专题02 空间向量及其运算（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

8/19专题02空间向量及其运算教学目标1.理解空间向量的基本概念和性质；2.掌握向量加减、数乘及数量积的运算规则及运算律；3.培养类比、分析和计算的能力教学重难点教学重点：掌握空间向量加减、数乘及数量积的运算规则及运算；2.教学难点：理解空间向量的基本概念与性质.知识点01空间向量的概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把的量叫做空间向量，空间向量的叫做空间向量的长度或模；（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量称为单位向量相反向量与向量的向量，称为的相反向量，记为相等向量的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.【即学即练】1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，则或B．若向量是向量的相反向量，则C．在正方体中，D．若空间向量，，满足，，则2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))知识点02空间向量的加法、减法运算1、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即2、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即3、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：（2）加法结合律：【知识拓展】空间向量加法的多边形法则1．当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则:n个向量顺次首尾相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和,即2.由上述法则可推导出：围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如：.【即学即练】1已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的为()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))2．（24-25高二上·河南南阳期中）在长方体中，（

）A． B． C． D．知识点03空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反注意：当时，；当时，若，则．3．数乘向量的运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即学即练】1.计算:⑴；⑵知识点04共线向量与共面向量1．共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是(4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【即学即练】1.已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（

）A． B． C． D．2.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．3.在下列命题中：①若向量共线，则所在的直线平行；②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.⑤若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3知识点05空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2.常用公式：(a，b为非零向量)①垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.②模长公式：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③夹角公式：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).3、数量积的运算性质：（1），.（2）(交换律)．（3）(分配律).【即学即练】1．（25-26高二上·浙江金华·阶段练习）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2016高二·全国·课后作业）已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则．3.如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直．题型01空间向量的有关概念【典例1】下列命题中正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空间任意两个向量共面 D．若a→∥b→【典例1-2】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列关于空间向量的说法正确的是（

）A．零向量是任意直线的方向向量B．方向相同的两个向量是相等向量C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.【变式1-1】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②在正方体中，必有；③若空间向量满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（）A．与是一对相反向量B．与是一对相反向量C．与是一对相反向量D．与是一对相反向量【变式1-3】下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系C．向量的模是一个正实数D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合题型02空间向量的线性运算【典例2-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体中，M是的中点，点N是CA₁上的点，且用表示向量的结果是（

）A．B．C．D．【典例2-2】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（

）A． B．C． D．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.【变式2-1】平行六面体中，，则实数的值为（

）A．1 B． C．2 D．3

【变式2-2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（

）

A． B． C． D．题型03共线向量定理的应用【典例3-1】（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（

）A．5 B． C．3 D．【典例3-2】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．【变式3-1】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【变式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、题型04共面向量及应用【典例4-1】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【典例4-2】在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3 1．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．【变式4-1】（多选）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．题型05空间向量的数量积【典例5-1】在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．【变式5-1】已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（

）A．1 B． C．2 D．【变式5-2】已知为正方体，下列说法正确的是（

）A．B．C．向量与向量的夹角是D．正方体的体积为题型06求两向量的夹角【典例6-1】（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）空间四边形中，，则的值是（

）A． B． C． D．01、求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．【变式6-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为．【变式6-2】（25-26高二上·海南三亚·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（

）.A． B． C． D．题型07求线段的长度或向量的模长【典例7-1】（25-26高二上·广东·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【典例7-2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，，，则（

）.

A． B． C． D．空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。【变式7-1】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．【变式7-2】在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为.题型08证明线线垂直【典例8】如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（

）A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.【变式8】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．题型9利用空间向量求异面直线所成的角【典例9】（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）在正三棱锥中，，D，E分别是棱的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．利用空间向量求异面直线所成角的方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量的夹角，再利用向量夹角公式求解，但要注意的是异面直线所成的角不能为钝角，故当两向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角为其补角.【变式9-1】（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【变式9-2】（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）在直三棱柱中，，二面角的大小为，点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，则直线与直线所成角的正切值为（

）A．2 B． C． D．一、单选题1.（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（

）A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底2．若空间任意一点和不共线的三点有关系式，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．四点共面3.（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（

）A． B．C． D．4．已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（

）A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能5．（25-26高二上·浙江金华·阶段练习）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（

）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为（

）A． B．10 C． D．348．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．下列命题是假命题的是（

）A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面