含参数不等式的解法、恒成立、能成立问题（解析版）-2025-2026学年高一数学上册期中复习专练

第三节含参数不等式的解法、恒成立、能成立问题

【方法技巧】

在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,

方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养.

一、法解决恒成立问题

⑴如图①一元二次不等式。Y+bx+cXXaWO)在R上恒成立o一元二次不等式aY+bx+cXXaWU)的解集为RO二

次函数y=ax2+/xr+c(〃W0)的图象恒在x轴上方0为面>。0"°’

U<0.

MIT

图①图②

(2)如图②一元二次不等式ax2+bx+c<0(aW0)在R上恒成立今一元二次不等式af+bx+cvogwo)的解集为R0二

次函数)，=以2+力x+c'(“H())的图象恒在X轴下方0ymax〈O0{0’

二、数形结合法解决恒成立问题

结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于X轴)关系求解.可

结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

三、分寓参数法解决恒成立问题

通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.

四、主参换位法解决恒成立问题

转换思维角度，即把变元与参数变换位直，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.

五、利用图象解决能成立问题

结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决.

六、转化为函数的最值解决能成立问题

能成立问题可以转化为“Aymm或用勺皿的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取嗔范围.

1

【题型目录】

题型一、“4”法解决恒成立问题

题型二、数形结合法解决恒成立问题

题型三、分离参数法解决恒成立问题

题型四：一元二次不等式在某区间有解问题

题型五：二次函数根分布问题

题型六：含参数的一元二次不等式的解

题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题

【例题详解】

题型一、“/”法解决恒成立问题

【例1】.（25-26高一上•福建宁德•阶段练习）不等式2履2—去一?<。在R上恒成立，则A-的取值范围是（）

8

A.-3<kW—B.-3<k<—C.—3<kW0D.-3<Zr<0

88

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论左=0的情况.

【详解】当左=0时，不等式即-1<0恒成立，满足题意；

8

2k<0

当心。时，贝I」有L,,”八，解得-3<%<0.

卜=匕+3左<0

综上所述，&的取值范围是-3

故选：C

【跟踪训练1】.（25-26高一上•福建厦门•阶段练习）若不等式仆2-“+1之0对任意实数x均成立，则实数〃的取值

范围是（）

A.0<«<4B.0<«<4

C.a<0^a>4D.。<0或。>4

【答案】B

【分析】分。=0和a工0两种情况讨论即可求解.

【详解】若4=0，则0--4X+1=120恒成立，故。=0符合题意，

a>0

若。工0,ar?一ax+i20恒成立，则当且仅当（24/八，解得0<。44,

A=a2-<0

综上，实数。的取值范围是0SaS4.

故选:B.

2

【跟踪训练2】.（22-23高一上•福建福州•阶段练习）已知关于x的不等式为26姓।-8/0对任意xcR恒成立,

则上的取值范围是（）

A.0<Zr<lB.041

C.左<0或4>1D.ZW0或％21

【答案】A

【分析】根据题意，分k=0和4H0两种情况讨论，即可求出％的取值范围.

【详解.】当〃=0时，不等式上产-6h+A+820化为820怛成立，

当A<0时，不等式kx2-6kx+k+^>0不能恒成立，

当〃>0时，要使不等式匕2_6h+女+豆o恒成立，需A=36/—4（42+8A）K0,

解得0</41,

综上所述，不等式小一6h+A+8之。对任意xeR恒成立，攵的取值范围是0«左41,

故选：A.

题型二、数形结合法解决恒成立问题

【例2】.（23-24高一上•山东淄博•阶段练习）若命题T-1W443,以2_（2°-1卜+3-。<0"为假命题，则实数x的

取值范围为()

B.0<x<||

A.{x|-l<x<4)

D.«x-1Wx<0或?<xW4,

C.(x-1<x<0Wc-<x<4­

33

【答案】C

【分析】由题意可得：命题“\/7£。43,公2-（2。-1卜+3-。20"为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求

解.

【详解】由题意可得：命题“V-1W。43Md-（2。-1）X+3-Q20〃为真命题,

即or?-（2a-l）x+3—a=（x，-2x-l）a+x+320对ae[—1,3]T亘成立，

-G2-2X-I）+X+3>05

则,、,解得—IWXWO或9KxK4,

3（r-2x-l）+x+3>03

即实数x的取值范围为1-iVxSO或.

故选：C.

【跟踪训练1】.（25-26高一上•福建度门•阶段练习）已知一元二次方程》2-“a+1=0的两不等实根都在（0,2）内,

3

则实数机的取值范围是()

A.(2,|jB.居)C.(十2]中9D.(--21屋

【答案】A

【分析】设=根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案.

【详解】设/(》)=，-小x+1,开口向上，对称轴为》=-半=',

顶点纵坐标为

2

X-,MA+1=0的两不等实根都在(0,2)内，

0<—<2

2

2

m[A5

则需满足一彳+1<°解得“7W2,-

/(0)=1>0

/(2)=5-2w>0

故选：A

【跟踪训练2】.(22-23高一上•云南红河•阶段练习)已知小«-15，不等式/+(〃?-4川+4-2小>0恒成立，则工

的取值范围为()

A.(-co,i]B.(1,3)C.(-=o,l)c/(3,+oc)D.[1,3]

【答案】C

【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得.

【详解】令/(w)=x2+(/z/-4)x+4-2w=(X-2)//?4-X2-4X+4,

当x=2时，/(m)=0,不满足题意;

/(—I)=_(x_2)+x4x+4>0

当x/2时，由一次函数性质可知，卜,；/\AAa

/(l)=(x-2)+x--4x+4>0

解得x<l或x>3.

故选：C

题型三、分离参数法解决恒成立问题

【例3】.(24-25高三上•河南许昌•期中)VXG(-2,-KO),9+(4-a)x+7-2。NO恒成立，则实数。的最大值为()

A.6B.3C.2百D.6

4

【答案】C

【分析】分离参数变为〃&上+_+7在（_2,+8）上恒成立,利用基本不等式求解最值得〃工2百，即可得解.

x+2

【详解】Vxe（-2,+a））,x?+（4-。卜+7-2。20恒成立，

即f+4x+72a（x+2）在（一2,y）上恒成立，

所以〃4八以+7=卜+2）+3=仅+2卜2_在（-2,+8）上恒成立，

x+2x+2vfx+2

又（x+2）+工之工=28,当且仅当工+2=3,即X=G-2时取等号，

所以。42百，则实数。的最大值为2百.

故选：C

【跟踪训练1】.（24-25高一上•河北邢台•阶段练习）对任意的关于x的不等式（。+2）/-4工+120恒成

立，则4的取值范围为（）

3

A.a>-2B.a>—C.a>2D.a>\

2

【答案】C

14

【分析】参变分离，得到。+22-3十一,再由二次函数求最值即可.

xzx

【详解】由题意得（。+2）/之叙一1,由得/>0,

则。+22竺4r一-l=一二1十4士恒成立.

XXX

令，二』，得"'[1,4],

XX

则二次函数丁=-『+4/=-（/-2『+444,当，=2时，取得最大值，所以a+224,

所以。狗取值范围为。之2.

故选:C

【跟踪训练2】.（24-25高一上•辽宁朝阳•阶段练习）若对任意的不€（1,也），关于x的不等式丁+（4-。）工+920恒

成立，则〃的最大值为（）

A.13B.12C.10D.9

【答案】C

【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到。小于等于关于"的函数的最小值，利用基本不等式求解即可.

Q

【详解】由/+（4-a）x+920,得aWx+N+4对仟意的xt（l.+8）恒成立.

X

5

因为x+2+422j^+4=IO,当且仅当工=^，即x=3时，等号成立,

所以。410,即。的最大值为10.

故选：C.

题型四：一元二次不等式在某区间有解问题

【例4】.（25-26高一上•浙江嘉兴•阶段练习）已知关于x的不等式依2—2X+4Q<0在（0,2］上有解.，则实数。的取值

范围是（

I

A.B.二

【答案】A

2A_2

【分析】用分离参数法变形为-4,然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解.

x+—

X

2x_2

【详解】由题可得"<京工二-4,

XH---

X

12,21

<—t=—4

又因为丫+4一小2,当且仅当》=一，即x=2时取等号，

32kx

又因为不等式ad—2x+4a<0在（0,2］上有解,

\_

所以公故A正确.

2

故选：A.

【跟踪训练2】.（24-25高一上•江西南昌•阶段练习）若关于x的不等式4x>/—5〃在区间［0,4］内有解，则实数

。的取值范围是（）

A.(0,5)B.(1,4)

C.（8,0）55,18）D.（8,1）U（4,Ioo）

【答案】A

【分析】求得V-4x的最大值，由此列不等式来求得，〃的取值范围.

【详解】/一4x=（x-2）2-4,xe［（）,4］,所以当x=0或x=4时，

』-4》取得最大值为0,

由于关于x的不等式——4x>a?-5〃在区间［0,4］内有解,

6

所以八5"0,。（。-5）<0,解得。<”5.

故选：A

【跟踪训练2】.（24-25高一上•湖北荆州•阶段练习）若存在-IKxWl,使4/—2（〃L2）X+3〃?+1>0,则〃?的取值

集合是（）

A.{m|m>-9）B.[m|w<1}

C.{w|-9<m<1}D.{>n\m<-9}

【答案】A

【分析】先求出命题的否定为真时，倒的范围，再求其补集即可.

【详解】命题存在-IMx仕1,使4偏-2(机-2)x+3m+l>0的否定为V-lVxMl,使4--2(/M-2)X+3/M+1£0,

若W-1W1,使4/一2（加一2卜+3川+140为真,

14+2(6-2)+3加+1<0

则4-2(m一2)+3小+1W0所以用<一9.

故若存在一1<x<1,使4/一2（机—2）1+3〃?+1>0则m>-9,

所以机的取值集合是{刈加>-9}.

故选：A.

题型五：二次函数根分布问题

【例5】.（2025高一•全国•专题练习）已知方程产+2用.”+]2=0的两根都大于—2,则实数机的取值范围是（）.

A.m<-4B.-5<m<-4

C.m<-4D.〃?>4或〃?<一4

【答案】C

【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.

【详解】令/（1）=丁+2〃?%一加+12,

因为方程+2〃a-6+12=0的两根都大于-2,

2m

---->-2

2

所以由题意可得）/（-2）=4-4/〃一匹+12>0,解得〃区-4.

A=（2w）~—4（-/w+12）>0

故选：C.

【跟踪训练1】.（24-25高上•河南•阶段练习）已知元二次方程/十（/十][十“一2=0的根比1大，另根比

7

1小，则实数a的取值范围是()

A.{«|-3<6/<1)B.{«|-2<67<0)C.{«|-1<«<0}D.{a|0va<2}

【答案】C

【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.

【详解】记y=/+(〃+1卜+。-2,则函数为开口向上的二次函数，

要使方程的根一个大于1一个小于1,则只需要x=l时，y<0即可，

即1+(i+1)+。一2<(),解.得所以实数a的取值范围是

故选：C.

【跟踪训练2】.(24-25高一上•浙江•期中)关于入•的方程F+g-2卜+5-〃=0有两根，其中一根小于2,另一根大

于3,则实数。的取值范围是()

A.{Q[Q<-5或a>-4}R.{a|-5<a<-4}

C.{a|a<-5|D.[a\a>-4}

【答案】C

【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于〃的不等式组，即可求解.

【详解】设/(x)=/+g_2)x+5—〃，

〃2)<0[4+2(fl-2)+5-a<0

则由题意可知/。)<0,即19+3伍-2)+5-。<0,解得a<-5,

△=5-2)2-4(5-4)>03=(4-2)2-4(5-4)>0

故实数。的取值范围是{a\a<-5}.

故选：C.

题型六：含参数的一元二次不等式的解

【例6】.(25-26高一上•北京延庆•阶段练习)求下列关于x的方程或不等式的解集(其中aeR)

(l)ax=3

⑵--(a+l)x+(7=0

⑶;/—x+a<0

(4)ax2-2ax>x-2(a>0)

【答案】(1)答案见解析

8

⑵答案见解析

⑶答案见解析

⑷答案见解析

【分析】(1)分。=0和。工0两种情况讨论，分别计算可得；

(2)分。=1和。工1两种情况讨论，分别计算可得：

(3)分△<()、△=()、A>0三种情况讨论，分别求出不等式的解集；

(4)依题意可得(如-l)(x-2)20,再分当。=0、“=；、四种情况讨论，分别求出不等式的解

集.

【详解】(1)对于关于X的方程仆=3,

当。=0时，方程无解；当。。0时，解得

综上可得，当4=0时，方程的解集为0；当。工0时，方程的解集为｛[｝；

(2)对于关于x的方程/一(。+1)工+。=0,即(x-a)(x-l)=0,

当〃=1时，解得Xj=x2=1：当Q工1时，解得x,=1x2=a；

综上可得，当Q=1时，方程的解集为｛1｝；当4H1时，方程的解集为｛1,。｝：

(3)对于关于X的不等式3犬-工+。40,

贝必=(_1)2_4乂；4=1-24,

当△<(),即1一2。<0,即时，不等式的解集为0；

22

当△=(%即1-2。=0,即a=；时，原不等式;--工+；40,即:(》-1)匕0,其解集为｛1｝;

当△>(),即1一2白>0,即时，方程-x+a=()的两个根为

22

X)=1—V1—2a,x2=1+—2。9

故不等式:/一》+。40的解集为kll-VTW<x<l+^-2a｝;

综上可得，当时解集为0,当时解集为｛1｝,当时解集为｛X|1-G*KXR+Q/).

乙乙乙

(4)对于关于x的不等式。/一20¥212(。20),BP(ar-l)(x-2)>0,

当。=0时，解得x«2；

当4=3时，原小等式(gx-l)(x—2)2U,即g(x-2『之0,解得XWR；

9

当时，解得X22或XW，；

za

当0<a〈L时，解得xZ，或》K2；

2a

综上可得，当〃=()时解集为｛x|x«2｝；当a=g时解集为R；

当。>工时，解集为“1x22或xK。；当时，解集为｛x|x2,或xW2｝；

zala

【跟踪训练1】.(25-26高一上・江苏泰州•阶段练习)已知关于x的不等式以2+(”1)..|>0.

⑴若。:-2时，求不等式的解集：

⑵若4GR,解这个关于工的不等式；

(3)316(0,+8),。/+(。-1卜一1<@一1卜?+07-3卜+4-7,求。的范围.

【答案】⑴

⑵答案见解析

⑶(2小8)

【分析】(1)代入。=-2,解一元二次不等式得出解集；

(2)结合一元二次不等式的性质，对。分情况讨论得出关于1的解集；

(3)分析已知条件并化简，根据不等式的性质，构造基本不等式求最小值，从而求解。的范围.

【详解.】(1)当。=-2时，一2/-3工一1>0等价于2/+3工+1<0,解得—

・..不等式的解集为：(一1，一；)・

(2)当〃=0时,ax?+("_]卜_]>。等价于-x-l>0,解得x<-l；

当QW0时，ax2+(a-l)x-1=(ax-1)ix+1)=a(x--(c+1)>0,

\aJ

当”>0时，不等式等价于1-£|(x+l)>0\、门、

•.♦一>一1,.•.不等式解集为：(y,-1)u-,+00

a)

当〃<0,a(x-£j(x+l)>0等价于1一：)

x+l)<0,

若即7<。<0时，不等式解集为:

a

若$1,即。<-i时，不等式解集为：L通｝

若'=-1,即4=-1时，(X+1)’<O不成立,

故不等式解集为空集.

a

综卜.，4<-1时-，解集为(一1,一：

ka)

10

a=_l时，解集为0；

时，解集为(Jr)；

。=0时，解集为(H,-1)；

4>0时，解集为(y,T)u(：,+8).

(3),.13xe(0,+oo),aA-2+(a-l)x-l<(rz-1)v2+^/-3)c+a-7,

不等式化简整理得：--奴+2%-〃+6<0,

/.a(x+1)>x2+2x+6

.20,f击

5即工=石一1时取等号,

v(x+l)+川味:烬,当且仅当川二击

x+lT(x

要使不等式〃>(X+I)+等在xe(0.M)上有解.，

只需。大广函数/(X)=(x+1)+缶的最小值即可,

因为/(X)的最小值为2万，

所以。的取值范围是(2世

【跟踪训练2】.(25-26高一上•江苏南京•阶段练习)设工，aeR.

(1)当a=1时，写出关于.*的不等式G-(a+l)x+1>0的解集；

(2)若awO,解关于x的不等式尔_(q+i)x+i<o；

⑶设命题p：玉〉1,X2-(4+1)X+"-2X,若力为真命题，求〃的取值范围.

【答案】⑴{xlx^\}

(2)答案见解析

(3)(-OO,3+2>/2]

【分析】(1)代入。=1，解不等式即可；

⑵分析当。<0时，当0<〃<1时，当a=l时，当。>1时，比较两根大小即可；

⑶根据题意可得到对Vx>l,--(〃+1)工+。2-2、，法一：利用二次函数对称轴与定义之间位置关系和二次函数

图像性质分析求解：法二：分离参数，结合基本不等式求解.

【详解】(1)当"1时，原不等式可化为--2x十1)0,解得“1,

11

故原不等式解集为3

(2)-(a+l)x+l<0,a工0,即(ax-l)(x-l)<0,aw0,

解方程（〃."。（工-1）=0,a/0得x=,或x=1,

a

1

当〃<0时，十<0,则不等式解集为-00,—“，+8）；

当0<。<1时，｝>1,则不等式解集为

当。=1时，-=1,则不等式解集为0；

当4>1时，-<1,则不等式解集为化11,

a\a；

综上，当a<0时，解集为（一8，JD（1,+8）：当0<a<l时，解集为1,：

（1、

当。=1时，解集为0;当。>1时，解集为一」.

(3)因为「P为真命题，故对Vx>l,x~-(i7+l)x+a>-2x,即Y+(l-a)x+420,

法1：当?力，即a<3时，l2+（l-a）+a=2>0,满足；

当，>1,即。>3时，则△=（1-。r-4。=/-6。+140,解得3<a«3+2加，

综上，实数。的取值范围是（-oo,3+2可

法2：因为M+（l-〃）x+aN0,所以/+x2a（x-l）,又x>l,所以x-l>0,

grplx2+x+3（x-1）+22

所以。4----=-——L————L—=x-ld----4，

x-1x-\x-1

又x-14二-+3N3+2拒，当且仅当x—即x=l+及时取

x-1x-l

/2\

所以心士3=3+2区

I1Jmin

所以实数。的取值范围是（一8,2V2+3].

题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题

【例7】.（25-26高一上•江西•阶段练习）（1）若关于x的不等式M+及+2K0的解集为[L4],求小〃的值;

（2）当人=。+2时，关于x的不等式加+6x+2W3-x的解集为R，求。的取值范围；

（3）当人=a+2时，求关于x的不等式ax'+/?x+2K0的解集.

【答案】（1）b=《；（2）[-9,-1]；（3）答案见解析

12

【分析】(1)利用三个二次关系计算参数即可；

(2)消元后利用分类讨论的思想计算即可；

(3)消元后含参分类讨论解不等式即可.

【详解】(1)因为不等式ad+队+240的解集为[1，町,

Q>0

5

所以1+4=—解得〃=1h

a22

1x4=-

(2)当人=4+2时，不等式a—+6x+2W3-x的解集为R，

即不等式a/+(a+3)x—14。的解集为R.

当"0时，3x740的解集不是R,舍去.

a<0

当。工0时，贝匹/.2,八，解得—1.

△=(a+3)+4a<0

故〃的取值范围是卜9,-1].

(3)当b=a+2时，不等式a—+6.K+2W0,即不等式ar+(a+2)x+2K0.

①当〃=0时，不等式ad+(a+2)x+2K0,

即不等式2x+2«0,解得x〈一l.

2

②当awO时，令ad+(Q+2)X+2=0,得1=一一或工=一1.

a

22

当a<0时，则不等式疝+区+240的解集为卜卜4-1或-二卜;

2

当0<a<2时，—<-1，则不等式ai，+6x+2V0的解集为

当。=2时，—*=一1,则不等式”2+云+2K0的解集为｛小=一1｝：

a

22

当a>2时,-->-1,则不等式“+公+2K0的解集为—IW——.

a

2

综上，当。>2时，不等式以，+以+240的解集为--->；

当。=2时，不等式♦+bx+2«0的解集为｛中=-1｝；

当0<”2时，不等式尔+加+2«0的解集为〃-工—《-11；

13

当4=0时，不等式“+加+2K0的解集为｛x卜三-1｝；

当”0时，不等式ax2+8+2W0的解集为%|xW-1或xN-2..

Ia

【跟踪训练1】.（25-26高一上•湖北武汉•阶段练习）设函数/（x）=&+（［_a）x+叱2（4eR）.

⑴若关于x的不等式/（x）WO的解集为［0,可，求实数。，力的值；

⑵若不等式/（x）>-2对于实数aG［T2］时恒成立，求x的取值范围：

⑶解关于x的不等式：

【答案】（l）a=2,6

⑵律

⑶答案见解析

【分析】（1）由题意可得0和b是方程办2+（1-〃•+。-2=0的根，且。>0,进而结合韦达定理求解即可;

（2）转化问题为。，-戈+1）+g0对于实数ac［T,2］时恒成立，进而结合一次函数的性质求解艮］可;

（3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）由题意知，0和人是方程g2+（1一。）工+。-2=0的根，且〃>0,

八，

0+6=--1----4--

所以:,解得〃=2,6

八一

0xbL=-a----2-2

a

(2)由即+(1—a)x+a—2之一2,

即4,7+l）+x20对于实数*卜［2］时恒成立,

-G2-x+l）+x>0

则2（入山）+会。‘解得、“

则x的取值范围为｛1｝.

(3)由/(x)ca-l,则/+(1-a)x-l<0,

当〃=0时，不等式可化为x—1<0,即x<l,解集为{x|xvl},

14

当。>0时，不等式可化为（曲十l）（x—1）<0,不等式的解集为'X—；

当〃<0时，不等式化为（x+J卜—1）〉0,

①当。=-1时,--=1,不等式的解集为卜卜工1｝:

②当-1<”0时，-->1,不等式的解集为。

a

③当"一时/，不等式的解集为、

综上所述，当"-1时，解集为XX

当4=7时，解集为卜卜工1｝；

当-1<。<0时，解集为xx〈l典匕;

当”0时，解集为｛x|x<l｝；

当。>0时，解集为x

【跟踪训练2】.（25-26高一上•广东傍山•阶段练习）已知函数》=如2+。一。口+。（”cR）.

⑴若ox，+（\-a）x+a>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式加+（1-0'+”3。+2；

⑶若存在，使关于x的方程办2+（1一［）"|=小有四个不同的实根，求实数”的取值范围.

【答案】（1）。之3：

（2）答案见解析:

【分析】（1）按〃=（）与。W0分类讨论，利用一元二次不等式恒成立列式求解.

（2）分类讨论求解含参数的不等式.

（3）将问题转化为存在机V-！，使得方程依2+（"04-m=0有两个不同正根，再利用判别式及韦达定理列式求

【详解】（1）不等式L+（l_a）x+a>0对一切实数>恒成立,

当。=0时，不等式xZO对一切实数x不恒成立:

15

a>0

当时，则有〈解得。弓，

△=(1—a)?-4a2<0

所以实数。的取值范围是。2；.

(2)不等式ax'+(1-a)x+q<3。+2oax'+(1-a)x-2(1+a)<0<=>[ax+(q+l)](x-2)<0,

当a=0时，不等式为x-2＜0,解得x＜2；

当。＞0时，不等式为（x+竺1）。-2）＜0,解得—1一,＜工＜2；

aa

当。＜0时，不等式为（x+竺3（工-2）＞0,

a

当」＜"0时，解得x＜2或

3aa

当〃=一,时，-1-』=2,解得x#2；

3a

当〃＜一!时，一1一，＜2,解得x＜7-，或x＞2,

3aa

所以当a=0时，原不等式的解集为“|工＜2｝；

当。＞0时，原不等式的解集为｛X|-1-L＜X＜2｝；

a

当二＜”0时，原不等式的解集为｛x|x＜2或c-1-与；

3a

当。=-：时，原不等式的解集为｛x|x02｝；

当时，原不等式的解集为或丫＞2｝.

3a

（3）关于X的方程+（1-t7）Ix!=/??＜=＞6/|x|2+（1-a）|x|-〃?=0有四个不等实根,

A=(l-a)2+4tzm>0

\—(I八

即方程OX?+（1一〃）》一加=。有两个不同正根再,42，则，再+x,=-------->0

a

tn八

x}x2=----->0

由/〃4-■-,得a＞l,且存在〃?N—,，不等式4a"?I（1af〉。成立,

44

而歹=加用+（1-。）2是关于〃?的一次函数，因此4”（-3+（1-。）2＞0,

4

即/_3。+1＞0,又解得

2

所以实数。的取值范围是Q＞也叵.

2

16

【章节强化练】

一、单选题

1.(25-26高一上•湖北•阶段练习)若命题“*eR,QY—G+IKO，，是假命题，则实数。的取值范围为()

A.{a|O<a<4}B.{a|O<a<4}C.{^|0<«<41D.{aloWO或a>4}

【答案】A

【分析】将已知命题转化为“TxwR,依2一QX+I>O，，，，为其命题，分类讨论，结合判别式符号列不等式求解即可.

【详解】，•命题“*wR,62-ar+lWO"是假命题，，此命题的否定为真命题，

即：命题"VxwR,尔-ax+1〉0"是真命题.

当。=0时，不等式转化为1>0恒成立，则。=0满足题意；

a>0

当。工0时，则有,,解得0<a<4.

a--4Aa<0

综上可知，实数。的取值范围为{加)0。<4}.

故选：A.

2.(24-25高一下•贵州•期中)若不等式—4<2/+2x对任意实数x均成立，则实数小的取值范围是()

A.(-2,2)B.(-14,2)C.(—8,-2)U[2,+8)D.(-14,2]

【答案】D

【分析】根据题意分类讨论〃?=2和町工2,结合二次函数的性质列出不等式即可求解.

【详解】wx2+wx-4<2x2+2x<z>(w-2)x2+(/n-2)x-4<0,

因为不等式对于任意》均成立，

所以当〃?=2时，-4<0,符合题意；

当〃―2时，则〈

综上所述，w<=(-14,2],

故选：D.

3.(22.23高一上•江苏镇江•期中)已知命题P：VxeR,ad+？》一？>。为真命题，则实数。的取值范围是()

*tz10<t/<—>

C.<aa>—■

【答案】D

17

【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可.

【详解】因为命题P：VxeR,仆2+2》+3>0为真命题，所以不等式a?+2x+3>0的解集为R.

若。=（）,则不等式ad+2x+3>0可化为2x+3>0,解得不等式解集不是R；

2

若。工0,则根据一元二次不等式解集的形式可知：:口八，解得

△=2'-12a<03

综上可知：。

故选：D.

4.（24-25高一■上•云南临沧・期中）已知命题〃:VxeR.机x，++120为真命题，则/〃的取值范围是（）.

A.[m\m>4}B.{m\m>4}

C.<m<4}D.{/M|O<ni<4）

【答案】D

【分析】命题〃：VxeR,mV+mx+lNO为真命题，所以不等式心？十心十1N0的解集为R.分类讨论，结合二次

函数知识计算即可.

【详解】因为命题P：DxeR,+mx+l20为真命题，

所以不等式mx?+wx+120的解集为R.

当初=0时，1N0恒成立,满足题意；

m>0

当〃?工。时，由题意得2/,八，解得0<m《4,

nr-4m<0

故”的取值范围为04m44.

故选：D.

5.（24-25高一上•天津•阶段练习）已知命题〃：虫>0,%2一ax+420,命题R,.d+at+l=0,若命题P©都是

真命题，则实数〃的取值范围是（）

A.2<a<4B.-2<a<2C.a<-2^i2<a<4D,a<-2

【答案】C

（4、

【分析1命题〃可利用参变分离法将原问题转化为工+一，结合基本不等式即可求得。的范围，命题g直接

VX）min

利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案.

4

【详解】•・•愿明天即命题夕：近丫>0/+—2。为真命题，

x

（4、

Cl<XH,

IXJmm

18

又x>0,.，.x+22=4,当且仪当》=’,即x=2时，等号成立，

xVxx

：.a<4,

・••命题R,/+av+l=0,为真命题，

.\A=a2-4>0,.\a<-2^a>2,

;命题p，q都是真命题，

.•.aW-2或2W〃W4.

故选：C

6.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)若存在xc；,3,使不等式/-奴+120成立，则实数。取值范围是()

A.-2<a<2B.a^-

2

C.a<—D.-2<.a<>—

33

【答案】C

【分析】令/*)=/一公+1,将问题等价转化为/皿(x)20,xw；,3,然后讨论/(X)的最大值，从而求出。的取

值范围.

【详解】令〃x)=--G+1,对称轴方程为x=],

若存在xe；,3,使不等式/一奴+1之o成立，

等价于/(%)2之0/£p,

当々2=2,时，即a"：时，/(x)z=/〈3)=10—3。20,解得0妻，

2-2423

因为(-oo,gn(-8,学=(-<»,争，所以aw(Y0,争；

当时，即时，解得〃工9，

75

因为(―,-K30)n(-00,—]=0»所以4W0；

因为(f学U0=(-8,号，所以ae(Y0,学.

故选:C.

7.(23.24高二下•天津滨海新•阶段练习)对任意xw[l,2],不等式ad-2x+3a<0恒成立，则实数a的取值范围是

)

19

b-(7

【答案】D

【分析】分离参数后将问题转化为〃，再结合对勾函数的单调性求出/‘（X）的最值即可；

【详解】分离参数得要使对任意不等式"2-2.丫+34<0恒成立，只需二|.

x+3lx+3加

2x2

又因为775一二3,令/（力=尤+士，由对勾函数性质可知，/（x）在口,，3）上单调递减，在［J3,2］上单调递增,

x

又/⑴=4,/（2）所以/（x）皿=4,所以（含［=］