界上的动点，AP=2企，

所以0P=2,

所以点P的轨迹为以点O为圆心，2为半径的圆在△BC。内部及边界上的部分，

如图所示，OE±P\P2,

所以cosNEOP产第二T，

即NEOP户口,/POP?三,

63

所以点P的轨迹长度为27rx2-3义32=2兀.

4.（2025・长沙模拟）在三棱锥P-A8C中，△48C是边长为3的正三角形，PA=^fPC.LBC,则三棱锥P-A3C

的体积最大为（）

A.—B.2V3C.—D.V3

82

答案C

解析如图，因为PCLBC,所以P点在过C点且与BC垂直的平面a上，设平面an平面ABC=/,过点4

作/的垂线段交/于点Ai,则AA」a,且AAi=|,

因为,所以P点在以4为圆心的圆周上，

由图可知。到底面人“C的最大高度为JP/2一//=2,

所以三棱锥体积的最大值为V三梭锥P-ARC=~XS^ABCX2=：X?X3*X2=^^.

3342

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.如图，正方体ABCQ-ABC7）的棱长为4,动点E,尸在棱A8上，且E/三2,动点。在棱DC上，则在三

棱锥/T-E产。中，下列说法正确的是（）

的面积与点E,尸的位置无关

B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关

C.三棱锥4-七/。的体积与点E,尸，Q的位置都有关

D.三棱锥/V-EFQ的体积与点£,F,。的位置均无关，是定值

答案AD

解析连接ALT,8C,如图.

对于选项A,因为AB〃CD,且可知四边形A8C。为平行四边形，

且AB_L平面A。。，“，AZTu平面AOO卬，贝ljA8_LAZT,可知四边形A8CZT为矩形，

所以△EFQ的面积S.，回折扣凡4。号X2X4匹=4企,

即△EFQ的面积为定值，与点E,尸的位置无关，故A正确；

对于选项BCD,因为4。」平面ABB'A',且平面〃平面DCCD1,

可知三棱锥Q-AE尸的高为A'D'=4,

所以三棱锥A'-EFQ的体积丫三梭锥人团所丫三梭锥QW瓦号VD'SWQ[X4X2X2X44，

OOfcO

即三棱锥4・ErQ的体积为定值.与点E./.Q的位置均无关，故D正确.BC错误.

6.在校长为1的正方体ABCD-A出CQi中，M为正方体表面上的动点，N为线段AG上的动点，若直线

人M与AB的夹角为j则下列说法正确的是()

A.点M的轨迹确定的图形是平面图形

B.点亚的轨迹长度为卜2/

C.GM的最小值为&-1

D.当点M在侧面581cle上时，争N+MN的最小值为1

答案BCD

解析如图，建立空间直角坐标系，

则。(0,1,0),C1(1,1,1),

•・•直线AM与A8的夹角为:,当点M在侧面44。。上时，ABLAM,不合题意；

当点M在底面Ai囱GG和侧面CCn。(不包含边界)上时，点M到直线A8的距离大于AB的长度，此时，

AM与A8的夹角大于2；

4

当点M在侧面A4E8和底面A8C。上时，可知线段,AC满足题意；

当点M在侧面BCGBi上时，由A8_L8M,可知8M=A8,此时弧81c为所求.

・・・M点的轨迹为线段AC,A所