《第十章计数原理、概率、随机变量及其分布》章节训练习题

《第十章计数原理、概率、随机变量及其分布》章节训练习题

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

［基础题组练］

1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数

切+历，其中虚数的个数是（）

A.30B.42

C.36D.35

解析：选C.因为8i为虚数，所以方之0,即人有6种取法，，有6种取

法，由分步乘法计数原理知可以组成6X6=36个虚数.

2.已知两条异面直线46上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确

定不同的平面个数为（）

A.40B.16C.13D.10

解析：选C.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线。上的8个点可

以确定8个不同的平面；第2类，直线力分别与直线a上的5个点可以确定5个

不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13个不同的平面.

3.已知集合1）,0={y,1,2）,其中筋ye（1,2,3,…，9},

且比。把满足上述条件的一对有序整数对（必S作为一个点的坐标，则这样的

点的个数是（）

A.9B.14

C.15D.21

解析：选B.因为々{x,1},Q={y,1,2},且医。，

所以{y,2}.

所以当x=2时，y=3,4,5,6,7,8,9,共7种情况：

当x=y时，x=3,4,5,6,7,8,9,共7种情况.

故共有7+7=14种情况，即这样的点的个数为14.

4.从集合{1,2,3,…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比

数列，这样的等比数列的个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

解析：选D.当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3

时，等比数列可为1,3,9；当公比为盛时，等比数列可为4,6,9.同理公比为

I12

5,可时，也有4个.故共有8个等比数列.

乙JJ

5.从集合{1,2,3,4,…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数

中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有（）

A.32个B.34个

C.36个D.38个

解析：选A.将和等于11的数放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5

和6.从每一小组中取一个，有C；=2种，共有2X2X2X2X2=32个子集.故选

A.

6.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字

母属C,〃中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重

复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号

码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）

A.180种B.360种

C.720种D.960种

解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号

码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况

有5X3X4X4X4=960（种）.

7.直线/：：+]=1中，a£{l,3,5,7）,。£{2,4,6,8}.若/与坐标

轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为（）

A.6B.7

C.8D.16

解析：选B./与坐标轴围成的三角形的面积为

S=Jab210,即助220.

当a=l时，不满足；当a=3时，b=8,即1条.

当a£{5,7}时，86{4,6,8},此时日的取法有2种，力的取法有3种,

则直线1的条数为2X3=6.故满足条件的直线的条数为1+6=7.故选B.

8.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从〃点处进，。点处出，沿图中

线路游览儿B,。三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点。外）的不同游览线

路有（）

A.6种B.8种

C.12种D.48种

解析：选D.从〃点处进入结点。以后，游览每一个景点所走环形路线都有

2个入口（或2个出口），若先游览完/景点，再进入另外两个景点，最后从。点

处出有（4+4）X2=16种不同的方法；同理，若先游览8景点，有16种不同的

方法；若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3X16

=48（种）.

9.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形4B,Q〃中，要求相邻

的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）

A.72种B.48种

C.24种D.12种

解析：选A.法一：首先涂力有4种涂法，则涂8有3种涂法，C与46相

邻，则。有2种涂法，〃只与C相邻，则〃有3种涂法，所以共有4X3X2X3=

72种涂法.

法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时

［有4种涂法，少有3种涂法，。有2种涂法，〃有1种涂法，共有4X3X2X1

=24种涂法；二是用3种颜色，这时人&。的涂法有4X3X2=24种，〃只要

不与C同色即可，故〃有2种涂法，所以不同的涂法共有24+24X2=72（种）.

10.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合

数”),则首位为2的“六合数”共有()

A.18个B.15个

C.12个D.9个

解析：选B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,

0,。组成3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数分别为310,301,

130,103,013,031；由2、2、0组成3个数分别为220,202,022；由2,1,

1组成3个数分别为211,121,112.共计：3+64-3+3=15(^).

11.满足&{-1,0,1,2},且关于x的方程/+2x+b=0有实数解

的有序数对(&的个数为()

A.14B.13

C.12D.10

解析：选B.当a=0时，关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,一

1),(0,0),(0,1),9,2)均满足要求;当a#0时,1=4-4心0,abWl,

此时满足要求的有序数对为(—1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,

一1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上，满足要求的有序数对共有13

个,故选故

12.将1,2,3,…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从

左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空

格的方法有()

A.6种

C.18种D.24种

解析：选A.根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，

则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在/或A处，若8放在3处，则可

以从5,6,7这3个数字中选一个放在。处，剩余两个位置固定，此时共有3种

方法，同理，若8放在力处，也有3种方法，所以共有6种方法.

12D

34A

CB9

13.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有______种.

解析：第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投

法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事

情，由分步乘法计数原理可得共有不=64种投法.

答案：64

14.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体

育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用

数字作答）.

解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人

中选1人担任文娱委员，有3种选法.

第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学

习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同

的选法共有3X4X3=36（种）.

答案：36

15.已知△/必。三边&b,。的长都是整数，且dWbWc,如果2=25,则符

合条件的三角形共有个.

解析：根据三边构成三角形的条件可知，“25+a

第一类：当a=l,6=25时，。可取25,共1个值；

第二类，当日=2,力=25时，。可取25,26,共2个值；

当a=25,。=25时，c可取25,26,…，49,共25个值；

所以三角形的个数为1+2+…+25=325.

答案：325

16.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、

丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名

运动员比赛的方式共有种.

解析：分两步安排这8名运动员.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排

方式有4X3X2=24（种）.

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,

所以安排方式有5X4X3X2X1=120（种）.

故安排这8人的方式共有24X120=2880（ft）.

答案：2880

［综合题组练］

1.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色,

则不同的涂色方法共有（）

A.4320种B.2880种

C.1440种D.720种

解析：选A.分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的

涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区

域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.

根据分步乘法计数原理可知，共有6X5X4X3X3X4=4320种不同的涂色

方法，故选A.

2.在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3

局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的

情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.6种B.12种

C.18种D.20种

解析：选D.分三种情况：恰好打3局（一人赢3局），有2种情形；恰好打4

局（一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢），共有2X3=6种情形；恰好打5

4X3

局（一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢），共有2X-y^=12种情形.所有

可能出现的情形共有2+6+12=20种.故选D.

3.（创新型）若如〃均为非负整数，在做历+〃的加法时各位均不进位（例

如：134+3802=3936）,则称（勿，〃）为“简单的”有序对，而勿+〃称为有序

对（勿，〃）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是.

解析：第1步，1=1+0,1=0+1,共2种组合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共10种组

合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方

式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.

根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为

2X10X5X3=300.

答案：300

4.x+y+z=10的正整数解的组数为

解析：可按x的值分类：

当x=l时,y+z=9,共有8组

当x=2时,y+z=8,共有7组

当x=3时,y+z=7,共有6组

当x=4时,y+z=6,共有5组

当x=5时,y+z=5,共有4组

当x=6时,x=4,共有3组

当x=7时,y+z=3,共有2组

当x=8时,y+z=2,共有1组

8X9

由分类加法计数原理可知：共有8+7+6+5+4+3+2+1=F-=36(组).

答案：36

5.己知集合"=(-3,—2,—1,0,1,2},若a,6,c£M,贝ij：

(l)y=aV+Z?x+c可以表示多少个不同的二次函数？

(2)y=aV+—+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

解：(l)y=d*+及+c表示二次函数时，a的取值有5种情况，力的取值有

6种情况，。的取值有6种情况，因此尸af+bx+c可以表示5X6X6=180个

不同的二次函数.

(2)当尸日1+取+。的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b,c的取

值均有6种情况，因此可以表示2X6X6=72个图象开口向上的

二次函数.

6.（综合型）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同

一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.

解：法一：按所用颜色种数分类.

第一类：5种颜色全用，共有用种不同的方法；

第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（力与或夕与〃），共有

2XA；种不同的方法;

第三类：只用3种颜色，则力与C,夕与〃必定同色，共有用种不同的方法.

由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为熊+2XA；+A［=420（种）.

法二：以S,儿B,C,〃顺序分步染色.

第一步：S点染色，有5种方法；

第二步：力点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步：8点染色，与S,力分别在同一条棱上，有,3种方法；

第四步：。点染色，也有3种方法，但考虑到〃点与S,力，C相邻，需要针

对/与。是否同色进行分类，当/与C同色时，，点有3种染色方法；当月与。

不同色时，因为。与S,8也不同色，所以C点有2种染色方法，〃点也有2种

染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有

5X4X3X（IX3+2X2）=420（种）.

第2讲排列与组合

［基础题组练］

1.从1,3,5中取两个数，从2,4中取一个数，可以组成没有重复数字的

三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（）

A.12B.18

C.24D.36

解析：选C.从1,3,5中取两个数有《种方法，从2,4中取一个数有C；种

方法，而奇数只能从1,3,5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C：

CA我=3X2X2X2X1=24.

2.某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少

有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为：）

A.85B.56

C.49D.28

解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人.甲、乙两人均入选，

有种选法，甲、乙两人只有1人入选，有Ce种选法.所以由分类加法计数

原理，共有C氾+C；&=49种不同选法.

3.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的

演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

解析：选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目，共电种排法，再把2个舞蹈

节目插在6个空位中,有屡种插法,所以共有A米=3600（种）.

4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则

不同的排法共有（）

A.192种B.216种

C.240种D.288种

解析：选B.第一类：甲在最左端，有虐=5X4X3X2X1=120种方法；第

二类：乙在最左端，有4A：=4X4X3X2X1=96种方法.所以共有120+96=216

种方法.

5.如图，乙4V的功〃V上有四点4,4，4,4,QV卜.有三点儿氏，4,

则以。，4,4,4,4，4,区，A中三点为顶点的三角形的个数为（）

A.30

C.54D.56

解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C；种取法，再减去三

点共线的情形即可，即《一C；—C：=42.

6.旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行

体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小

李可选的旅游路线数为（）

A.24B.18

C.16D.10

解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有用种可选的路线；

第二种：不在最后体验甲景区，则有C；-A：种可选的路线.所以小李可选的旅游

路线数为A；+C・A：=10.选D

7.某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，

丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3

男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有；）

A.36种B.24种

C.22种D.20种

解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐

1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A湖=12种推荐方法；第二种，

将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有dA；A；=12种推荐方法.故

共有24种推荐方法，故选B.

8.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位

置，则不同的站法共有（）

A.4种B.8种

C.12种D.24种

解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C1种站法，

剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C；X2=8种站法，故选B.

9.某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要

求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目

演出顺序的编排方案共有（）

A.120种B.156种

C.188种D.240种

解析：选A.法一：记演出顺序为1〜6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、

丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A孤

A冠，C；A4,C球,CJA。,故总编排方案有A九+A氏+C；A混+C；A源+C；A；A：=

120（种）.

法二：记演出顺序为1〜6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，

丙、丁相邻的情况有4种，则有C搦川=48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相

邻的情况有3种，共有C就用=36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况

有3种,共有C；A游=36种.所以编排方案共有48+36+36=120（种）.

10.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样

的四位数有（）

A.250个B.249个

C.48个D.24个

解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A；=24（个）；

②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A；=24（个）.由分类加法计数原

理得所有满足条件的四位数共有24+24=48（个），故选C.

11.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，

每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个

10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，

被剩下的3人中的2个人抢走，有A氏=12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个

10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A孰;=12种；

若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中

的2个人抢走，有度仁=6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，

被剩下的3人中的2个人抢走，有眉=6种，根据分类加法计数原理可得，共有

36种情况，故选C.

12.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任

一个.现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个

数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设

的四个数字互不相同.则上述四人所设密码最安全的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

6A2

解析：选C.甲所设密码共有C；CC=48种不同设法，乙所设密码共有寸=

36种不同设法，丙所设密码共有C泊用=144种不同设法，丁所设密码共有A；=

24种不同设法，所以丙最安全，故选C.

13.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有

种.

解析：把g、。、。、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d,

共有选种排法；第二步：排两个o,共1种排法，所以总的排法种数为收=

12（种）.其中正确的有1种,所以错误的共正一1=12—1=11（种）.

答案：11

14.（一题多解）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1

位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法

有C：C；=12（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC；=4（种）.根

据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16（种）.

法二：从6人中任选3人，不同的选法有《=20（种），从6人中任选3人都

是男生，不同的选法有C：=4（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20

—4=16（种）.

答案：16

15.（一题多解）某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每

人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有种（用数字作

答）.

解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C；・C；=12种报法；第

二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C；・C；=3种报法.由

分步乘法计数原理得共有12*3=36种报法.

法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C；种方法;

第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共选种方法.由分步

乘法计数原理得共有C-A；=36种报法.

答案：36

16.如图所示2义2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,

2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入力方格的数字大于8方格的数字，则

不同的填法共有种.

解析：根据题意，对于乩8两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的

放进4方格，小的放进8方格，有心=6种情况，对于乙〃两个方格，每个方

格有4种情况,则共有4X4=16种情况，则不同的填法共有16X6=96（种）.

答案：96

［综合题组练］

1.现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其

放在4个车库中（每个车库放2辆），则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不

同放法共有（）

A.144种B.108种

C.72种D.36种

解析：选C.从4种小车中选取2种有G种选法，从4个车库中选取2个车

库有C种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有种放法；将剩下的2种

小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有

C久游=72种不同的放法.故选C.

2.将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个

盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）

A.12种B.16种

C.18种D.36种

解析：选C.先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4

个球平均放入剩下的2个盒子中，共有噂&-A；=6种情况，所以不同的方法共

有3X6=18（种）.

3.（综合型）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角

为60°的共有对.

解析：如图.它们的棱是原正方体的12条面对角线.

一个正四面体中两条棱成60°角的有(C-3)对，两个正四面体有(C；一

3)X2对.又正方体的面对角线中平行成对，所以共有C—3)X2X2=48(对).

答案：48

4.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为其中

川、川分别表示第二、三行中的最大数，则满足AKAK%的所有排列的个数是

…第一行

…第二行

(J0(X)(X)…第三行

解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C；种方法，第三行中

剩下的两个空位安排数字有用种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数,

把这个最大数安排在第二行，有C；种方法，剩下的两个数字有眉种排法，根据分

步乘法计数原理，所有排列的个数是C撮C版=240.

答案：240

5.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.

(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？

(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？

解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别

的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入

隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有以=20种不同的放入方式.

(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次

排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C?o=120种放入方式.

6.已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所

有的次品为止.

(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品,

则这样的不同测试方法数是多少？

⑵若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多

少？

解：(D先排前4次测试，只能取正品，有A；种不同的测试方法，再从4件

次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有8种测试方法，再排余下

4件的测试位置，有A；种测试方法.所以共有d-A；-A：=103680种不同的测试

方法.

(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前

4次有一件正品出现，所以共有C；・C；•A：=576种不同的测试方法.

第3讲二项式定理

［基础题组练］

1.当一V的展开式中的常数项为()

A.-3^2B.3镜

C.6D.-6

解析：选D.通项。+尸c(阴3'(-V)'=C($)3f・(-1)“-6+6’，当—6

+6r=0,即r=l时为常数项，Z>=—6,故选D.

2.(l+x)5+(l+x”+(l+x)7的展开式中V的系数为()

A.50B.55

C.45D.60

解析：选B.(l+x)s+(l+x)6+(l+r)i的展开式中f的系数是C；+C；+C；=

55.故选B.

3.(2系+：，的展开式中/的系数为()

A.10B.20

C.40D.80

解析：选D.通项公式7；m=CK2方5=2-C4°7『，令io-3r=%解得

r=2.所以［y+3'的展开式中/的系数=2?­C；=80.故选D.

4.在（1一工尸已不一1）的展开式中，含4项的系数为（）

A.-5B.-15

C.-25D.25

解析：选B.因为（1—x）5=（—x）s+5x'+C：（一X尸+…，所以在（1—X尸・（2x

+1）的展开式中，含4项的系数为5-20-15.故选B.

5.1+（1+x）+（：+入厂+…+（1+x）”的展开式的各项系数之和为（）

A.2/7-1B.2,-1

C.2田一1D.2"

1x（—।）

解析：选C.令x=l,得1+2+炉+…+2"=---------=2e一1.

6.已知（1十才）"的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的

二项式系数和为（：

A.29B.210

C.211D.212

解析：选A.由题意得&=《，由组合数性质得〃=10,则奇数项的二项式系

数和为21=2、故选A.

7.（f+2）匕-1）展开式中的常数项是（）

A.12B.-12

C.8D.-8

（।、5（A5—r

解析：选展开式的通项公式为禽产（―D'=（一D'C旷

5,当r一5=-2或r—5=0,即r=3或r=5时，展开式的常数项是（-1）。十

2（—1）匕=-12.故选B.

（1、5

8.x+-+l展开式中的常数项为（）

A.1B.21

C.31D.51

解析：选D.因为,+：+1）51；5

(x+1)+-：

1ny

=圆"1）5+点叶1）匕+第（、+1尸简+图、+D

4<

所以1+：+1?展开式中的常数项为c”c”r+c；・《・r+d・c：・「=51.

故选D.

9.若二项式（v+令？的展开式的各项系数之和为一1,则含v项的系数为

（）

A.560B.-560

C.280D.-280

解析：选A.取x=l,得二项式匠+色厂的展开式的各项系数之和为（1+Q7,

X

（.2V

即（1+功'=-1,l+a=—1,a=-2.二项式（$一小的展开式的通项方+1=

（2\r

C”（泊•一一=仁・（-2）'・一7,令14一"=2,得厂=4.因此，一项式（V

\x）

2

—的展开式中含义灰的系数为C；-（-2尸=560,选A.

10.设勿为正整数，加展开式的二项式系数的最大值为播（x+y）2f

展开式的二项式系数的最大值为。.若13a=74则勿=（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：选B.（x+y）2.展开式中二项式系数的最大值为c黑所以a=C>

同理，6=C*

因为13a=74所以13-CL=7・心人

(2加！(2m+l)!

所以13・=7

mlm\(加+1)!nil'

所以n1=6.

{,

11.若（l+x+f）"=员+句*+品X2~1---[-a2nxt则为+民+国+…等于

）

3"-1

A.2"B.——

乙

C.2田D.3%"+—1

乙

解析：选D.设/V）=（l+x+I）”,

则/'（1）=3"=<3（）+&+》2+…+及0，①

f（-1）=1=%一句+9-ad---Fa”，②

由①+②得2（%+及+&+…+生，=f（l）+f（—1）,

f⑴+F（—1）3"+1

所以戊+&+4+~+切2〃=

2,

12.已知（x+2）9=db+ax+a2*+…+国V,贝lj（a+3&+54+7a丁+9丛产一

（2&+4&+6&+84”的值为（）

A.39B.310

C.311D.312

解析：选D.对（x+2）9=&）+囱X+a/~1卜—一两边同时求导,得9（x+2）8

=句+2斑彳+3<33/+…+8国x'+9d4,令x=1,得句+24+3&$+…+8呆+94=

310»令X——1■,得科-2a?+3死一…一8^«+9^9=3*2.所以（句+3死+5%+7的+9为）2

一（24+4国+6a+8M>=（国+2]2+3弊+・一+8a+9备）（句—2d2+35—…—8斑

+9管）=3%故选D.

13.己知（2x+啦）'=a+ax+绕则（a+4+4尸一（&+国尸=

解析：法一：因为（2¥+电”=&+打/+%夕+&炉+@3,所以取X=1得（也

+2）'=（a+4十国）+fa+aJ①；取x=—1得（斓-2）"=（4+a+aj—（a+

22

a：J②.①②相乘得（勒+昆+at）—（句+然）'=（m+2）'X（啦—2）'=[（^2）—

22]4*=16.

法二：因为（2犬+镜）'=a+曷才+电¥2+殳炉+@3，所以根据二项式定理得为

=4,&=16啦，色=43,4=32/，&=16.故（&+a+&）"—（&+&）'=（4+48

+16）2—（16啦+323）2=16.

答案：16

14.他+：+闾%0）的展开式中的常数项为______.

解析:修+：+闾%>0）可化为的■廿°,因而人=，排。’（科

一匕令10—2「=0,则T=5,故展开式中的常数须为％・吐警

效案.岐

口>r*c•2

（nio

15.若（V—4卜十三|的展开式中系的系数为30,则@=

（1M0

解析：的展开式的通项公式为

\X）

7]-M=C；O•，

令10-2r=4,解得r=3,所以一项的系数为C；o.

令10-2r=6,解得r=2,所以炉项的系数为Co.

（f\10

所以（炉一⑷x+二的展开式中父的系数为C；°—aC'；°=30,解得a=2.

答案：2

16.在二项式，一：）"的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中

含有f项的系数是.

（1甲

解析：由于第五项的二项式系数最大，所以〃=8,所以二项式x-—的展

\X）

开式的通项公式为八产C；尸,・（一尸）'=（-1）设尸2'，令8—21=2,得r=3,

故展开式中含有f项的系数是（-1）濯=-56.

答案：一56

［综合题组练］

1.己知乙-4《+4七一4匕+…+（—1）”4簿=729,则C+C+…+C；的值等

于（）

A.64B.32

C.63D.31

解析：选C.因为己一4仁+42比-4：。+…+（—1”4工：=729,所以解-4）"=

36,所以〃=6,因此C+C+…+C；=2"—1=26—1=63,故选C.

（\\9

2.二项式《一2/J的展开式中，除常数项外，各项系数的和为（）

A.-671B.671

C.672D.673

解析：选B.令x=l,可得该二项式各项系数之和为一1.因为该二项展开式

/1、9-r

的通项公式为刀斗尸比：•（一2*'=Ci（—2）'・/t,令3L9=0,得r=

3,所以该二项展开式中的常数项为C；（—2尸=—672,所以除常数项外，各项系

数的和为一1一（—672：=671,故选和

（价6

3.（应用型）48'被7除的余数为d（OW水7）,则卜一刀）展开式中的系数

为（）

A.4320B.-4320

C.20D.-20

解析：选B.48'=；49-l）7=C?-497-C；-49°+…+C；・49—1,

因为487被彳除的余数为-0W水7）,

所以a=6,

（6时

所以J—R展开式的通项为人=晨・（-6）'•产医

令6—3r=-3,可得r—3,

（6）6

所以｛一3］展开式中的系数为仁・（-6）三一4320.

2xdx,则二项式，/一：）6的展开式中的常数项为

4.（创新型）设a=fl

J0

1(A6产一36,其展开式的通