专题1.4 两条直线的平行与垂直（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册原卷版 -

27/28专题1.4两条直线的平行与垂直教学目标1.记住两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题.教学重难点1.重点(1)掌握两条直线平行与垂直的判定方法；(2)能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2.难点(1)利用直线方程的一般式判断两直线的位置关系；(2)理解两直线平行或垂直的判定方法．知识点01两条直线平行（重点）1.两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则；反之，若k1＝k2，则，如图所示.2.如果不重合的两直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是，从而它们互相平行.【知识剖析】探究两条直线平行与斜率的关系l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件有两个：①两条直线的斜率都存在；②这两条直线不重合.【即学即练】1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直2．判断下列直线是否平行,并说明理由.(1)l1:y=2x+k,l2:y=2x+12(2)l1:x+5=0,l2:x-4=0.知识点02两条直线垂直（重点）1.设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，则k1·k2＝；反之，若k1·k2＝－1，则.2.对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥轴，l2⊥轴，所以l1⊥l2.3.若两条直线中的一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两直线垂直.4.已知两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，它们的法向量分别是，法向量互相垂直则两条直线.【知识剖析】两条直线垂直的判定可简述为:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.【即学即练】1．两直线的斜率分别是方程x2+2025x－1=0的两个根，则这两条直线的位置关系是（）A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.重合2．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（

）A．垂直 B．平行C．重合 D．相交但不垂直3．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．知识点03平行、垂直的直线系方程（拓展）1.平行的直线系方程（1）斜率为的直线系方程为为常数，为参数.（2）与定直线平行的直线系方程为，为参数，）.（3）过点，且平行于直线的直线系方程是．2．垂直直线系方程（1）与直线垂直的直线系方程为（为参数）．（2）与定直线垂直的直线系方程为___________（为参数）．（3）过点，且垂直于直线的直线系方程是_____________【即学即练】1．求直线l的方程：（1）过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6=0平行；（2）过点P(1，－1)且与直线2x+3y+1=0垂直.知识点04利用方程的一般式判断两直线位置关系（拓展）1.两条直线平行或重合的判定一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)当B1≠0,B2≠0时,k1=-A1B1,b1=-C1B1;k2=-A2B2,b2=-C2B2;因为l1∥l2,所以-A1B1=-A2B2,且-C1(2)当B1=0,B2=0时,x1=-C1A1,x2=-C2A2;因为l1∥l2,所以-C1A1≠-C综上所述,l1∥l2⇔.(3)仿两直线平行可推导出:l1与l2重合⇔.2.两条直线垂直的判定仿两直线平行的推导方法可得:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔.3.两条直线相交的判定设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若l1与l2相交,则l1与l2不平行且不重合,而l1∥l2或l1与l2重合⇔,故有:l1与l2相交⇔.4利用系数比判断两直线的位置关系设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有:(1)⇔A1A2=B(2)⇔A1A2=B(3)⇔A1B1(4)⇔A1A2【即学即练】1．（23-24高二下·山东济南·期末）直线l1:ax+y−1=0与直线l2A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合2．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（

）A．若，的斜率相等，则，平行B．若，则，的倾斜角相等C．若，的斜率乘积等于，则，垂直D．若，则，的斜率乘积等于题型01两条直线平行的判定【典例1】（23-24高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，其中正确命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线x+2y+1=0平行的是（

）A．2x+y+1=0 B．2x+4y+1=0C．2x−y+1=0 D．2x−4y+1=0判断两条直线平行的方法：(1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1∥l2.(2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.(3)系数比法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0).则有l1∥l2⇔A1A2=B特别地，当两直线斜率都不存在时，两直线要么平行，要么重合.【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）直线与直线的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合【变式2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（

）A．直线l1经过点A0,1,B1,0，直线B．直线l1经过点A−1,−2,B1,2，直线C．直线l1经过点A1,2,B1,3，直线D．直线l1经过点A3,2,B3,−1，直线【变式3】（24-25高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线l1与l2，其中l1①l1的斜率为2，l2过点A1,2②l1经过点P3,3，Q−5,3，l2平行于③l1经过点M−1,0，N−5,−2，l2经过点A．①② B．②③C．①③ D．①②③题型02两条直线垂直的判定【典例】判断所给直线的位置关系:(1)3x-y+m=0与6x-2y+5=0;(2)2x-3y+2=0与3x+2y-1=0.判断两条直线垂直的方法：(1)斜率法：已知l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则l1∥l2；(2)系数法：设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，l1l2⇔A1A2+B1B2=0.【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线l1的倾斜角为45°，直线l2经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线l1与lA．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合【变式2】（23-24高二下·山东济南·期末）直线l1:ax+y−1=0与直线l2A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（

）A．2x−3y−5=0与4x−6y−5=0 B．2x−3y−5=0与4x+6y−5=0C．2x−3y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3y−5=0与6x+4y−5=0题型03根据两直线位置关系求参——斜率法【典例】已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).(1)若l1∥l2,求a的值;(2)若l1⊥l2,求a的值.(1)已知l1∥l2求参数时,应首先考虑斜率是否存在.若存在,则k1=k2,还应排除两条直线重合的情况;若有一条直线斜率不存在,则两条直线斜率都不存在.(2)由l1⊥l2求参数时,既要考虑是否有一直线的斜率存在,又要考虑是否有一直线的斜率为0.【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（

）A．−6 B．73 C．23 【变式2】已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．题型04根据两直线位置关系求参——系数法【典例】已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直.利用直线的位置关系求参数的值(1)利用斜率求解时,要注意根据斜率存在与否分类讨论.(2)利用系数求解时,有两种具体策略:一种是利用系数比构造方程或不等式求解,但此时要注意对分母是否为0进行讨论;另一种是利用各种位置关系与方程系数有关的等价关系式进行求解,此时不需分类讨论,前一种策略对应的条件容易记忆,后一种策略对应的条件较难记忆.【变式1】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（

）A． B． C．1 D．2【变式2】（2025·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（

）A．−6 B．73 C．23 【变式3】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型05求与已知直线平行的直线【典例】（2025·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（

）A．x−y+2=0 B．x−2y+4=0C．x−y−2=0 D．x+2y−4=0根据直线平行求直线方程的方法(1)根据两直线平行，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程.(2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解.【变式1】（24-25高二上·广东江门·期末）过点−2，0与y=x平行的直线方程是（

A．x−y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x+y−2=0【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线l过点(1,0)且与直线m:x−2y+5=0平行，则直线l的方程为（

）A．2x+y−2=0 B．2x−y−2=0C．x−2y−1=0 D．x−2y+1=0【变式3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点A1,4，B3,−2，则经过线段AB的中点，且与直线x−2y+9=0平行的直线的方程为（A．x−2y−8=0 B．x−2y=0 C．2x+y−10=0 D．2x+y−5=0题型06求与已知直线垂直的直线【典例】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线m的方程.(1)m与l平行,且过点(－1,3);(2)

m与l垂直,且m与两轴围成的三角形面积为4.根据直线垂直求直线方程的方法(1)根据两直线垂直，可先确定出待求直线的斜率,再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程.(2)根据平行直线系方程，设出待求直线的方程，再利用待定系数法求解.【变式1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线l经过点P2,−1，且与直线2x+3y+1=0垂直，则直线l的方程是（

A．2x+3y−7=0 B．3x+2y−8=0C．2x−3y−1=0 D．3x−2y−8=0【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（

）A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0【变式3】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知△ABC的三个顶点A(4,−6)，B(−4,0)，C(−1,4)，求：(1)AC边上的高BD所在直线的方程；(2)BC的垂直平分线EF所在直线的方程．题型07利用两直线垂直或平行处理几何问题【典例】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,−1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

1.证明平面几何中的垂直或平行问题对于平面几何中的垂直或平行问题,常构建直角坐标系,将涉及垂直或平行的直线用方程表示出来,于是便可用本节所学的直线平行或垂直的判定方法进行证明.2.判断多边形的形状利用直线的平行或垂直判断多边形邻边是否垂直、对边是否平行,从而确定多边形的形状.【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O0,0，P1,t，Q1−2t,2+t，R−2t,2，其中【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形.一、单选题1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（

）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点A(1,2)，B(−2,3)，则过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为（

）A．3x−y−1=0 B．3x−y−2=0 C．3x+y−5=0 D．3y−x−5=04．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点A3,0，且与直线4x−3y+2=0平行的直线的方程为（

A．4x−3y+12=0 B．4x−3y−12=0 C．3x−4y−9=0 D．3x+4y−9=05．（24-25高二上·河南·月考）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（

）A． B．1 C．或1 D．0或26．（24-25高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.(2025辽宁沈阳高二上联考)已知点A．B．C．D．8．（2024高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（）A．矩形 B．菱形C．等腰梯形 D．直角梯形二、多选题9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线l1:x+my−1=0,lA．若l1/l2，则m=−1或m=3 B．若l1C．若l1⊥l2，则m=−110．（24-