勾股定理的应用-2024华东师大版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

13.2勾股定理的应用华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步

练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）.如图2,BC是底面直

径，力B是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过儿C两点（接头不广），则装饰

A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm

2.如图所示的一块地，已知44DC=90°,AD=12m,CD=9?n,AB=25m,BC=20m,则这块地的

2C.196m2D.304m

3.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图1，当张角为N84F时，顶部边缘8处

离桌面的高度为7cm,此时底部边缘力处与C处间的距离4c为24cm,小组成员调整张角的大小继续探

究，最后发现当张角为4口4r时⑺是B的对应点），顶部边缘。处到桌面的距离DE为20cm,则底部边缘A处

与E之间的距离4£为（

A.15cmB.18cmC.21cmD.24cm

4.一艘船由71港沿北偏东60。方向航行30km至8港，然后再沿北偏西30。方向航行40km至C港，则4。两港

之间的距离为（）

A.50kmB.40kmC.3QkmD.10V_7/CTH

5.如图，圆柱形玻璃杯，高为7cm,底面周长为16c771,在朴时离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂

蚁正好在杯外里，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点力处，则蚂蚁到达蜂。点的最短距离为().

A.8B.10C.4/5D.16

6.，九章算术》勾股竟有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上

端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有

多长？若设绳索长度为工尺，根据题意，可列方程为()

A.824-x2=(x-3产B.82+(%+3)2=%2

C.82+(x-3/=%2D.%24-(x-3)2=82

7.如图，高速公路上有4、B两点相距10旧aC、。为两村庄，已知ZM=4/C7n,CB=6km.ZM1AB于

4C81AB于8,现要在AB上建一个服务站从使得。、。两村庄到£站的距离相等，则EA的长是

()km.

E8

，八、

4km\.

\6km

D\

C

A.4B.5C.6D./20

8.如图，某自动感应门的正上方力处装着一个感应器，离地面的高度4B为2.5米，一名学生站在C处时，感

应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离8C为1.2米，头顶离感应器的距离力。为1.5米，则这名学生

身高。0为()米.

A

B

C

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

9.如图，已知BD1AC,垂足为点C,BD=B4且/C=5,DC=1,则BC=(

A.8

B.10

C.12

D.13

10.如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为15cm,高为8sn的圆柱形

水杯中，设筷了•露在杯子•外面的长度为九cm,则力的值最小为（）czn.

A.7B.8C.16D.17

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示.已知书的长度为

20cm,厚度EG为2cm.书角尸到书柜底部B的距离比书角，到书柜底部C的距离少

4cm,则书角9与书角H的距离FH为cm.

12.用一根长12sl的铁丝围成一个斜边长为5si的直角二角形，则这个直角二角形较

短的直角边长为—cm.

13.如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部87n处，则这棵树在折断前（不

包括树根）长度是m.

14.现有两根木棒，它们的长度分别是40cm和50cm,若要钉成一个直角三角形木架，所需第三根木棒长度

最短是cm.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题8分）

A

（1）求旗杆的高度；

（2）小李在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落

在点E处，问小李需要从C退向。要走几米（即的长）？（结果保留根号）

18.（本小题8分）

一般轮船从力港向南偏西48。方向航行100km到达B岛，再从8岛沿方向航行125km到达。岛，4港到航

线BM的距离是60km,C岛在4港的什么方向？

19.（本小题8分）

如图，数学兴趣小组要测量旅杆4B的高度，同学们发现系在旗杆顶端4的绳子垂到地面多出一段的长度为

3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米.

（1）求旅杆的高度;

（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落

在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？

20.（本小题8分）

台风是•种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.

如图，有一台风中心沿东西方向由点4向点8移动，已知点C为一海港，且点C与48两点之间的距离

CA.分别为300km,400km,AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内（包括250Am）为受影响

区域.

⑴海港C受台风影响吗？为什么？

（2）若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km",台风影响海港C持续的时间有多长？若海港C

不受台风影响，则说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【4铝斤】略

2.【答案】A

【解析】略

3.【答案】A

【解析】解：依题意，AC=24cm,BC=7cm,

在At△ABC中，AC2+BC2=242+72=625=252,

：・AB=25cm,

AB=AD=25cm,DE=20cm,

在Rt△ADE中，AEZ=ADZ-DE2=252-202=153

•••AE=15cm,

故选:A.

在股△4BC中由勾股定理求出48=AD=25cm,再在Rt△40E中运用勾股定理即可求出力£

本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解:如图，

由题意可知，^.FAB=60°,LEBC=30°,AB=30km,BC=40km,AF//DE,

A/.BAD=30°,

A/.ABD=乙FAB=60°,

/.ABC=180°-LABD-乙EBC=90°,

在山△ABC中，

AC=AB2+BC2=50(km),

答：A,。两港之间的距离为50km.

故选:A.

证明△4BC是直角三角形，根据勾股定理即可求出结果.

本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平面展开-最短路径向题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算.首先将杯子侧

面展开，建立4关于E尸的对称点A,根据两点之间线段最短可知力上的长度即为所求.

【解答】

解：如图(图中数据的单位：cm),将杯子的侧面展开，

作人关于EF的对称点连接4'C,易知14。的长为所求的最短距离，

根据勾股定理得AC?=ArD2+CD2=82+62=102,

所以4c=10cm,即所求的最短距离为10cm.

故选6.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用。勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们需要

根据题目所描述的情境，找出直角三角形的三条边，然后根据勾股定理列出方程。

【解答】

解：设绳索长度为4尺，因为绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆住地面的部分尚有3尺，所以木柱的高度为

(x-3)尺。

已知牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，所以离木柱根部8尺的距离就是直角三角形的一条直

角边，长度为8尺。

绳索长度%尺就是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以可列方程为82+(X-3)2=

故选C。

7.【答案】C

【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设则8E=/lB-4E=C10—x)%n,根据C、

。两村庄到E站的距离相等，可得到="2,则由勾股定理可得方程42+/=62+(10-x)2,解方程

即可得到答案.

【详解】解：设=则==(10-x)km,

在At圈40E中，由勾股定理得。七2二力。2+力E2,

在比目CBE中，由勾股定理得*=+BE2,

•••C、D两村庄到E站的距离相等，

DE=CE,

­.DE2=CE2,

AD2+AE2=BC2+BE2,

:.42+z2=62+(10—x)2,

解得％=6,

:.AE=6km,

故选:C.

8.【答案】D

【解析】【分析】过点。作DE1K8于E,则CD=BE,DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9(米

),则BE=/W-AE=1.6(米)，即可得出答案.

【解答】解：过点。作。£143于£,如图所示：

B

则C0=8E,DE=BC=1.2在中，40=1.5米米，由勾股定理得：=

yjAD2-DE2=J（|）2-（1）2=0.9（米）,

••.BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米），CD=BE=1.6

米，故选：D.

【点评】本题考杳了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：设8C=a

-DC=1,

•••BD=AB=x+1,

在Rt/kABC中，AC2+BC2=AB2,

52+X2=（X+1）2,

解得：X=11,

BC=12,

故选：C.

设BC=x,则8。=48=%+1,在RtAABC中，由勾股定理列方程求解即可.

本题主要考杳勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：如图，当筷子的底端在4点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在RC△ABO中，AD=15cm,BD=8cm,

•••AB=y/AD2+BD2=V1524-82=17(cm),

.•.此时八最小=24-17=7(cm),

即人的值最小为7cm,

故选:A.

当筷子的底端在人点时，筷子露在杯子外面的长度最短，再由勾股定理求出A3的长，即可得出结论.

本地主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

11.【答案】2.5

【解析】解：设=则C，=(x+4)cm,

如图，设两个书柜交点为M,

EG=2cm,

:•FM=2cm,

由题易得，乙EBF=乙FMH=乙ICH=90°,

:.Z.BEF=乙MFH=90°-乙BFE,匕MFH=Z.CH1=90°-4MHF,

乙BEF=乙CHI,

又••=4。=90°,EF=IH,

:小BEF@>CHI(AAS),

ABF=CI=xcm,BE=CH=(%4-4)cm,

vEF=20cm,

•••在RM8E尸中，BE2+BF2=EF2,

即好+(%+4尸=400,

解得％=12,

:.BE=16cm,BF=12cm,

•:乙BEF=CMFH,乙EBF=4FMH,

BEFs>MFH,

.BE_MFBn16_2

••而—而'即而一而'

解得=2.5cm,

故答案为：2.5.

先证△BEFACH/(44S),可得BE=CH=(x+4)cm,进而利用勾股定理得到％=12cm,再证△

BEFs^MFH即可得解.

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握

相关知识是解题的关键.

12.【答案】3

【解析】解：长12cm的铁丝围成一个斜边长为5cm的直角三角形，设一条直角边长为无cm,则另一条直

角边长为(12-5-x)cm,

在直角三角形中，由勾股定理得：x2+(12-5-x)2=52,

解得：xt=4»x2=3,

诙直角边长分别为3cm和4cm,

较短的直角边长为3cm,

故答案为：3.

设一条直角边长为乃cm,则另一条直角边长为(12-5—x)sn,根据勾股定理可列出关于x的等式，解出工

的值即可得出答案.

本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.

13.【答案】16

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.

根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角「角形，根据勾股定理解答即可.

【解答】

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：4C=,62+82=10（米）.

所以大树的高度是10+6=16（米）.

故答案为：16.

14.【答案】30

【解析】【分析】

本题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键，难度适

中.

当斜边为50cm,直角边为40cm时，所需第三根木棒的长度最短，根据勾股定理得出答案即可.

【解答】

解：现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，

"'I斜边为50c〃i,直角边为40c〃i肘，所需笫三根木棒的长度最短，

此时，木棒的最短长度为

J（50/一（40）2=30（cm）.

故答案为：30.

15.【答案】【小题1】

（%+1）

【小题2】

在Rt团4CE中，AC=(^x+l)m,AE=(x-l)m,CE=6m,由勾股定理，得(x-+6?=(x+1产，

解得％=9.答：旗杆力B的高度为9m.

【解析】1.略

2.略

16.【答案】10尺.

【解析】解：设竿的长度为工尺，则门高为2)尺，门宽为(>-4)尺，

依题意得：(X—2)2+Q—4)2=/,

化简得：%2-12x+20=0,

=

解得：入i=2,%210-

当x=2时，为一2=2—2=0,A-4=2-4=-2,不合题意，舍去；

当x=10时，x-2=10-2=8,x-4=10-4=6.

.•.门高为8尺，门宽为6尺，

•••门的对角线长为V62+82=10(尺).

答：门的对角线的长是10尺.

设竿的长度为工尺，则门高为2)尺，门宽为(％-4)尺，利用勾股定理，即可得出关于％的一元二次方

程，解之即可得;I以的值，再结合2)和4)均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答

案.

本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，解题的关键是找到题目中的等量关系.

17.【答案】【小题1】

解：设旗杆的高度为X米，则4c为(x+1)米，

在Rt团48C中，48=90°,

•.AB2+BC2=AC2,

VBC=5米，

:.x2+52=(x+I)2,

解得：x=12,

答：旅杆/B的高度为12米；

【小题2】

解：如图，过E作EG148于点G,

A

AZ.BGE=Z-AGE=90°,

•••乙BGE=LB=乙D=90°,

•••匹边形8DEG是矩形，

:.BG=DE=1米，EG=BD,

:.AG=AB-BG=12-1=11（米），

由（1）可知，AE=AC=12+1=13（米），

在AC13AGE中，N/GE=90°,

根据勾股定理，得EG=yjAE2-AG2=V132-ll2=4/5（米）,

:.BD=4g米,

CD=BD-BC=4<3-5米，

答：小强后退的距离约为4门-5米.

【解析】1.

本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的轴助线构造直角三角形

是解此题的关键.

设旗杆48的高度为x米，则AC为Q+1)米，在R£团48C中，运用勾股定理建立方程求解.；

2.

如图，过后作EG_L48于点G,则四边形8DEG是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在Rt团4GE中，根

据勾股定理求得得EG=4，1(米)，再由CO=BD-8c即可求解.

18.【答案】C岛在力港的北偏西42。.

【解析】解：如图，由题意可知，AB=100km,BC=125km,AD=60km,Z.BAH=48°,AD1BM,

:."DB=/-ADC=90°,

根据勾股定理得：BD=AB2-AD2=V1002-602=80(km),

CD=BC-BD=125-80=45(/cm),

AC=yJAD2+CD2=V602+452=75(km),

.•.AB2+AC2=BC2,

••・△/48。是直角三角形，月/84。=90。，

•••乙CAN=1800-LBAC-乙BAH=180°—90°-48°=42°,

•••C岛在A港的北偏西42。.

由勾股定理求出80=80km,再由勾股定理的逆定理证明△4BC是直角三角形，且4B4C=90。，然后求

出/G1N的度数，即可解决问题.

本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及方向角等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定

理是解题的关键.

19.【答案】【小题1】

解：设旗杆AB的高度为;nn,则4。=(x+3)m,

在Rt®/18c中，£B=90°,由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

:.%24-92=(x+3)2,

解得：x=12,

答：旗杆4B的高度为127n.

【小题2】

解：过E作EM148重为M,

则/MEB=Z.MBD=Z.EDB=90°,

•・M边形BOEM为长方形，

.・.MB=ED=2m,BD=ME,

vAB=12m,

•••AM=12—2=10m,AE=12+3=15m,

在Rt目RME中，^AME=90°,

由勾股定理得：ME=yjAE2-AM2=V152-102=575(m).

ACD=（5/5-9）m

答：小明需后退（5A-9）m.

【解析】1.

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构