最优化问题-四年级奥数培优讲义（解析版）

第05讲最优化问题

=【学习目标】

1.理解概念：初步理解“最优化”的含义，即在解决问题时，通过合理安排和规划，达到“时间

最少”、“效率最高”、“用料最省，，或“费用最低”等目标。

2.分析关键：学会分析问题中的关键因素，如哪些事情可以同时进行，如何合理分配资源（如

时间、空间、人力等）。

3.掌握方法：掌握解决常见最优化问题（如烧水、煎饼、收割、过河等）的基本思路和方法。

4.解决问题：能够运用所学方法解决简单的实际最优化问题，培养逻辑思维能力和解决问题

的能力。

知识梳理

知识点一、烧水问题（时间优化）

1.核心思想：在等待某项任务完成（如烧水）的同时，合理安排做其他事情，以达到节省总

时间的目的。关键在于“同时进行”。

2.例题特点：通常涉及一系列需要完成的任务，其中某项任务耗时较长，且在其进行过程中

可以穿插进行其他耗时较短或不需要持续关注的任务。

3.解题关键：

（1）明确各项任务的先后顺序和所需时间。

（2）找出耗时最长的“主线”任务（如烧水）。

（3）将其他可以在“主线”任务进行期间完成的任务安排在这段时间内进行。

4.解题步骤（示例）：

（1）例：小明要烧水（10分钟），同时需要洗杯子（2分钟）、找茶叶（1分钟）。最快多

久能喝到水？

（2）分析：烧水的10分钟内，可以同时洗杯子和找茶叶。

（3）解答：最少需要10分钟。

5.方法总结：优先处理耗时最长的任务，并将其他可并行的任务安排在其执行期间，从而缩

短总时间。

知识点二、煎饼问题（资源利用与时间优化）

1.核心思想：在煎饼时，充分利用锅的容量（通常是一次能放几张饼），合理安排煎饼的顺

序和翻面，以达到在最短时间内煎好所有饼的目的。

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2.例题特点：已知锅每次最多能煎a张饼，煎熟一张饼需要煎两面，每面需要b分钟，问煎

n张饼最少需要多少分钟？

3.解题关键：

（1）尽量让锅每次都放满饼（除非剩下的饼不足一锅）。

（2）合理安排饼的翻面和取出，避免空锅等待。

4.解题方法与公式（针对一次最多煎2张饼的情况，这是最基础也是四年级最常见的）：

（1）当n=l时：时间=2b（正反面各一次）。

（2）当n[2时:

①如果每次能煎2张饼，每面时间b分钟，那么煎熟n张饼最少需要的时间=nxb（前提

是nN2,且每次锅里都有2张饼在煎）。

②解释：因为2张饼同时煎，每面b分钟，2张饼共需2b分钟，相当于1张饼b分钟。所

以n张饼（n>2）就是nxb分钟。

③经典“3张饼”问题：先煎1号饼正面和2号饼正面（b分钟），然后拿出2号饼，放入3

号饼正面，同时1号饼煎反面（b分钟），此时1号饼熟。最后煎2号饼反面和3号饼反面

（b分钟）。总共3b分钟，符合nxb公式（3xb）。

5.方法总结：对于一次煎2张饼的问题，记住公式：总时间=饼的张数x每面所需时间（n

>L当n=l时为2b,可视为特殊情况单独记忆，或理解为1x2b）。核心是保证锅的利用率最

大化。

-*-知识点三、收割问题（多人/多机器协作效率优化）

1.核心思想：多个劳动者（或机器）共同完成一项任务（如收割庄稼、加工零件等），如何

合理分配工作，使得在最短时间内完成任务，或者在规定时间内完成最多任务。

2.例题特点：通常会给出每人/每台机器的工作效率（如每小时收割几亩地），以及总的工作

量，求最少需要多少人/机器，或求几人/机器合作需要多少时间。或者是不同效率的人/机器

如何组合最优化。

3.解题关键：

（1）明确工作总量、单一效率、参与人数/机器数、工作时间之间的关系。

（2）基本公式：工作总量=效率x时间x人数（或机器数）。（有时效率是“每人每小时”，

则公式为工作总量=每人每小时效率x人数x时间）

（3）当涉及到不同效率的人时，可能需要考虑让效率高的人承担更核心或更多的工作。

4.解题步骤（示例）：

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（1）例：一块地有12亩，1个农民1小时能收割2亩。如果要在3小时内收割完，需要几

个农民？

（2）分析：1个农民3小时能收割2x3=6亩。12亩需要12+6=2个农民。

（3）解答：需要2个农民。

5.方法总结：灵活运用工作总量、效率、时间、人数（机器数）之间的关系。对于多人协作，

通常先计算单位效率下的总工作量，再进行分配。

-：去知识点四、过河问题（安全与效率优化）

1.核心思想：一群人要过河，只有一条船，船有最大载人数限制，且划船需要人（通常需要

有人把船划回来）。如何安排过河顺序和划船人员，使得所有人过河的总时间最短（或次数

最少）。

2.例题特点：已知人数、船的最大载人数、每个人划船过河所需的时间（或所有人划船速度

相同，只考虑次数）。

3.解题关键：

（1）让划船最快的人（或其中之一）承担来回划船的任务，以节省往返时间。

（2）每次过河尽量载满（除非剩下的人数不足一船）。

（3）考虑“送船人”的安排，即谁划船回来接剩下的人。

4.解题步骤（示例，假设所有人划船速度一样，或只考虑次数）：

（1）例：3个人要过河，船每次最多载2人，需要几趟才能全部过河？（一趟指一个单程）

（2）分析：

①第一趟：2人过去，1人划船回来。（此时1人已过河，2人在对岸，1人划船回原岸）

②第二趟：剩下的2人一起过去。

③总共需要3趟（过去、回来、过去）。

（3）更复杂情况（考虑时间）：如A、B、C、D四人过河，船每次最多2人，A需1分钟，

B需2分钟，C需5分钟，D需10分钟。

①策略：让最快的A和B先过，A回；然后让最慢的C和D一起过，B回；最后A和B一

起过。总时间：2+1+10+2+2=17分钟。

5.方法总结：遵循“快者往返，慢者同船”的原则。即让划船最快的人负责接送，让两个划船

最慢的人一起过河，以减少慢人单独过河的次数，从而节省总时间。

-■-知识点五、其他最优问题（如：购物省钱、资源分配等）

1.核心思想：这类问题涉及的情境更广泛，核心仍是“选择最优方案”。可能包括：

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2.购物省钱问题：比较不同的促销方案（如买几送一、满减等），选择最省钱的购买方式。

3.简单资源分配问题：将有限的资源分配给不同的对象，以达到某种目标的最大化（如利润

最高、产量最大等）或最小化（如成本最低）。

4.解题关键：

（1）购物省钱：分别计算不同方案所需的费用，然后进行比较，选择费用最低的方案。注

意考虑“单价”、“数量”以及“优惠条件”。

（2）资源分配（简单）：尝试不同的分配方案，计算每种方案的结果，选择最优的那个。

四年级通常不涉及复杂算法，以尝试法和比较法为主。

5.例题（购物省钱）：某种饮料5元一瓶，买4送1。小明想买10瓶，最少花多少钱？

（1）分析：买4送1,即付4瓶的钱得5瓶。10瓶里面有2个5瓶。

（2）所以只需买4x2=8瓶，送2瓶，共10瓶。花费8x5=40元。

6.方法总结：针对不同情境，具体问题具体分析。多思考几种可能的方案，通过计算和比较，

选出最佳方案。培养“多方案比较”的意识。

唱例题讲解

唱一、烧水问题（时间优化）

【例题1】小明想喝热牛奶，他需要做以下几件事：烧开水（10分钟），洗杯子（2分钟），

取牛奶（1分钟），热牛奶（5分钟，热牛奶需要在水开后进行）。小明最少需要多少分钟才

能喝到热牛奶？

【答案】15分钟。

【解析】首先烧开水（10分钟）。在烧水的10分钟内，小明可以同时洗杯子（2分钟）和取

牛奶（1分钟），这两件事共耗时2+1=3分钟，完全可以在烧水的10分钟内完成。水开后，

再热牛奶5分钟。总时间为：10+5=15分钟。

【分析】本题关键在于“烧开水”这个过程耗时最长，且在等待水开的时间里，可以合理安排

洗杯子和取牛奶这两项不需要用到开水的任务。热牛奶必须在水开之后，所以只能放在最后。

易错点是容易将所有时间简单相加：10+2+1+5=18分钟，而忽略了可以并行处理的部分。

【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需

要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。为了使客人早点喝上茶，小明应该怎样

合理安排？最少需要多少分钟？

【答案】最少需要16分钟。

【解析】洗水壶（1分钟）：这是准备工作的第一步，必须先做，没有水壶无法烧开水。

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烧开水（15分钟）：在烧开水的这15分钟内，小明可以同时做其他事情，因为烧开水不需

要一直盯着。

同时进行：洗茶壶（1分钟）、洗茶杯（1分钟）、拿茶叶（2分钟）。这三件事总共需要1+1+2

=4分钟，完全可以在烧开水的15分钟内完成。

总时间：洗水壶的1分钟+烧开水的15分钟=16分钟。

【分析】本题的关键在于“烧开水”是耗时最长的环节，且在烧开水的过程中，小明有空闲时

间去完成其他准备工作（洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶）。这些准备工作不需要用到正在烧开水

的水壶，因此可以并行处理。如果一件件单独做，总时间会是1+15+1+1+2=20分钟，而合理

安排后只需16分钟。核心是找出可以并行处理的任务。

嚏二、煎饼问题（资源利用与时间优化）

【例题1】一个平底锅每次最多能煎2张饼，每张饼需要煎两面，每面煎2分钟。煎3张饼

最少需要多少分钟？

【答案】6分钟。

【解析】第1-2分钟：煎饼A正面和饼B正面。

第3-4分钟：煎饼A反面和饼C正面。（饼A煎好）

第5-6分钟：煎饼B反面和饼C反面。（饼B、C煎好）共3张饼，每面2分钟，总时间3

面x2分钟/面=6分钟。

【分析】本题关键在于当饼的数量不是锅容量的整数倍时（3不是2的整数倍），如何巧妙

安排，使锅在每一个单位时间内都尽可能充分利用（即每次尽量煎2面）。如果简单地两张

两张煎，会需要8分钟（先煎A、B两面4分钟，再煎C两面4分钟），但通过上述“交替煎”

的方法，节省了2分钟。

【例题2】妈妈用平底锅煎饺子，每次最多煎4个饺子，每个饺子要煎2分钟（每面1分钟）。

煎10个饺子最少需要多少分钟？

【答案】5分钟。

【解析】10个饺子，共20个面。每次能煎4个面。

总时间=（20面-4面/次）x1分钟/面=5次x1分钟=5分钟。

具体安排（部分示例）：

1分钟：饺子1-4正面

1分钟：饺子1-4反面一1-4完成（2分钟）

1分钟：饺子5-8正面

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1分钟：饺子5-6反面，饺子9-10正面

1分钟：饺子7-8反面，饺子9-10反面-5-10完成（5分钟）

【分析】本题进一步巩固“总面数+每次可煎面数x每面时间”的公式。10个饺子，锅容量4个，

不是整数倍，但通过合理组合，依然可以达到理论上的最少时间。

【例题3】一只平底锅每次最多煎2张饼，煎1张饼的1面需要3分钟（两面都要煎）。请

问煎2026张饼最少需要多少分钟？

【答案】最少需要6078分钟。

【解析】每张饼需煎2面，每面3分钟，故1张饼单独煎需3x2=6分钟；但2张饼同时

煎，每面3分钟，两面共需3x2=6分钟。2026张饼为双数，可直接按“每次煎2张”分组，

每组2张饼同时煎，总组数为2026+2=1013组。每组2张饼煎制时间为6分钟（两面各

3分钟），故总时间为1013x6=6078分钟。

【分析】双数张饼无需“交叉煎制”，因每次可煎2张（锅无空闲），直接分组煎制即可。若

分开煎1张饼需6分钟，2026张单独煎需2026x6=12156分钟，而分组后利用锅的最大

容量（每次2张），总时间减半，为6078分钟。

关键：当饼数为双数且每次最多煎2张时，总时间=（饼数（2）x每面时间x2（两面）。

唱三、收割问题（多人/多机器协作效率优化）

【例题1】小明、小红、小李、小王四个人同时到一个农机站使用一台收割机收割庄稼。他

们各自的庄稼地需要收割的时间分别是：小明5小时，小红3小时，小李2小时，小王4小

时。请安排合理的收割顺序，使他们四人花在等待和收割上的总时间最少。这个最少的总时

间是多少小时？

【答案】最少需要30小时。

【解析】按“用时短优先”原则，收割顺序应为：小李一小红一小王一小明。

小李：第一个收割，无需等待。总时间=自己的收割时间=2小时。

小红：需等待小李收割完（2小时），再加上自己的收割时间（3小时）。总时间=2+3=5小

时。

小王：需等待小李和小红收割完（2+3=5小时），再加上自己的收割时间（4小时）。总时间

=5+4=9小时。

小明：需等待小李、小红、小王收割完（2+3+4=9小时），再加上自己的收割时间（5小时）。

总时间=9+5=14小时。

总时间=小李总时间+小红总时间+小王总时间+小明总时间=2+5+9+14=30小时。

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【分析】四人的总时间由“每个人的等待时间+自己的收害IJ时间”组成。等待时间=前面所有人

的收割时间之和。因此，总时间可表示为：

总时间=小李时间+（小李+小红）时间+（小李+小红+小王）时间+（小李+小红+小王+小

明）时间

=2+（2+3）+（2+3+4）+（2+3+4+5）

=2+5+9+14=30小时。

【例题2】小明、小红、小华三人同时去医务室找李医生看病。小明打针要5分钟，小红换

纱布要3分钟，小华点眼药水要1分钟。李医生如何安排治疗顺序，才能使他们三人留在医

务室的总时间（治疗时间+等候时间）最少？最少总时间是多少？

【答案】治疗顺序：小华一小红一小明；最少总时间：14分钟。

【解析】要使总停留时间最少，同样按“用时短的优先”。顺序：小华（1分钟）一小红（3

分钟）一小明（5分钟）

小华停留时间：1分钟（治疗时间，无等待）

小红停留时间：等待小华的1分钟+自己治疗3分钟=1+3=4分钟

小明停留时间：等待小华和小红的1+3=4分钟+自己治疗5分钟=4+5=9分钟总停留时

间：1+4+9=14分钟。

【分析】总停留时间是每个人从进入到离开的时间之和。让治疗时间短的人先治疗，可以显

著减少其他人的等待时间，从而降低总停留时间。

【例题3】一个维修师傅要修理5台机器，每台机器的修理时间分别是12分钟、8分钟、18

分钟、6分钟、10分钟。每台机器停产一分钟都会造成一定的经济损失。为了使总的停产损

失最小（即所有机器的停产时间总和最少），师傅应按怎样的顺序修理机器？最少的总停产

时间是多少分钟？

【答案】按6分钟—8分钟一10分钟一12分钟T8分钟的顺序修理；最少总停产时间是158

分钟。

【解析】要使总停产时间最少，即按修理时间从短到长的顺序修理。最优顺序为：6分钟一8

分钟一10分钟一12分钟一18分钟（假设这五台机器分别为A、B、C、D、E）。

总停产时间=各机器停产时间之和（每台机器的停产时间为从它出故障等待到修理完毕所用

的总时间）。

第一台（6分钟）：6分钟

第二台（8分钟）：6（等待）+8=14分钟

第三台（10分钟）：6+8（等待）+10=24分钟

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第四台（12分钟）：6+8+10（等待）+12=36分钟

第五台（18分钟）：6+8+10+12（等待）+18=54分钟

总停产时间=6+14+24+36+54=134分钟。或者：总等待时间+总修理时间。总修理

时间=6+8+10+12+18=54分钟。总等待时间=0+6+（6+8）+（6+8+10）+（6+8+10+12）=

0+6+14+24+36=80分钟。总停产时间=80+54=134分钟。

【分析】本题将“等待时间”与“经济损失”挂钩，更具实际意义。核心思想依然是通过“最短修

理时间优先”来最小化所有机器的总停产时间（等待+修理）。这与之前的题目逻辑一致，只

是换了一个应用场景。

唱四、过河问题（安全与效率优化）

【例题1】有4个人要过一条河，只有一条小船，船上每次只能坐2个人。已知甲划船最快，

需1分钟；乙次之，需2分钟；丙需5分钟；丁需10分钟。他们最少需要多少分钟才能全部

过河？（注：划船过河时间以慢者为准，且每次过河后需有人把船划回来接其他人）

【答案】17分钟。

【解析】最优步骤：甲和乙先过河（2分钟），甲划船回来（1分钟）。（此时：甲、丙、

丁在左岸；乙在右岸）共3分钟。

丙和丁一起过河（10分钟），乙划船回来（2分钟）。（此时：甲、乙在左岸；丙、丁在右

岸）共12分钟，累计3+12=15分钟。

甲和乙最后一起过河（2分钟）。（所有人到右岸）累计15+2=17分钟。

【分析】本题的关键在于让两个用时最长的人（丙和丁）一起过河，这样他们的总耗时只算

一次（10分钟），而不是分开过河的5+10=15分钟。虽然乙划船回来需要2分钟，但相比甲

分别送丙和丁节省了1+5-2=4分钟。

【例题2】一个农夫带着一只狼、一只羊和一筐白菜要过河。河边只有一条小船，农夫每次

只能带一样东西过河。如果农夫不在，狼会吃掉羊，羊会吃掉白菜。请问：农夫最少需要几

次才能将所有东西安全地带过河？（注：从河的一岸到另一岸算一次，来回算两次。）

【答案】最少需要7次。

【解析】为了保证安全，关键在于不能让狼和羊单独在一起，也不能让羊和白菜单独在一起。

我们可以按以下步骤操作：

第一次：农夫带羊过河。（此时河对岸：羊；此岸：农夫、狼、白菜。安全）

第二次：农夫独自返回。（此时河对岸：羊；此岸：农夫、狼、白菜。安全）

第三次：农夫带狼过河。（河对岸：狼；此岸：农夫、羊、白菜。安全）

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第四次：农夫带羊返回。（此时河对岸：狼；此岸：农夫、羊、白菜。安全）

第五次：农夫带白菜过河。（此时河对岸：狼、白菜；此岸：农夫、羊。安全，因为狼不吃

白菜）

第六次：农夫独自返回。（此时河对岸：狼、白菜；此岸：农夫、羊。安全）

第七次：农夫带羊过河。（此时河对岸：狼、羊、白菜、农夫。全部安全过河）

【分析】本题的核心是“找出关键冲突物”——羊。羊既不能和狼单独在一起，也不能和白菜

单独在一起。因此，羊必须是第一个被带过去，并且在运送其他物品时，需要根据情况将羊

暂时带回，以避免冲突。这体现了“安全第一”的原则。如果不注意这一点，直接带狼或白菜，

就会导致留在岸边的物品发生冲突。整个过程需要多次往返，看似繁琐，但每一步都是为了

保证安全，并最终达到全部过河的目的。这类问题需要学生有清晰的逻辑和耐心，逐步推演。

唱五、其他最优问题（如：购物省钱、资源分配等）

【例题1】学校要为四年级240名学生购买铅笔，每盒铅笔有12支，A商店售价：每盒15

元；B商店售价：每盒16元，但买3盒送1盒。请问，到哪个商店购买更省钱？至少需要多

少钱？

【答案】B商店，至少需要288元。

【解析】A商店：总需求：240支。每盒12支，需要购买盒数：240・12=20（盒）。每

盒15元，总价：20x15=300（元）。

B商店：优惠是“买3盒送1盒”，即付3盒的钱可以得到4盒。4盒共有铅笔：4x12=48

（支）。240支里面有几个48支：240+48=5（组）。每组需付钱购买3盒，所以共需购

买：5x3=15（盒）。每盒16元，总价：15x16=240（元）。

240元（B商店）＜300元（A商店）。

答：到B商店购买更省钱，至少需要240元。

【分析】本题属于“购物省钱”问题。关键在于理解B商店“买3送1”的含义，即花3盒的钱

能得到4盒。需要先计算出240支铅笔按照B商店的优惠方式，实际需要购买多少盒，再计

算总价进行比较。

【例题2】四年级（1）班组织去看电影，全班有45人。电影院售票方式：单人票每张30元；

团体票（10人及以上）每张25元。请问怎样购票最省钱？最少需要多少钱？

【答案】买4张团体票和5张单人票最省钱，最少需要H50元。

【解析】团体票单价：25元/人（10人及以上）。

单人票单价：30元/人。团体票更便宜。

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方案一：买4张团体票（40人）和5张单人票：总价：4x10x25+5x30=1000+150=1150

（元）。

方案二：买5张团体票（50人，多买5张）：总价：5x10x25=1250（元）。

1150元<1250元。

答：买4张团体票和5张单人票最省钱，最少需要1150元。

【分析】本题属于“购物省钱”问题。核心是比较团体票和单人票的单价，优先购买单价低的

团体票。但由于总人数不是团体票人数的整数倍，需要考虑是买足额的团体票再补单人票，

还是多买几张团体票凑整，哪种更划算。

./考点练习

/一、烧水问题（时间优化）

1.妈妈要做一顿饭，需要做以下事情：淘米（2分钟），用电饭锅煮饭（20分钟），洗菜（5

分钟），切菜（3分钟），炒菜（10分钟）。妈妈最快多少分钟可以让全家吃上饭？

【答案】22分钟。

【解析】首先淘米（2分钟），然后开始煮饭（20分钟）。在煮饭的20分钟内，妈妈可以同

时进行洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）和炒菜（10分钟）。洗菜、切菜、炒菜总共需要5+3+10=18

分钟，这18分钟可以在煮饭的20分钟内完成。所以总时间为淘米的2分钟加上煮饭的20分

钟，共2+20=22分钟。

【分析】本题核心是“煮饭”这个耗时较长的过程。淘米是煮饭的前置步骤，必须先做。而洗

菜、切菜、炒菜这一系列准备工作可以与煮饭同时进行，因为它们不需要用到电饭煲。关键

在于判断这些准备工作的总时间（18分钟）是否小于或等于煮饭时间（20分钟），如果是，

则可以完全并行，总时间就是淘米+煮饭时间。

2.小李要为客人泡茶，他需要做的事有：洗水壶（2分钟），烧开水（10分钟），洗茶壶（1

分钟），洗茶杯（2分钟），拿茶叶（1分钟），泡茶（1分钟）。小李至少要多少分钟才能

泡好茶？

【答案】13分钟。

【解析】首先必须洗水壶（2分钟），因为没有洗水壶就无法烧开水。然后烧开水（10分钟）。

在烧开水的10分钟内，可以同时进行洗茶壶（1分钟）、洗茶杯（2分钟）和拿茶叶（1分

钟），这三件事总共需要1+2+1=4分钟，完全可以在烧水的10分钟内完成。水开后，泡茶

（1分钟）。总时间：2（洗水壶）+10（烧开水，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶）+1（泡茶）

=13分钟。

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【分析】本题的关键是“洗水壶”是“烧开水”的前置必要步骤，必须最先完成。而烧开水过程

中可以完成其他所有准备工作。这是一个典型的“工序优化”问题，识别出关键路径（洗水壶

一烧开水一泡茶）是解题的核心。

3.小明要完成以下家务：擦桌子（5分钟），拖地（10分钟），用洗衣机洗衣服（30分钟，

包括注水、洗涤、排水），晾衣服（5分钟）。小明最少需要多少分钟才能完成所有家务？

【答案】35分钟。

【解析】用洗衣机洗衣服（30分钟）是耗时最长的，且在洗衣机自动工作的这30分钟内，

小明可以同时进行擦桌子（5分钟）和拖地（10分钟）。这两项家务共需5+10=15分钟，可

以在洗衣的30分钟内轻松完成。洗衣机洗完衣服后，还需要晾衣服（5分钟）。总时间：30

（洗衣服，同时擦桌子、拖地）+5（晾衣服）=35分钟。

【分析】本题的关键是“用洗衣机洗衣服”这个过程是自动化的，不需要人持续操作，因此可

以利用这段时间集中处理其他耗时较短的家务。晾衣服必须在衣服洗完之后进行，所以是后

续步骤。这是典型的“利用等待时间”进行优化的问题。

，二、煎饼问题（资源利用与时间优化）

1.一个电饼铛每次最多能烙2张饼，每张饼每面需要烙3分钟。烙5张饼最少需要多少分钟？

【答案】15分钟。

【解析】5张饼共10个面。电饼铛每次能烙2个面。总面数?每次烙面数=10+2=5次。

每次3分钟，共5x3=15分钟。具体操作:

3分钟：饼1正,饼2正

3分钟：饼1反,饼2反饼1、2完成（6分钟）

3分钟：饼3正,饼4正

3分钟：饼3反,饼5正一饼3完成（12分钟）

3分钟：饼4反,饼5反一饼4、5完成（15分钟）

【分析】本题考查当饼数较多且不是锅容量整数倍时的优化。核心思想是总面数除以每次能

烙的面数（锅的容量），得到所需的“批次”，再乘以每面时间。关键在于具体操作时如何组

合，确保每次都烙2个面。

2.一口平底锅每次能同时煎3个荷包蛋，每个荷包蛋煎熟需要2分钟（正、反面各1分钟）。

妈妈要煎6个荷包蛋，最少需要多少分钟？

【答案】4分钟。

【解析】6个荷包蛋，每次能煎3个，刚好是锅容量的2倍

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第1分钟：煎蛋1、2、3的正面。

第2分钟：煎蛋1、2、3的反面。（此时前3个蛋煎好）

第3分钟：煎蛋4、5、6的正面。

第4分钟：煎蛋4、5、6的反面。（此时后3个蛋煎好）总时间：4分钟。或者，更高效

地思考：每个蛋2分钟，6个蛋共12个面。锅每次能煎3个面（每个荷包蛋一面），所以需

要12+3=4分钟。

【分析】当饼（蛋）的数量是锅容量的整数倍时，计算比较简单。总面数=饼数X2,每次

能煎的面数=锅容量。总时间=（总面数+每次能煎的面数）x每面时间。本题每面时间是

1分钟。

3.一个烤架上最多能同时烤2块牛排，每块牛排需要烤4分钟（每面各2分钟）。现在有99

块牛排，至少需要多少分钟才能全部烤好？

【答案】至少需要198分钟。

【解析】烤架每次最多烤2块牛排，无空闲时效率最高。每块牛排需烤2面，每面2分钟，

故1块牛排单独烤需2X2=4分钟；但同时烤2块牛排时，每面2分钟，两面共需2x2=4

分钟（与单独烤1块时间相同，因充分利用烤架容量）。99为单数，可拆分为“双数部分（96

块）+单数核心部分（3块）”，分别计算时间后相加。双数块牛排可直接按“每次烤2块”

分组，每组2块需4分钟（两面各2分钟）。组数：96+2=48组，总时间：48X4=192分

钟。3块牛排需用“交叉烤制法”，避免烤架空闲。设3块牛排为A、B、C,每块分正反面（正

1/反1,正2/反2,正3/反3）：

第1个2分钟：烤A正、B正（烤架满，2块正面）；

第2个2分钟：烤A反、C正（A翻面，B取出，放入C正面，A反熟后A完成）；

第3个2分钟：烤B反、C反（B和C剩余反面同时烤，B、C完成）。

3块牛排总时间：3x2=6分钟（共3个2分钟）。

总时间：双数部分时间+3块时间=192+6=198分钟。

【分析】单数块牛排的关键是处理最后剩余的3块，通过“交叉替换”确保烤架始终无空闲（每

次烤2面），避免单独烤最后1块导致时间浪费。公式：总时间=总面数-每次最多烤面

数x每面时间。总面数=99x2=198面，每次最多烤2面（每次烤2块，每块1面），

每面2分钟，故总时间=198+2x2=198分钟，与上述分步计算结果一致。

，三、收割问题（多人/多机器协作效率优化）

1.甲、乙、丙三人同时到一个水龙头处接水。甲接满一桶水需要4分钟，乙接满一壶水需要1

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分钟，丙接满一盆水需要2分钟。要使三人等候的总时间最少，应该怎样安排接水顺序？三

人最少的等候总时间是多少分钟？（只计算等候时间，不包括接水本身的时间）

【答案】按乙一丙一甲的顺序接水；最少等候总时间是5分钟。

【解析】最优接水顺序为：乙（1分钟）一丙（2分钟）一甲（4分钟）。

只计算等候时间：

乙：第一个接水，无需等候，等候时间0分钟。

丙：等待乙接水的1分钟，等候时间1分钟。

甲：等待乙和丙接水的1+2=3分钟，等候时间3分钟。

三人等候总时间=0+1+3=4分钟。

【分析】本题是最经典的“水龙头接水”问题，明确要求只计算等候时间。“最短时间优先”能

最小化总等候时间。如果按甲一丙一乙的顺序，总等候时间将是0（甲）+4（丙等甲）+（4+2）=6

（乙等甲丙）-0+4+6=10分钟，远大于4分钟。

2.一家理发店只有一位理发师，同时来了甲、乙、丙、丁、戊五位顾客。他们理发所需的时

间分别是：甲10分钟，乙15分钟，丙5分钟，丁20分钟，戊8分钟。怎样安排他们的理发

顺序，才能使这五位顾客理发和等候所用的总时间最少？最少总时间是多少分钟？

【答案】按丙一戊一甲一乙一丁的顺序；最少总时间是137分钟。

【解析】最优顺序为：丙（5分钟）一戊（8分钟）一甲（10分钟）一乙（15分钟）一丁（20

分钟）。

丙：无需等待，等待时间0分钟。

戊：等待丙理发的5分钟，等待时间5分钟。

甲：等待丙和戊理发的5+8=13分钟，等待时间13分钟。

乙:等待丙、戊、甲理发的5+8+10=23分钟，等待时间23分钟。

T：等待丙、戊、甲、乙理发的5+8+10+15=38分钟，等待时间38分钟。

总等待时间=0+5+13+23+38=79分钟。

总服务时间=5+8+10+15+20=58分钟。

总时间=79+58=137分钟。

【分析】本题进一步巩固“最短时间优先”原则。通过计算可以发现，总服务时间是固定不变

的（所有顾客理发时间之和），因此要减少总时间，关键在于减少总等待时间。让理发时间

短的顾客先理，能显著降低后面顾客的等待累积。

3.某玩具厂有一个包装小组，负责包装玩具。现有四个批次的玩具需要包装，每个批次的包

装时间分别是：甲批次要7分钟，乙批次要3分钟，丙批次要5分钟，丁批次要2分钟。包

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装机一次只能包装一个批次。请问：如何安排包装顺序，才能使这四个批次的玩具从开始包

装到全部包装完成所用的总时间最短？最短需要多少分钟？（这里的“总时间”指的是从第一

个批次开始包装到最后一个批次包装完成所经过的总时长）

【答案】按丁一乙一丙一甲的顺序；最短总时长是2+3+5+7=17分钟（即最后一个批次包装

完成的时间）。

【解析】如果题目问的是“从第一个批次开始包装到最后一个批次包装完成所经过的总时长”，

那么这个总时长就是最后一个批次的完成时间，等于所有批次包装时间之和（因为机器一直

在工作，没有停歇）。无论顺序如何，这个总时长都是固定的：2+3+5+7=17分钟。但这样

题目就失去了“最优化”的意义。所以更合理的理解是，题目想问的依然是“各批次等待和包装

的总时间之和”，或者题目可能存在表述歧义。如果按照“各批次等待和包装的总时间之和”

来计算：最优顺序为：丁（2）一乙（3）一丙（5）一甲（7）。总时间=2+（2+3）+（2+3+5）

+（2+3+5+7）=2+5+10+17=34分钟。

【分析】本题的表述需要仔细辨析。如果“总时间”指的是“流程总耗时”（即从开始到全部结

束的墙上时钟时间），那么由于机器不空闲，总耗时就是所有任务时间之和，与顺序无关。

但如果指的是“各任务的等待时间与处理时间之和”，则顺序有关，且最优策略仍是“最短优先”。

在实际应用中，我们通常优化的是后者（总等待和）或让尽可能多的任务早点完成。题目可

能存在歧义，但根据“最优化问题”的考点，我们优先考虑“各批次等待和包装的总时间之和”，

答案应为按丁一乙一丙一甲的顺序，总时间34分钟。如果严格按题目字面“从第一个批次开

始包装到最后一个批次包装完成所用的总时间”，则答案是17分钟，顺序不影响。这种情况

下，题目可能想考察的是学生对“流程总时间”和“总等待时间”概念的理解。考虑到四年级，

可能更偏向于前者，即总等待和包装时间之和34分钟。

4.在一个加油站，只有一个加油泵。有四辆汽车同时来到加油站加油，它们加油所需的时间

分别是：A车3分钟，B车6分钟，C车2分钟，D车5分钟。若要使这四辆车加油和等候

的总时间最少，应如何安排它们的加油顺序？最少的总等候时间是多少分钟？（注意：这里

问的是“总等候时间”，不包含加油本身的时间）

【答案】按C-A-D-B的顺序；最少总等候时间是22分钟。

【解析】最优加油顺序为：C车（2分钟）一A车（3分钟）—D车（5分钟）一B车（6分

钟）。

题目明确要求“总等候时间”，即只计算各车等待加油的时间之和，不包含它们自己的加油时

间。

C车：第一个加油，无需等待，等候时间0分钟。

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A车：等待C车加油的2分钟，等候时间2分钟。

D车：等待C车和A车加油的2+3=5分钟，等候时间5分钟。

B车：等待C车、A车和D车加油的2+3+5=10分钟，等候时间10分钟。

总等候时间=0+2+5+10=17分钟。

【分析】本题特别强调了“总等候时间”，需要学生仔细审题，区分“总等候时间”和“总时间（等

候+加油）即使只计算等候时间，最优策略依然是“最短时间优先”，因为这样能使后续车

辆的等待累积最小。如果按B—D—A—C的顺序，总等候时间将是0+6+（6+5）+（6+5+3）=

0+6+11+14=31分钟，远大于17分钟。

5.五名学生到图书馆借阅同一本畅销图书，图书馆只有一本复本。他们阅读这本书所需的时

间分别是：小明10分钟，小芳15分钟，小刚5分钟，小强20分钟，小丽12分钟。为了使

五名学生等候和阅读的总时间最少，应该怎样安排他们的阅读顺序？这个最少的总时间是多

少？

【答案】按小刚一小明一小丽T小芳T小强的顺序；最少总时间是170分钟。

【解析】最优阅读顺序为：小刚（5分钟）一小明（10分钟）一小丽（12分钟）T小芳（15

分钟）一小强（20分钟）。

总时间=各学生等待和阅读时间之和。

小刚：5分钟

小明：5（等待）+10=15分钟

小丽：5+10（等待）+12=27分钟

小芳：5+10+12（等待）+15=42分钟

小强：5+10+12+15（等待）+20=62分钟

总时间=5+15+27+42+62=151分钟。

或者用总等待时间+总阅读时间：总阅读时间=5+10+12+15+20=62分钟。

总等待时间=0（小刚）+5（小明）+（5+10）=15（小丽）+（5+10+12）=27（小芳）+（5+10+12+15）=42

（小强）-0+5+15+27+42=89分钟。

总时间=89+62=151分钟。

【分析】本题再次验证了“最短时间优先”策略的有效性。通过合理排序，总时间从最长顺序

（小强—小芳一小丽一小明一小刚）的20+（20+15）+（20+15+12）+（20+15+12+10）+

（20+15+12+10+5）=20+35+47+57+62=221分钟，减少到151分钟，效果显著。

6.一个快递公司的分拣中心，有一批包裹需要分拣，分拣员只有一位。这些包裹的分拣时间

分别是：A包裹5分钟，B包裹3分钟，C包裹7分钟，D包裹2分钟，E包裹4分钟，F包

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裹6分钟。为了使所有包裹从开始分拣到全部分拣完毕的总时间（包括每个包裹的等待和分

拣时间）最少，应该按照什么顺序分拣？最少需要多少分钟？

【答案】按D->B—E-A—F—C的顺序分拣；最少总时间是80分钟。

【解析】最优分拣顺序为：D（2分钟）->B（3分钟）一E（4分钟）-A（5分钟）-F（6

分钟）—C（7分钟）。

计算总时间（各包裹等待和分拣时间之和）：

D：2分钟

B：2（等待）+3=5分钟

E：2+3（等待）+4=9分钟

A：2+3+4（等待）+5=14分钟

F：2+3+4+5（等待）+6=20分钟

C：2+3+4+5+6（等待）+7=27分钟

总时间=2+5+9+14+20+27=77分钟。

或者：总等待时间+总分拣时间。

总分拣时间=2+3+4+5+6+7=27分钟。

总等待时间=0（D）+2（B）+（2+3）=5（E）+（2+3+4）=9（A）+（2+3+4+5）=14（F）+（2+3+4+5+6）=20

（C）-0+2+5+9+14+20=50分钟。

总时间=50+27=77分钟。

【分析】本题有六个包裹，数量稍多，但原理不变。依然是“最短时间优先”。通过排序，我

们可以计算出总时间。这个过程需要学生耐心地将每个包裹的等待和处理时间相加，或者分

开计算总等待和总处理时间再相加。这道题能很好地检验学生对该知识点的掌握程度和细心

程度。

/四、过河问题（安全与效率优化）

1.有6个小朋友要过河，河边只有一条能坐3个人的小船（无船工）。他们最少需要多少次

才能全部过河？

【答案】5次（3次去，2次回）

【解析】虽然船能坐3人，但每次过河后需要至少1人把船划回来。3个小朋友过河（去程1

次），1个小朋友划船回来（回程1次）。（共2次，3人左，2人右）剩下的3个小朋友过河

（去程2次）。（此时所有人都已过河，无需再回）

总次数：第一次去3人，回1人，左岸还有6-3+1=4人。第二次去3人，回1人，左岸4-3+1=2

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人。第三次去2人。总去程3次，回程2次，共5次单程。

【分析】本题关键在于理解“划船次数指单程次数”。每次满载3人过去，但必须留1人回来，

所以除了最后一次可以运3人，前面每次实际只能净运2人（3去1回）。6人：最后一次3

人，之前需运3人，需要2次（3去1回，3去1回，净运2+2=4人，超过3人）。所以总去

程3次，回程2次，共5次。

2.爸爸、妈妈和小明一家三口要过一条河，河边只有一条小船，船最多能载60千克的重量。

爸爸重60千克，妈妈重55千克，小明重25千克。他们怎样才能安全过河？最少需要划几次

船？

【答案】安全过河方案见解析；最少需要5次划船（3次去，2次回）。

【解析】爸爸体重刚好等于船的最大载重量，所以爸爸只能单独过河，且过河后必须有人（妈

妈或小明）把船划回来。方案：

妈妈和小明一起过河（去程，1次）。

妈妈划船回来（回程，1次，共2次）。

爸爸单独过河（去程，2次，共3次）。

小明划船回来（回程，2次，共4次）。

妈妈和小明一起过河（去程，3次，共5次）。这样所有人都安全过河，总共划了5次船（3

次去，2次回）。

【分析】本题的限制条件是“重量”。爸爸不能和任何人一起过河。因此，必须先让妈妈和小

明过河，再让其中一人回来，爸爸单独过，然后另一人回来接剩下的人。关键是设计往返顺

序。

3.夜晚，四个人带着一盏只能照亮17分钟的手电筒要过一座小桥。一次最多只能过两人，而

且必须有手电筒才能过桥。四个人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟和10分钟。两

人一起过桥的时间以较慢的那个人为准。他们怎样安排过桥顺序，才能在17分钟内全部过

桥？

【答案】过桥顺序如下（用时17分钟）：

1分钟和2分钟的人先过桥，用时2分钟。

1分钟的人把手电筒送回来，用时1分钟。（此时累计3分钟，对岸有2分钟的人，这边有

1,5,10分钟的人及手电筒。）

5分钟和10分钟的人一起过桥，用时10分钟。（累计3+10=13分钟，对岸有2,5,10分钟的

人，这边有1分钟的人及手电筒。）

2分钟的人把手电筒送回来，用时2分钟。（累计13+2=15分钟，对岸有5,10分钟的人，这

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边有1,2分钟的人及手电筒。）

1分钟和2分钟的人最后一起过桥，用时2分钟。（累计15+2=17分钟。）

【解析】关键是让用时短的人来回送手电筒，并且让用时最长的两个人一起过桥，以节省时

间。步骤如上，总时间2+1+10+2+2=17分钟。

【分析】这是经典的“过桥问题”。核心策略是：1.让最快的两个人先过，快的回来。2.让最

慢的两个人一起过，对岸第二快的回来。3.最后让最快的两个人一起过。这样能最大限度减

少总时间。

4.有3只羊和3只狼要过河，只有一条小船，船上每次最多能载2只动物。如果岸上的羊的

数量少于狼的数量，羊就会被狼吃掉。如何安排才能让所有动物安全过河？最少需要渡几次？

（注：每次过河后需有动物把船划回来，假设狼和羊都会划船，但为了安全，尽量让羊划船）

【答案】安全过河方案见解析；最少需要H次渡（单程）。

【解析】这是经典的“狼羊过河”问题，核心是任何时候（两岸和船上）羊的数量不能少于狼

的数量（除非羊的数量为0）。

2只狼过河（左3羊1狼，右0羊2狼），1只狼划船回来（左3羊2狼，右0羊1狼）。（2

次）

2只狼过河（左3羊0狼，右0羊3狼），1只狼划船回来（左3羊1狼，右0羊2狼）。（2

次，累计4次）-此步可能导致左岸狼多，但羊是3只，狼1只，羊多，安全。

2只羊过河（左1羊1狼，右2羊2狼），1只羊和1只狼划船回来（左2羊2狼，右1羊1

狼）。（2次，累计6次）

2只羊过河（左0羊2狼，右3羊1狼），1只狼划船回来（左0羊3狼，右3羊0狼）。（2

次，累计8次）

2只狼过河（左0羊1狼，右3羊2狼），1只狼划船回来（左0羊2狼，右3羊1狼）。（2

次，累计10次）

2只狼过