公式法-2024湘教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

1.3公式法湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.小梅和小丽在因式分解关于％的多项式/-Qx+b时，小梅获取的其中一个正确的因式为（％+3）,小丽

获取的另一个正确的因式为（工-2）,则义的值为（）

33

A.B.1C.-3D.3

2.把多项式/+ax+b分解因式，得。+1）（%-3）,则a,b的值分别是（）

A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3

3.若/-（7n+2）x+16可以用完全平方式来分解因式，则m的值为（）

A.±2B.2或一6C.±6D.6或一10

4.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（）

A./+4y2B.x2-2y2+1C.-x2+4y2D.-x2-4y2

5.若a、Ac是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（）

A.正数B.负数C等于零D.不能确定

6.已知432-1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（）

A.12,14B.13,15C.14,16D.15,17

7.对任意整数八，（2九一1）2-25都能（）

A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被6整除

8.已知la=2024x+202Lb=2024x4-2022,c=2024x4-2023,则M+/+c2—-ac—be的值是

（）

A.0B.1C.2D.3

9.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+9

10.若已知正实数a,b满足a2+/=i2,其中。是正实数，b是a的小数部分，则/一/二（）

A.9B.27C.yD.y

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.已知％-y=5,则/一y2一］oy的值是.

12.分解因式：/+2/+/_1=_.要求因式中任意一项的系数都是有理数.

13.已知：x+y=-5,xy=2,])[\\x4y2+x2y4=；

14.分解因式：Q/_9a=.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法.但有更多的多项式只用上述方法就无法分

解，如％2—4、2一2%+4y,我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公

因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过

程如下：

x2-4y2—2%+4y

=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y—2).

i文种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式：x2-2xy+y2-16

(2)x+y=7,x-y=5.求/-产-2y+2x的值.

16.(本小题8分)

阅读：分解因式/+2%-3.

解：原式=x2+2x+l—1—3

=(x2+2x+1)—4

=(x+I)2-4

=(x+1+2)(x+1-2)

=a+3)a-1)

此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方

法”，此题为用配方法分解因式.

请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列M题：

分解因式：

(l)4a2+4a-15；

(2)2a2+4a-6.

17.(本小题8分)

一个两位数的十位上的数为a,个位上的数为b,这个两位数记作ab；一个三位数的百位上的数为工,十位

上的数为y,个位上的数为z,这个三位数记作孙z.

(l)(ab+ba)能被11整除吗？请说明理由;

(2)小明发现：如果Q+y+z)能被3整除，那么由z就能被3整除请补全小明的证明思、路.小明的证明思路:

因为xyz=①=@+(x+y+z),又因为代数式②，(%+y+z)都能被3整除，所以xyz能

被3整除.

18.(本小题8分)

因式分解：

(l)x2y-4xy2+4y3；

(2)(2a4-b)2-(a+2b)2

19.(本小题8分)

甲、乙两个同学分解因式2/+以+/)时，甲看错了a,分解结果为2(%-1)。-9)；乙看错了4分解结

果为2(%-2)(x-4),请将原多项式分解因式.

20.(本小题8分)

如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为厂的四个小圆孔.若R=8.6cm,r=0.7cm,请你利用因式分解

的方法计算出剩余钢板的面积.(兀双3)■

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由题意易得“2—b=(%+3)(%—2)=/+%一6,

•••a=-1,b=-6,

・首丽F=3；

则4的值为3.

la

故选：D.

由题意易得/-。%+匕=(%+3)。-2),然后可得a、b的值，进而问题可求解.

本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.

2.【答案】R

【解析】【分析】

本题考杳了多项式的乘法和因式分解的概念，解题的关键是明确因式分解后两多项式相等.运用多项式乘以

多项式的法则求出(％+1)(%-3)的值，对比系数可以得到a,b的值.

【解答】

解：•••(％4-1)(%—3)=%2—3x+x-3=%2—2x—3,

22

Ax4-ax+b=x—2x—3,

Aa=-2,b=—3.

故选8.

3.【答案】D

【解析】解：由条件可知％2-(m+2)%+16=(±4)2,

2

即X?一(7n+2)x+16=x±8x4-16,

十2=±8»解得机=6或〃i=-10.

故选：0.

根据完全平方公式(a±力尸=a2-2ab+b即可得解.

本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查的是用公式法分解因式的有关知识，能用平方差公式分解因式的条件：是两项；这两项的符

号相反，并且都是完全平方数.由题意对各个选项进行逐一分析即可求解.

【解答】

解：A.M+4y2,不能利用平方差公式进行分解，故A错误；

Rx-2/4-l,不能利用平方差公式进行分解，故A错误；

C.-x2+4/,符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；

。.-%2—4y2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误.

故选C

5.【答案】B

【解析】略

6.【答案】D

【解析】解：原式=(416+1)(416-1)

=(416+1)(48+1)(44+1)(44-1)

=(416+1)(48+1)x(44+1)(42+1)(42-1)

=(416+1)(48+1)x(44+I)xl7x15.

则这两个数是15和17.

故选：D.

先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数.

本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型.

7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由

平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到(2n-1尸-25=4®-3)(n+2)即可确定答案，熟

练掌握因式分解的方法是解决问题的关键.

【详解】解：；(2〃-1)2-25

=(2n—I)2—52

=(2n—1-5)(2〃-1+5)

=(2n—6)(2n+4)

=4(n-3)(n+2),

.••对任意整数几，(2八一1/一25都能被4整除，

故选：B.

8.【答案】D

【解析】解：•••Q=2024%+2021,b=2024x+2022,c=2024%+2023,

a-b=2024x+2021—2024A:-2022=—1,b—c=2024x+2022—2024%—2023=-1,a—c=

2024%+2021—2024x-2023=-2,

:.a2+b2+c2-ab-ac-be

1

=5(2a2+2b2+2c2—2ab—2ac—2bc)

1

=5[(a2-2ab+b2)4-(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]

1.

=x[(a-b)?+(b—c)?+(a—c)2]

乙

=1[(-l)2+(-l)2+(-2)2]

=3,

故选：D.

先根据已知条件式得到a-b=-l,b-c=-l,a-c=-2,再把原式变形为+2匕？+2c?-

2ab-2ac-2屁)，最后利用完全平方公式求解即可.

本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关犍要明确：因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解

将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过区式分解将式

子变形，然后再进行整体代入.

9.【答案】D

【解析】解：4、/+%+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；

B、/+2%-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故8错误；

C、/-I不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；

_6x+9=(x-3/，故。正确.

故选：0.

根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用

排除法求解.

本题考查了用完全平方公式法进行因式分解，掌握完全平方公式的式子特点是解题关键.

10.【答案】D

【解析】解：•••。2+炉=12,b是a的小数部分,

.•.设Q=几+m,其中〃是a的整数部分，m是。的小数部分，

•••(n+m)2+m=12,

•••n2+2nm+2m2-—12,

利是a的小数部分，

A0<TH<1,

:.0<7712<1,

:.0<2m2<2,

•••"是正整数，

・••》是正整数，

，只有当彦=9,271m+2m2=3时，/+2mn+27n2=12成立，

•••n=3,

：•6m+2m2=3,解得，m=一言不,

r,-3+e3+/T5.-3+K

:./一〃=(Q—6)(。2+ab+b2)

3

=3x(12+引

81

=T*

故选：D.

根据小+匕2=12,其中Q是正实数，b是a的小数部分，可以得到a、b的值，进而求得所求式子的值.

本题主要考查代数方程的求解、整数与小数部分的关系，以及代数式变形的能力.关键在于将题目中的条

件转化为方程，并通过合理的代数运算找到答案.

11.【答案】25

【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，把/—y2—10y变形为a—y)Q+y)—10y,将％-丫二

5代入，整理后再次代入即可.

【详解】解：vX-y=5,

...x2-y2-10y

=(x-y)(x+y)-lOy

=5(%+y)—lOy

=5x+5y-1Oy

=5x-5y

=5(x-y)

=5x5

=25.

故答案为：25.

12.【答案】(/+%+1)(/+%一1)

【解析】解析：x4+2x3+x2-1

=A2(X2+2X+1)-1

=A2(X+1)2-1

=(%2+x)2-I2

=(X2+X+l)(x2+%—1).

这两个二次因式都是有理数域上的不可约多项式.

根据因式分解的意义即可求得答塞.

本题考查因式分解的意义，充分理解题意及因式分解的意义是解题的关键.

13.【答案】84

【解析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知

识点是解题的关键.

先将原式分解为//(/+/),然后再由完全平方公式变形为Qy)2[a+y)2-2%y],最后再代入求值即

可.

【详解】解:x4y2+x2y4=x2y2(x2+y2)=(xy)2[(x+y)2-2xy]=22x[(-5)2-2x2]=84,

故答案为:84.

14.【答案】a(b+3)(匕一3)

【解析】【分析】

此题考查了因式分解.先用提公因式法分解因式，再运用平方差公式分解因式.

【解答】

解：原式=a(b2-9)

=a(b+3)(b—3).

故答案为：Q(8+3)(b—3).

15.【答案】解：(l)x2-2xy+y2-16

=(x-y)?-42

=(x-y+4)(x-y-4)；

(2)x2-y2-2y+2x

=(x+y)(x-y)+2(x-y)

=(x-y)(x+y+2)

由干％+y=7,x-y=5,

则原式=5x(7+2)=45.

【解析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键.

(1)首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可;

(2)首先将前两项以及后两项组合，进而分解因式，再将已知条件带入求值即可.

16.【答案】【小题1】

解：4a2+4a-15

=(4a24-4a+1)-15-1

=(2a+l)2-16

=(2a+l+4)(2a+l-4)

=(2Q+5)(2Q-3)；

【小题2】

解：2a2+4a-6

=2(a2+2a-3)

=2[(a2+2a+l)-3-l]

=2[(a+l)2-4]

=2(a+1+2)(Q+1-2)

=2(a+3)(a—1).

【解^疗】1.

本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

仿照题意得到(2Q+1)2-16,再利用平方差公式分解因式即可；

2.

先把原式提取公因数2,再仿照题意得到2[(a+l)2-4],最后利用平方差公式分解因式即可.

17.【答案】能被11整除，理由见解析；

100x+10y+z,9(1lx4-y).

【解析】解：(1)能被11整除，理由为：

ab+ba=10a+b+10b+Q=ll(a+b),

ab+ba能被11整除.

(2)xyz=lOOx+lOy+z

=99x+x+9y+y+z

=(99x+9y)+(%+y+z)

=9(11%+y)+(x+y+z),

v9(11%+y),(x+y+z)都能被3整除，

•••xyz就能被3整除，

故答案为:100x+10y+z,9(11%+y).

(1)根据给定的运算可表示出Z+£=ll(a+b),即可得证；

(2)根据xyz=100x+10y+z,结合已知条件即可证得.

本题考查了代数式，因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

18.【答案】(1)解：x2y-4xy2+4y3

=y(x2—4xy+4y2)

=y(x-2y)2；

(2)解：(2a+b)2—(a+2b)2

=(2