小学六年级比例知识点

小学六年级比例知识点一、比例的基础认知1.比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。它是由两个比值相等的比组合而成的，体现了两个比之间的等量关系。例如：$3:4$和$6:8$，因为$3:4=\frac{3}{4}$，$6:8=\frac{3}{4}$，两个比的比值相等，所以可以组成比例$3:4=6:8$；再如，长方形甲的长和宽分别是$5cm$和$3cm$，长方形乙的长和宽分别是$10cm$和$6cm$，甲的长宽比$5:3$与乙的长宽比$10:6$比值都是$\frac{5}{3}$，因此$5:3=10:6$是比例。注意：判断两个比能否组成比例，核心是看它们的比值是否相等。2.比例的各部分名称在比例中，组成比例的四个数叫做比例的项。其中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。以比例$a:b=c:d$（或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）为例：外项是$a$和$d$，内项是$b$和$c$。可以简单记忆为“两端为外，中间为内”。例如：在比例$3:4=6:8$中，外项是$3$和$8$，内项是$4$和$6$；在比例$\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$中，外项是$5$和$21$，内项是$7$和$15$。3.比例与比的区别和联系类别比比例意义表示两个数相除的关系表示两个比相等的式子组成由两个数（前项、后项）组成由四个数（两个外项、两个内项）组成形式如$a:b$或$\frac{a}{b}$如$a:b=c:d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$联系比例是由两个比值相等的比组成的，比是比例的基础二、比例的基本性质与应用1.比例的基本性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示为：如果$a:b=c:d$（$b$、$d$不为$0$），那么$a\timesd=b\timesc$。例如：比例$3:4=6:8$，外项积$3\times8=24$，内项积$4\times6=24$，二者相等；比例$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，外项积$2\times9=18$，内项积$3\times6=18$，同样相等。特别提示：如果比例的形式是分数形式，交叉相乘的积相等（即“十字交叉法”），这是比例基本性质的另一种体现，也是解决比例问题的常用方法。2.比例基本性质的应用（1）判断两个比能否组成比例方法：分别计算两个比的比值，或计算两个比“外项积”与“内项积”，若相等则能组成比例。例：判断$2:5$和$8:20$能否组成比例？方法一（比值法）：$2:5=\frac{2}{5}$，$8:20=\frac{2}{5}$，比值相等，能组成比例。方法二（积的方法）：外项积$2\times20=40$，内项积$5\times8=40$，积相等，能组成比例。（2）解比例求比例中的未知项，叫做解比例。解比例的依据是比例的基本性质，步骤如下：根据比例的基本性质，把比例转化为“外项积=内项积”的等式；解这个简易方程，求出未知项的值。例1：解比例$3:x=6:8$解：由比例基本性质得$6x=3\times8$→$6x=24$→$x=24\div6$→$x=4$例2：解比例$\frac{x}{4}=\frac{9}{12}$解：交叉相乘得$12x=4\times9$→$12x=36$→$x=36\div12$→$x=3$三、正比例与反比例正比例和反比例是两种重要的数量关系，它们都涉及两个相关联的量，但变化规律和关系不同，是比例应用的核心内容。1.相关联的量两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这样的两种量叫做相关联的量。例如：路程和时间（路程变化，时间也变化）、总价和数量（总价变化，数量也变化）。注意：并非所有相关联的量都成比例，只有当两种量的变化存在“固定规律”时，才成正比例或反比例。2.正比例的意义与判断（1）意义两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表示：如果用$x$和$y$表示两种相关联的量，用$k$表示它们的比值（一定），那么$\frac{y}{x}=k$（一定）。（2）实例与判断方法实例：汽车行驶的速度一定时，路程和时间成正比例。因为$\frac{路程}{时间}=速度$（一定），路程随时间的增加而增加，比值始终不变。判断方法：①两种量是否相关联；②变化方向是否一致（一种量增加，另一种量也增加；一种量减少，另一种量也减少）；③相对应的两个数的比值是否一定。例：判断“单价一定时，总价和数量是否成正比例”？分析：①总价和数量是相关联的量（数量变化，总价也变化）；②变化方向一致（数量越多，总价越高）；③$\frac{总价}{数量}=单价$（一定），因此成正比例。3.反比例的意义与判断（1）意义两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母表示：如果用$x$和$y$表示两种相关联的量，用$k$表示它们的乘积（一定），那么$x\timesy=k$（一定）。（2）实例与判断方法实例：长方形的面积一定时，长和宽成反比例。因为$长\times宽=面积$（一定），长随宽的增加而减少，乘积始终不变。判断方法：①两种量是否相关联；②变化方向是否相反（一种量增加，另一种量减少；一种量减少，另一种量增加）；③相对应的两个数的乘积是否一定。例：判断“总路程一定时，速度和时间是否成反比例”？分析：①速度和时间是相关联的量（速度变化，时间也变化）；②变化方向相反（速度越快，时间越短）；③$速度\times时间=总路程$（一定），因此成反比例。4.正比例与反比例的区别对比项目正比例关系反比例关系相关联的量的变化方向一致（同增同减）相反（一增一减）核心规律比值（商）一定乘积一定字母表达式$\frac{y}{x}=k$（一定）$x\timesy=k$（一定）实例工作效率一定，工作总量与工作时间工作总量一定，工作效率与工作时间四、比例的实际应用比例在生活和数学问题中应用广泛，常见的有比例尺问题、按比例分配问题，以及利用正、反比例解决实际问题。1.比例尺（1）比例尺的意义图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。它是表示“图上距离”与“实际距离”缩放关系的比例，体现了“缩小”或“放大”的程度。公式：比例尺=图上距离:实际距离或比例尺=$\frac{图上距离}{实际距离}$（2）比例尺的分类①数值比例尺：用数字表示的比例尺，如$1:10000$（表示图上$1cm$代表实际$10000cm$，即$100m$）、$20:1$（表示图上$20cm$代表实际$1cm$，属于放大比例尺，常用于精密零件图）。②线段比例尺：在图上用线段标注出图上距离对应的实际距离，如，表示图上$1cm$对应实际$50km$。（3）比例尺的应用（三大核心问题）解决比例尺问题的关键是统一“图上距离”和“实际距离”的单位，再根据比例尺公式灵活变形计算。求比例尺：已知图上距离和实际距离，直接代入公式计算，注意单位统一后再化简。

例：一幅地图上，北京到上海的图上距离是$12cm$，实际距离是$1320km$，求这幅地图的比例尺。解：统一单位，$1320km=132000000cm$→比例尺=$12:132000000=1:11000000$求图上距离：已知实际距离和比例尺，图上距离=实际距离×比例尺。

例：某操场实际长$100m$，比例尺是$1:500$，求图上长是多少厘米？解：$100m=10000cm$→图上距离=$10000\times\frac{1}{500}=20cm$求实际距离：已知图上距离和比例尺，实际距离=图上距离÷比例尺。

例：一幅零件图的比例尺是$20:1$，图上零件的长是$4cm$，求零件的实际长。解：实际距离=$4\div\frac{20}{1}=0.2cm$（注意：放大比例尺的实际距离比图上距离小）2.按比例分配（1）意义把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法叫做按比例分配。它是“平均分”的延伸，适用于需要按比例分配资源、任务、数量等场景。（2）解题步骤根据比例求出总份数：把比例的各项相加，得到总份数；求出每份的数量：用总数量除以总份数，得到每份是多少；求出各部分的数量：用每份的数量分别乘比例的各项，得到对应部分的数量。（3）实例例1：学校把$120$本图书按照$3:2$的比例分给五年级和六年级，五、六年级各分得多少本？解：①总份数=$3+2=5$（份）；②每份数量=$120\div5=24$（本）；③五年级分得=$24\times3=72$（本），六年级分得=$24\times2=48$（本）。例2：甲、乙、丙三个工程队按$2:3:5$的比例分配一项$1000$万元的工程任务，各队分得多少万元？解：①总份数=$2+3+5=10$（份）；②每份=$1000\div10=100$（万元）；③甲队=$100\times2=200$（万元），乙队=$100\times3=300$（万元），丙队=$100\times5=500$（万元）。3.用正、反比例解决实际问题（1）解题核心先判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，再根据正、反比例的意义列出比例（或方程）求解。（2）解题步骤找出题目中两种相关联的量，明确它们的变化关系；判断这两种量成正比例还是反比例（看比值一定还是乘积一定）；设未知量为$x$，根据正、反比例的意义列出比例（或方程）；解比例（或方程），检验并写出答案。（3）实例例1（正比例应用）：一辆汽车$3$小时行驶$180km$，照这样的速度，$5$小时行驶多少千米？解：①相关联的量：路程和时间，速度一定，成正比例；②设$5$小时行驶$x$千米，列比例：$\frac{180}{3}=\frac{x}{5}$；③解比例：$3x=180\times5$→$x=300$。答：$5$小时行驶$300km$。例2（反比例应用）：一批货物，用载重$4$吨的卡车运，需要$15$次运完；如果用载重$6$吨的卡车运，需要多少次运完？解：①相关联的量：载重量和次数，货物总重量一定，成反比例；②设需要$x$次运完，列方程：$6x=4\times15$；③解方程：$x=\frac{60}{6}=10$。答：需要$10$次运完。五、易错点与解题技巧总结1.常见易错点①混淆“比”和“比例”：比是两个数的关系，比例是两个比的等式，避免出现“$3:4$是比例”的错误表述。②解比例时忘记统一单位：尤其是比例尺问题中，图上距离和实际距离的单位常不一致（如$cm$和$km$），必须先统一单位再计算。③正、反比例判断错误：关键是区分“比值一定”还是“乘积一定”，避免把“变化方向一致”作为判断正比例的唯一依据（如“身高和年龄”相关联但不成比例）。④按比例分配时总份数计算错误：若比例是“连比”（如$2:3:5$），总份数是各项之和，不是两两相加。⑤放大比例尺应用失误：放大比例尺（如$20:1$）中，图上距离大于实际距离，计算实际距离时要用图上距离除以比例尺，避免与缩小比例尺混淆。2.解题技巧①解比例“三步走”：一找（找内项、外项），二列（列外项积=内项积的等式），三解（解方程）。②正、反比例判断“三问”：一问是否相关联