《概率论与数理统计》习题及答案选择题

《概率论与数理统计》习题及答案

选择题

单项选择题

1.以□表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件口为().

(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；

(B)"甲、乙两种产品均畅销“；

(C)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”；

(D)“甲种产品滞销二

解：设口'甲种产品畅销‘，口'乙种产品滞销'，口

A='BC=~B^C=，甲种产品滞销或乙种产品畅销工选C。

2.设口是三个事件，在下列各式中，不成立的是()o

(A)=

(B)=

(C)(AUB)-AB=A^U小；

(D)(AIJ砌一C=(A-C)U(q<)c

解：□DA对。

(A\JB)-B=(A\J=AB=A-BAB不对

(A\JB)-AB=(A-A)=AB\JAB.C对选B.

同理D也对。

3.若当事件□同时发生时，事件□必发生，则().

(A)P(C)<P(A)+P(B)-};

(B)P(C)>P(A)+P(B)-1：

(C)P(C)=P(AB);

(D)尸(C)=P(AU8).

解：□

/.选B。

4.设口，则□等于()o

(A)a-b;(B)c-b;(C)a(\-b);(D)b-ao

解：P(AB)=P(A-B)=P(A)~P(AB)=a-P(A)-P(B)+P(AUB)=c-b

选B0

5.设□是两个事件，若口，则()0

(A)A,8互不相容；(B)是不可能事件；

(C)P(A)=0或0(8)=0;(D)A3未必是不可能事件。

..解：□...选D.

6.设事件□满足口，则下列结论中肯定正确的是()。

(A)A,月互不相容；(B)A,方相容；

(C)P(/W)=P(A)P(8);(D)P(A-B)=P(A)O

瓦月相容/.A不对。

A=B=A,AB=二.B错。

J,而□不一定为0□C错.

..□..........选D.

7.设口，则()

(A)4,8互不相容;(B)48互为对立；

(C)A8不独立；(D)A,8相互独立.

解：口

一(—一)(1一。(/?))+((8)(1—尸(A)—尸(A)+P(A/T))

P(B)-P2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P2(B)

P(AB)=P(A)P(B)选D。

8.下列命题中，正确的是().

(A)若口，则□是不可能事件；

(B)若口，则□互不相容；

(C)若口，则□:

(D)P(A-B)=P(A)-P(B).

解：P(AU3)=尸⑷+P(B)_P(AB)nP(A|JB)-P(AB)=P(A)+P(B)=1

由口，□A.B错。

....只有当口时口，否则不对....选C.

9.设□为两个事件，且口，则下列各式中正确的是()0

(A)P(A(JB)=P(A);(B)P(AB)=P(A);

(C)P(B|A)=P(4)；(D)P(B-A)=P(H)-P(A)0

解：口匚选A。

10.设□是两个事件，且口；

(A)P(A)=P(A\B);(B)P(B)>0,则有()

(C)P(A)>P(A\B);(D)前三者都不一定成立。

..解：□要与□比较，需加条件..□选D.

11.设口且口，则下列等式成立的是().

(A)P(AU4I耳)=P(AI亘)+P(AJ巨):

(B)P(43U48)=P(AB)+P(43)；

(c)P(AUA)=P(A|B)+P(A2|B)；

(D)P(8)=P(4)P(81a)+P(&)P(B|A,).

解।：解AU4U)=P(AIB)+P(A2|B)-P(A4|B)=尸(A|B)+P(AIB)

=>P(A,A2IB)=0=>P(AIA2B)=0

P(ABu&B)=尸(A5)+p(4B)-P(A&5)=P(A5)+P(A2B)

：.选B.

解2：由尸{4u416}=P(A|B)+P(A2IB)得

p(A3乂3))(")+「”)

~P(B)--P(B)

。「见尸(AWU48)=aA3)+P(A2B)

选B.

12.假设事件□满足口，则()o

(A)8是必然事件；(B)P(B)=1;

(0P(A-B)=O;(D)AuB。

解：口

=>P(A-B)=O选C。

13.设□是两个事件，且口，则下列选项必然成立的是()<>

(A)P(A)<P(AIB)：(B)P(A)<P(A\B);

(C)P(4)>P(A|8);(D)P(A)>P(A|B)o

解：口

AuB=P(A)«P(8)O<P(B)<1/.选B

(或者：AuB,P(A)=P(AB)=P(B)P(41B)<P(A\B))

14.设□互不相容，则下列各式中不一定正确的是()o

(A)P(44|8)=0;

(B)P(Au4IB)=P(AIB)+P(4IB)；

(C)P(4A|8)=1;

(D)P(A\JA2\B)=\.

解：口

p(4&⑶=^^=o

A对。

p(4U&I3)=P(4⑶+尸(41硝-。(4418)

对。

=P(A|B)+P(A2|B)B

尸(A4®=U4IB)=i-P(AUAIB)

=1-P(A||B)-P(A|B)^1c错.

p(AU&IB)=P(A4|B)=I—P(A4|8)=I—O=ID对。

.・・选c.

15.设口是三个相互独立的事件，且口，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()0

(A)CUB与C;(B)衣与不；

(C)。一3与吊;(D)而与3。

解：口

=口一(P(A)+P(8)—P(A)P(8))]P(C)=P(7U^)P(C)A对.

P(ACC)=P[(A\JC)C]=P(AC\JCC)=P(AC)+P(C)-P(AC)

=P(C)^P(AC)P(C)衣与「不独立选B.

16.设□三个事件两两独立，则□相互独立的充分必要条件是().

(A)4与BC独立；(B)与AIJC独立；

(C)A3与AC独立；(D)AIJB与AUC独立。

解：□两两独立，□若□相互独立则必有

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)：.A与BC独立。

反之，如A与BC独立则P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(8)P(C)

...选A.

17.设口为三个事件且□相互独立，则以下结论中不正确的是().

(A)若口，则□与□也独立；

(B)若口，则口与□也独立；

(C)若口，则□与□也独立；

(D)若口，则□与□也独立.

解：□概率为1的事件与任何事件独立

AC与BC也独立。A对.

P[(AU。)nB]=P[(AuC)B]=P(ABUBC)

=P(AB)+P(BC)-P(ABC)=P(AUC)P(B)B对。

P[(A-C)A]=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=P(A)P(AC)

：.C对选D(也可举反例).

..18.一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为□，第二道工序的废品率为口，则该零件加

工的成品率为..).

(A)一〃2；(B)1一〃|〃2；

(C)-〃2+〃|〃2；(D)(1|)+(1-〃2).

解:设□成品零件，□第□道工序为成品口

P(A)=I—PIP(A)=I-P2

P(A)=p(A4)=P(A)p(&)=(I-P])(1-p2)

Pi

选c。

19.设每次试验成功的概率为□，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为

)。

(A)—p)6；(B)C；p4(l—p)6；

(C)C>4(l-p)3;(D)—

解:说明前9次取得了3次成功・,・第10次才取得第4次成功的概率为

C；P3(1-P)6P=C；P』(1-P)6

・・・选B.

20.设随机变量□的概率分布为口，则()o

(A)4为任意正实数;(B)2=Z?+1;

选C.

设连续型随机变量□的概率密度和分布函数分别为□和口，则下列各式正确的是().

(A)O</U)<1;(B)P(X=x)=/(x)；

(OP(X=x)=F(x);(D)P(X=x)<F(x).

解:・・・选D.

22.下列函数可作为概率密度的是()o

(A)f(x)=e-M,xeR;

⑻73=^77XWR：

x>0,

(C)/(x)=缶7

0,x<0;

1,Ix|<l,

(D)f(x)=<

0,

解:A：□・•・错.

B:□

------!——>0xeR

且/«=：.选B.

7r(\+x~)

23.下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是()o

(A)F(x)=­;(B)F(x)=—+—arctanx;

1+r27T

(C)F(©=)x>0

.0，x<0;

(D)口，其中口

解：对A：口，但口不具有单调非减性且口・・・A不是。

对B：□J口。

由arctanx是单调非减的・•・尸(x)是单调非减的。

产(—co)=^-+—(-^)=0

F(-i-oo)=—+—•—=!.

2712242

E(x)具有右连续性。/.选B。

24.设口是随机变量,其分布函数分别为口，为使□是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数

值中应取().

3222

(A)"工b=--;(B)〃=h=-

5533

(C)a=——,Z?=—;(D)67=—,b=—.

2222

解：匚I,□，只有A满足

选A

25.设随机变量□的概率密度为□，且□是□的分布函数，则对任意实数□有().

(A)/(-a)=T("(x)，a；

(B)F(-;

(C)F(-a)=F(a);

(D)F(-a)=2F(a)-\0

解：

{}

=jyfMdx-J：f(x)dx=\-[^f(x)dx+J：f(x)dx)

由j/(x)公=2/0f{x)dx=\=>Jof{x}dx=jfMdx=-

：.选B。

26.设随机变量口，其分布函数和概率密度分别为口和口，则对任意实数口，下列结论中成立的是

).

(A)F(x)=1-F(-x);

(B)f(x)=f(-x);

(C)F(l-x)=l-F(1+x);

(D)1=l-Ff—L

I2)I2)

解：□以□为对称轴对称。

P(X>l+x)=P(X<l-x)

即F(l-x)=l-P(X<l+x)=l-F(l+x)

选C。

27.设口，设口，匚],则()。

(A)对任意实数〃有Pl=〃2；(B)Pl<〃2；

(C)Pl>“2；(D)只对〃的个别值才有P]=

解：口

%=尸~+5)*"<"+5)+,卞卜-中⑴

Pi=p2选A(or利用对称性)

28.设口，则随着口的增大，概率口的值().

(A)单调增大；(B)单调减少；

(C)保持不变；(D)增减不定.

解：尸(|X—〃)|<b=P(〃_b<X<〃+b)=cD(l)_(D(_l)=20)(l)_[

・•・不随o"变J选C。

29.设随机变量口的分布函数为口，则□的分布函数

4(y)为()o

(A)Fx(5y-3);(B)5Fx(y)-3;

(c)G(F)⑻/()，)+3.

解：F(y)-P(Y<y)-P(5X-3<y)-P(X<-(y+3))

Y5

=・••选C.

30.设□的概率密度为口，则口的概率密度为().

(A);(B)—!~7;

万(1+4旷)乃(4+y)-

22

(C)—(D)—

〃(4+y~)TT(1+y~)

解:、()，)="<)，)=P(2X0)=P(XM)=FXK

乙Iz

fy（y）斗图=\_1_2

选C.

2万（］+反）一乃（4+严

4

31.设随机变量□与□相互独立，其概率分布分别为

X-1IY-11

11

P

22

则下列式子正确的是（）o

（A）X=Y;(B)P(X=Y)=O;

⑹P（x=y）=g；

(D)P(X=Y)=l.

..解:A显然不对.口

=p(x=-i)尸(y=—i)+p(x=1)P(y=i)=!1+!]=(

22222

・♦・选C。

32.设口，且□与□相互独立，则()o

(A)P(X4-/<())=-;(B)P(X+Y<1)=-;

22

(c)p(x-y<o)=1；(D)p(x-r<i)=p

解：□且独立・•・□

P(X+Y<1)=P(X+Y>\)=0(0)=-选B。

2

33.设随机变量

f-ion

X,〜111,i=l,2

1424J

且满足口，则口()。

(A)0；(B)1/4；(C)1/2;(D)1o

解：

T°1Pi

0-

4

oOj_

-

4

1d2

10-

40-

A114

--1

42

4

P(X|X2=0)=1=>P(X]X2^0)=0

：.P(X,=X2)=P(X1=X2=-1)+P(X1=x2=0)+P(X,=X2=1)

=04-0+0=0

选A.

34.设随机变量口取非负整数值，口，且口，则口的值为（）.

3+百

(A)~r

3土石

(C)(D)1/5.

1

a---------

(1一。)

3-V5

a=----------Z.选Bo

2

35.设连续型随机变量□的分布函数为

x>1,

F(x)=

0,x<1,

则X的数学期望为()o

(A)2：(B)0；(04/3；(D)8/3o

解：□

EX仆*可争4吟41

...选C........

36.已知口，则二项分布的参数为().

(A)=4,p=0.6;(B)n=6,/?=0.4；

(C)/?=8,p=0.3;(D)〃=24,p=0.1o

□□

/.选B。

37.已知离散型随机变量□的可能值为口，且口，则对应于□的概率□为()o

(A)〃[=0.4,p2=0.1,=().5:(B)P[=0.1,p2=0.1,p3=0.5;

(C)〃]=0.5,p2=0.1,py=0.4;(D)P1=0.4,p2=0.5,p3=0.5.

解：EX=0.1=-A+〃3

DX=EX2-(EX)2=>EX2=0.89+(0.1)2=0.9=p,+小

Pi=04

n<p、=0.1选A.

〃3=0.5

38.设□，且□独立，记口，则口__________o

(A)N(2,1);(B)NQ1);

(C)N(2,13);(D)N(l,5)o

解：X〜N(2,l)Y~N(-1,1)且独立

EZ=E(3X-2r-6)=2o

DZ=9/)X+407=9+4=13o

又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，・・・Z〜NQ,13)

・•・选C.

39.设口，则□之值为()o

(A)14;(B)6;(C)12;(D)4O

解：口，

cov(X,Y)=EXY-EXEY=6-4=2

O(X—y)=9+l—2x2=6,

・•・选B.

40.设随机变量□的方差存在，则()o

(A)(EX)2=EX2;(B)(£X)2>EX2；

(C)(EX)2>EX2;(D)(EX)2<EX2.

解：□□・•・选D.

41.设□相互独立，且均服从参数为□的泊松分布，令口，则口的数学期望为().

2

(A)-A;(B)万；(O-2+/1;(D)~^+Ao

333

解：XH2X3独立~尸(团/.(X,+X24-X3)-P(32)

E(X,+X2+X3)=D(X,+X2+X3)=32

叫XI+X?+X3)]=料X|+X2+X,)=(

=EY2-(EY)2=EY2

：.EY2=^+-・,•选C。

3

42.设□的方差存在，且口，则().

(A)D(XY)=DXDY；(B)D(X+Y)=DX+DY;

(C)X与y独立；(D)X与丫不独立。

解：口

=DX+DY+2(EXY-EXEY)=DX+DY・••选B。

43.若随机变量□满足口，且口，则必有().

(A)x,y独立；(B)x,y不相关；

(C)DY=O;(D)D(XD=Oo

解：□不相关。

・♦・选B。

44.设□的方差存在，且不等于0,则□是口()。

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；

(B)独立的必要条件，但不是充分条件；

(C)不相关的必要条件，但不是充分条件；

(D)独立的充分必要条件.

解：由口与□不相关

・•・□是不相关的充要条件。A.C不对.

由独立口，反之不成立

・・・选B。

45.设□的相关系数□，则()

(A)x与y相互独立；(B)x与y必不相关；

(O存在常数。/使尸(y=〃x+〃)=i；

(D)存在常数。力使p(y=ay2+b)=i。

解：|PXY1=1O存在a,b使P(Y=aX+b)=\

选c.

46.如果存在常数口，使口，且口，那么□的相关系数口为().

(A)1;(B)-1;(C)|p|=l;(D)|p|<l.

解：口

以概率1、cov(X,y)以概率।aDX_a

DY=crDXPxY~4DX>[DY\a\DX~\a\

匚I,以概率1成立。

・•・选C。

47.设二维离散型随机变量□的分布律为

X012

00.10.050.25

100.10.2

20.2().10

贝I().

(A)x,y不独立；(B)x,y独立；

(c)x,y不相关；(D)x,y独立且相关。

解：□

P(X=0)P(r=0)=(0.1+0.05+0.25)(0.1+0.2)

=0.4x0.3=0.12

尸(x=o,y=o)wp(x=o)p(y=o)

・•・x与y不独立。选A.

48.设□为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数□和口，必有()o

(A)P(\X-Cf>8)=E\X-C\/s；

(B)P(|X-C|>£)>E\X-C\/e;

(C)P(|X-C|>£)<E\X-C\/S\

(D)P(|X-C|>£)<DXIS2.

解：□

<f^^^fix)^=-E\X-C\

J7g£

选c。

49.设随机变量□的方差为25,则根据切比雪夫不等式，有口()o

(A)<0.25;(B)<0.75;(C)>0.75;(D)>0.25.

解：□

选C.

50.设□为独立随机变量序列，且□服从参数为□的泊松分布，匚］,则（）o

沙.-成

(A)limP---------<x>=6(x);

nA,

(B)当□充分大时，口近似服从标准正态分布;

（0当〃充分大时，gXj近似服从N（〃Z成）；

（D）当口充分大时，口。

解：由独立同分和中心极限定理□近似服从口

选C

设口为独立随机变量序列，且均服从参数为口的指数分布，则（）.

(A)limP\，二中。）；

ll^x>〃/万

aZXj-n

(B)limP\—―.......<r■=①(x);

n-yx>

z^-4

f1zt,

(C)limP-=----；——<x>=①⑴；

me1/22

(D)limP—-------<x

n

\nn

M：EX.=-DXi不

122

Ex,.---n

由中心极限定理limP,」“]

<x•=limP,—<x=①（X）.

rt-»x

：.选Bo

52.设□是总体□的样本，□已知，□未知，则不是统计量的是（）0

(A)X,+5X4;(B)VX._/z.

1=1

(0X,-a;(D)£X；o

/=1

统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数。

・•・选Co

53.设总体□为来自□的样本，则口()。

(A)p;(B)1一〃；

(c)《p"(l-p尸;(D)C*l-

解：□相互独立且均服从口故口

即nX~B5,p)则P(X=-)=P(nX=k)=C^pk(\-p)n-k

n

：.选C。

54.设□是总体□的样本，□和□分别为样本的均值和样本标准差，则().

(A)9/S~"〃一I):(B)》~N(O,1);

(C)(«-1)52-72(/?-1);(D)五》~«〃-1)。

解：x=—£XjEX=0,DX=-n=-/.X〜N(0,上)B

n~nn

(n-\)S2

二.^^S2=(H-1)S2-Z207-1)

9

b

••••II..............A4皆。

・・.选C。

5