广东省佛山市南海区某中学2025-2026学年高二年级上册第一次月考数学试卷（含解析）

2025-2026学年广东省佛山市九江中学高二（上）月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点4（1,月），3（2,为）在斜率为门的直线/上，则为一%=（）

R6

A.-73B-Tc岑D.73

2.气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况:

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3表示降雨，4,5,6,7,8,9,0表示不降雨;

再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数:

907966191925271932815458569683

431257393027556481730113537989

据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，〃个绿球,现采用不放回的方式从中依次随机取出2个

球.若取出的2个球都是红球的概率为:，则〃的值为（）

A.4B.5C.12D.15

4.已知4,B,C为随机事件，力与8互斥，8与。互为对立,且P(4)=0.1,P(C)=0.4,则P(AUB)=()

A.0.06B.0.5C.0.6D.0.7

5.先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a,b,贝44,瓦4能够构成等腰三角形的概率是（）

A.T

bc•芸D•卷

6若点M（2,5,4）关于平面。次和x轴对称的点分别为（a,4c）,（d,e,£）,则b+f=（）

A.-9C.1D.9

7.在空间直角坐标系。式卢中，定义：经过点P（%o，y（）,Zo）且一个方向向量为沆=（Q,b,c）（abc工0）的直线/

2

方程为七言=铝=三含，经过点P（x（）,yo，zo）且法向量为五=co）的平面方程为-x0）+-

yo）+w（z-zo）=O,已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P（0,0,l）的直线/方程为］=y=l-z,经

过点P的平面a的方程为x+y+2z-2=0,则直线/与平面a所成角的正弦值为（）

AB

-1lClD•葛

8.直三棱柱^BCA=90°,点。-%分别是为为，&耳的中点,BC=CA=CClt则幽

与力片所成角的余弦值是（）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件4="第一次正面朝上"，事件8="第二次反面朝上”，贝心)

A.4与8互斥B.Z与8相互独立C1与8相等D.P(A)=

10.己知三条直线2%+3y+1=Q,4x-3y+5=0,x4-my-1=0能构成三角形，则实数m可能为()

43

A.——3B.-T4C.7iD.6

11.在四棱锥P-/18CD中，P(-l,-3,3),A(l,0,l),1(0,1,1),1(-130),1(020),则下到结论正确的

有()

A.四边形力8。。为正方形

B.四边形/2CO的面积为C

C.正在而上的投影向量的坐标为(-另,0)

D.点P到平面ABCD的距离为C

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.两条平行直线3%+4y-5=0与QX4-8y-20=0间的距离是____.

13.某电路由4B,C三种部件组成(如图)，若在某段时间内力，B,C

正常工作的概率分别o为kj则该电路正常运行的概率为______.

14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架力8CQ,月8E/的边长都

是I,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子V，N分别在正方形对角线

力。和4”上移动，且CM和8N的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<

72).则当MN的长最小时，平面MMf与平面MN8夹角的余弦值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

己知△ABC的顶点做1,3),边4?上的中线CW所在直线方程为X+y-1=0,边4C上的高8〃所在直线方

程为y=2%+1.

(1)求顶点。的坐标；

(2)求直线8c的方程.

16.(本小题15分)

在平行六面体力BCD-白，Z.AXAD=Z.BAD=Z,AXAB=60°,AB=AD=1,AA}=2,E为A©

与B】Di的交点.

(1)用向量而，AD，标表示荏；

(2)求线段的长；

(3)求异面直线AE与BD所成的角.

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱中，8B]L平面力8C,AB1BC,AB=BC=2,BB1=4,点O,E分别在

棱和棱BBi上，且4)=1,BE=3,/为棱41cl的中点.

(I)求证：B[F1C[D；

(D)求平面C[ED与平面6]6CCi夹角的余弦值.

18.(本小题17分)

新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题FI要求，全部选对得6分，部分

选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2

分；

(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如下表：

选项作出正确判断判断不了(不选)作出错误判断

A0.80.10.1

B0.70.10.2

C0.60.30.1

D0.50.30.2

若此题的正确选项为4C.求学生甲答此题得6分的概率；

(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为l-p(O<

pV1).现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：I.随机选一个选项；D.随机选两个选

项.

①若p且学生乙选择方案I,求学生乙本题得0分的概率.

②若P=2,且学生乙选择方案n,求学生乙本题得4分的概率.

19.(本小题17分)

如图，在正方体力中，AB=1,D^P=AD^(O<A<1).

(1)当瓦R取得最小值时，求;I与cos<不，而G的值.

⑵设8c与平面力遇。所成的角为仇

①若。=[,求入的值;

O

②证明：存在常数/,使得薪+竽为定值，并求该定值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：点火1,月）,8（2,为）在斜率为6的直线/上,

则与卒=g

Z—1

故及一力=

故选：D.

根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解.

本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题.

2.【答案】C

【脩析】解：20组随机数中恰有1天下雨的随机数为:925,815,683,257,027,481,730,537,共8

个，

故未来三天恰有一天降雨的概率为4=0.4.

故选：C.

先求出20组随机数中恰有1天下雨的随机数，再结合频率与频数的关系，即可求解.

本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：一个袋子中有若干个大小质地完仝相同的球，其中有6个红球，〃个绿球，

从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是1

则而流I丽=5解得〃=%负值舍去，

故选：A.

利用占典概型概率计算公式列出方程，能求出〃的值.

本题考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查对立事件的概率公式，互斥事件的概率加法公式，属于基础题.

根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可.

【解答】

解：

因为8与C互为对立事件，且P(C)=0.4,

所以P(8)=1-P(C)=1-0.4=0.6,

又因为力与，是互斥事件，

所以P(4UB)=P(A)+P(ff)=0.1+0.6=0.7.

故选：D.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a,b,易得基本事;牛总数是36,

则如A4能够构成等腰三角形的情况有：

当a=1时，b=4,有1种情况；

当G=2时，b=4,有1种情况；

当&=3时，b=3或b=4,有2种情况；

当a=4时，b=l,2,3,4,5,6,有6种情况：

当a=5时，6=4或b=5,有2种情况；

当G=6时，b=4或b=6,有2种情况.

故要求的概率P=1+1+2.+2+2=7_

故选：D.

根据题意，利用乘法原理求出基本事件总数，按照分类讨论的方法求出。，44能够构成等腰三角形的基

本事件数，利用古典概率公式求解.

本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，属于基础题.

6【答案】A

【解析】解：点M(2,5,4)关于平面Oxz对称的点为(2,-5,4),

点M(2,5,4)关于工轴对称的点为(2,-5,-4),

所以b=-5,f=-4,故匕+/=-9.

故选：A.

根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解.

本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：经过点PQo，yo，Zo)的直线/方程为：=y=1-z,

4

即苧=中=故直线I的一个方向向量为布=(2,1,-1),

又经过点P的平面a的方程为x+y+2z-2=0,即。-0)+(y-0)+2(z—1)=0,

故a的一个法向量为五=(1,1,2),

设直线/与平面所成的角为6,

2xl+lxl+(-l)x2

则sin。=|cos<m,n>|=||=|I=|-

j22+l2+(-l)2-Vl2+l2+22

故选：A.

根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线/与平面a所成角的正弦值.

本题考查平面的法向量的求法及直线的方向向量的求法，用向量夹角的余弦值求直线与平面的夹角的正弦

值，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：,••直三棱柱4道道1-4BC,Z.BCA=90%

.•.以。为原点，C8为x轴，以为》轴，CQ为z轴，建立空间直角坐标系，

••・点。1，%分别是Aa,41cl的中点,BC=CA=CCi，

.•.设BC=C4=CCi=2,

则8(2,0,0),01(1,1,2),4(0,2,。),%(0,1,2),

西=(-1,1,2)，祈=(0,-1,2)，

设BD］与力/I所成角为仇

皿|亦0-前福।_3_0

叫J8s°一时问一V7.76-10-

与力尸i所成角的余弦值为黑.

故选：B.

以。为原点，C8为x轴，。为y轴，CQ为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BDi与/IF1所成

角的余弦值.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

9.【答案】BD

【脩析】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则0=｛正正，正反，反正，反反｝,

4=｛正正，正反｝,8=｛正反，反反｝,=(正反｝,

则户⑷=P⑻=P(AB)=

则有P(4)P(8)=P(48),4与8相互独立，

分析选项：8。正确.

故选：BD.

根据题意，由古典概型公式求出PG)、P(B)和P(AB),分析可得力与8相互独立，分析选项可得答案.

本题考查相互独立事件的判断，涉及互斥事件的定义，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意，若三条直线2x+3y+1=0,4x-3y+5=0,%+my-1=0不能构成三角形,

分3种情况讨论：

①2%+3y+1=0与x+my-1=0平行(或重合)，则2m=3,解得m=1；

②4%—3y+5=0与％+7?iy—1=0平行(或重合)，则4zn=-3,解得小=一不

③三条直线交于同一点，由窗笠:;我,解得d,

代入％+my-1=0,解得m=6.

综合可得：加的值为由等6

故选：AC.

对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解.

本跑考查直线平行的判断以及直线的交点，涉及直线的一般式方程，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查空间向量数量积的计算，空间向量的投影向量，点面距离的向量求法，属于中档题.

根据题意，判断而沆是否相等，AD,荏是否垂直，即可判断出求出siMBAD,

再根据SdBm=2s△48°即可判断8；根据投影向量的定义即可判断C；根据点到平面的距离的向量求法即

可判断D.

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于力，4(1,0,1),3(0,1,1),C(-1,3,0),D(0,2,0),

则屈=(-1,1,0),DC=(-1,1,0),而=(-1,2,-1),

则屈=DC,但而•而=1+2=3,

所以4B//0C且力B=但力8与1。不垂直，

所以四边形ABCD为平行四边形不是矩形，故A错误；

“工n,r>4r»ABAD3

对于4,CQS^DAD=^^=^==-,

所以sin乙BAD=

所以四边形力88的面积为S=2S68o=2x：x故8正确；

对干c,可=(2,3,-2),

则正在而上的投影向量为噂票•接二；(一1,1,0)=(-)[,0)，故。正确；

对于O,设平面18co的法向量为五，且五=(x,y,z),

则有E.竺=7+'=°,令"1,可得y=l,z=l,故可则=(LL1)，

{n-AD=-x+2y-z=0

所以点P到平面的距离为|鬻卜催=6,故。正确.

故选：BCD.

12.【答案】I

【解析】解：3人十4y—5=0与ox+8y—20=0,

则AM卷解得"6,

故ax+8y-20=0,BP3x+4y-10=0,

所求两平行直线距离的距离为嗡詈

故答案为：1.

结合直线平行的性质，求出d再结合平行直线间的距离公式，即可求解.

本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题.

13.【答案】蔡

【解析】解：要使电路正常运行，则需要力正常，两个8至少有一个正常，C正常，

所以电路正常运行的概率为Jx(l-|x1)x|=^.

故答案为：2

要使电路正常，则需要力正常，两个B至少有一个正常，。正常，利用的概率公式求概率即可.

本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解:以8原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(1,0,0),C(0,0,l),尸(1,1,0),£(0,1,0),由CM=BN=a,

得M(含,0,1-令),N(各各0),

则MN=y/a2—\l~2a4-1=J(a-三产+：,

当&=，时，"N取得最小值，此时，M,N为中点、,

取MN的中点G,连接力G,BG,则

由4M=4N,BM=BN,得力G_LMN,BG工MN,

所以乙4GB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，

而出=弓，一5，-»而=T，W，

因此3画画=酷=.

所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是上

故答案为：;.

建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得MN,借助二次函数，求出最小时

对应的。的值，然后找出二面角的平面角，借助向量夹角公式计算求解即可.

本题考查向量法的应用，属于中档题.

15.【答案】解：(1)已知△ABC的顶点4(1,3),

边AB上的中线CM所在直线方程为x+y-1=0,边上的高3〃所在直

线方程为y=2%+l,

则BHJ.71C,C在直线CM上,

设C(m,n),

j京;解得{二/

则

即点C坐标为(一5,6)；

(2)设

斓吟+竽-1=0,解得已一；，即8(一1,一1),

M=2x0+1(yo—1

所以直线8C的方程为y-(-1)=今瑞。+1)，

即7%+4y+11=0.

【解析】(1)根据直线垂直和,点:在线上，设坐标。(犯八)，联立方程组即可求解：

(2)结合(1)先求〃点坐标可得〃与力重合，再利用中点M在直线x+y-1=0±,即可求出4点坐标,

进而得出直线8c的方程.

本题考查了直线方程的计算，属于中档题.

16.【答案】解：(1)在平行六面体-中，^A[AD=^BAD=^A[AB=60°,

AB=AD=1,AA}=2,七为4c[与丛历的交点，

•••由空间向量线性运算法则得：

一一，1—，—,1一一，1一1一

AE=AA1+-y/41Cj=AA।AC=AAyAB-VAD.

乙乙乙乙

__1_1

(2)-AE=AAi+亍而+AD.

・•・由向量数量积性质得：

AE=(西+④而+④硒2

■■*21->21——»2-----»—♦___,_,]_t__,

=AAi+4AB+481)+AA^•AB+44[.而+5而.而

,,1,1,....127

=4+彳+彳+1+1+彳=彳，

・•・线段AE的长为|荏|=店=苧.

(3)•.・由向量数量积性质得：

___]__,]__._,_,

AE-BD=(AAlt+2而+2同)•(而-丽

,….，―1，―---•1---«21----*21----»一，

=AA-AD-AA-AB+^AB-AD-^AB+^AD-^ADAB

X1乙乙乙乙

=AAr-AD-AA1AB-^AB+^AD=0,

:，~AE1前,

••.异面直线4E与8。所成的角为90°.

【解析】(1)结合题意根据向量加注的三角形法则和平行四边形法则即可求解：

(2)由(1)的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可.

(3)利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解.

本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量的数量积公式及模长定义、向量的减法运算及数

量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】(I)证明：由题意知，

因为尸是棱&Ci的中点，所以BiF_L&Ci，

由三棱柱的性质知，

因为BBil平面4BC,平面力BC〃平面48[Ci，所以C*1平面%B]的,

又CC1u平面ACC14,所以平面ACC141平面&B1C1，

因为平面4CGA1n平面48传1=A1C1,BrFu平面世当的,

所以B/1平面4c

又C]Du平面ACCMi，

所以B/lCiD.

(D)解：以8为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C](0,2,4),E(0,0,3),D(2,0,l),

所以反；=(0,2,1),ED=(2,0,-2)，

设平面CiE。的法向量为元=(无,y,z),则伊•吧i=2y+z=0,

(ji-ED=2x-2z=0

取则x=z=2,所以元=(2,—1,2),

易知平面B]8CCi的一个法向量为记=(1,0,0),

设平面C1ED与平面/BCg夹角为仇则cos6=|cos〈元，沅＞|二尚常=言=今

故平面gED与平面夹角的余弦值为今

【解析】(I)先证平面力CC遇1J■平面4/]Ci，由等腰三角形的性质知B/14%,结合面面垂直的性质可

得B/!•平面力CC"i,从而得证；

(H)以8为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成角即可.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理，利用向量法求平面与平面所成角是

解题的关健，考杳空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】0.3072；

皤心

【解析】(1)根据题意，设事件”表示“学生答此题得6分”，

即对于选项4、。作出正确的判断，且对于选项8、。作出正确的判断或判断不了，

所以P(M)=0.8x(0.7+0.1)x0.6x(0.5+0.3)=0.3072；

(2)①根据题意，记E为“学生乙本题得0分”，

对于方案/，若正确答案是两个选项，选错的概率是彳若正确答案是三个选项，选错的概率是去

则P(E)=px[+(l-p)x；=[[+如；=小

②记事件丫为“学生乙本题得4分”，

对于方案U：应该正确答案是三个选项里选对两题，假设“8c为正确项.

故而所有可能为：AB,AC,AD,BC,BD,CO共6种，满足条件的