数字信号处理 第2版 课件 第2章 离散时间信号的傅里叶变换与z变换

第二章离散时间傅里叶变换

(DTFT)与Z变换第二章离散时间傅里叶变换

(DTFT)与Z变换2.0信号的正交分解2.1连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)与拉普拉斯变换(LT)2.2离散时间傅里叶变换(DTFT)2.3z变换2.4连续时间信号的抽样及抽样定理2.5离散信号的ZT、DTFT与连续信号的LT、CTFT的关系引言——色彩斑斓的世界引言——好听悦耳的声音噪声滤除（FT变换）——Removethe60HzHumfromaSignalFTIFT60Hz干扰滤波数据压缩(DCT变换)DCT

舍弃小于阈值的变换系数§2.0信号的正交分解矢量正交及正交分解信号正交信号的正交分解重点：信号正交分解的概念和方法一、矢量正交及正交分解

矢量正交：矢量vx

与vy

的内积为0。

正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量vx=（1，0，0）、vy=（0，1，0）、vz=（0，0，1)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备。vx

=(vx1,vx2,vx3)

；vy

=(vy1,vy2,vy3)二、信号正交设信号

(t)或

(n)为信号空间H中的一个元素，定义内积或若，则称信号

1和

2正交。二、信号正交

若N个信号

1，

2，…，

N，组成的{

i}集合满足则称{

i}为信号空间H上的正交基。如果在正交基{

i}之外，不存在信号

≠0，满足则称{

i}为完备正交基。(i=1，2，…，N)若Ci

=

1，则称{

i}为归一化正交基。

二、信号正交例如：三角函数集{1，cos(kΩ0t)，sin(kΩ0t)，k=1,2,…}虚指数函数集{，k=0，±1，±2，…}是连续信号空间上的完备正交基。是离散信号空间上的完备正交基。虚指数函数集三、信号的正交分解信号空间H中的信号x，可以在完备正交基{

i}上作正交分解由有

i称为分解系数。三、信号的正交分解正交分解性质1、分解系数

i是信号x在基向量{

i}上的准确投影。2、正交变换保证变换前后能量不变，该性质称为Parseval定理。小结——信号的正交分解信号空间H：任意信号x，完备正交基{

i}，则x可以正交分解分解系数i：§2.1连续时间信号的傅里叶变换(FT)与拉普拉斯变换(LT)连续信号的傅里叶变换连续信号的拉普拉斯变换重点：FT和LT的定义对难点：频谱的概念一、连续信号的傅里叶变换连续周期信号的傅里叶级数(FS)连续非周期信号的傅里叶变换(FT)连续周期信号的傅里叶变换1.连续周期信号的傅里叶级数(FS)(1)三角形式的FS(3)连续周期信号的功率——Parseval等式(2)指数形式的FS(1)三角形式的FS设周期信号x(t)，其周期为T，角频率

0=2

/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为x(t)的傅里叶级数

系数ak,bk称为傅里叶系数

谐波形式式中，A0=a0周期信号可分解为直流和许多余弦分量之和。

A0/2为直流分量

A1cos(

0t+

1)称为基波或一次谐波

A2cos(2

0t+

2)称为二次谐波……

Akcos(k

0t+

k)称为k次谐波。ak=Akcos

k，bk=–Aksin

k，k=1,2,…将上式同频率项合并，可写为周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将Ak~(k0)和

k~(k0)的关系分别画在以

为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为k≥0，所以称这种频谱为单边谱。频谱概念频谱概念频谱概念演示频谱概念(2)指数形式的FS系数X(jk

0)称为复傅里叶系数

利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可从三角形式推出：CTFS双边频谱(3)周期信号的功率——Parseval等式物理意义：直流和k次谐波分量在1

电阻上消耗的平均功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。周期信号功率式证明证明:信号频带宽度的概念

集中信号主要能量（功率）的频率范围称为信号的频带宽度，或简称为信号的带宽，用符号

F表示。总功率90%为限。(由Parseval定理求)语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号

50~15,000Hz，扩音器与扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。系统的通频带>信号的带宽，才能不失真,k=0,±1，±2，…[例2-1-1]求周期矩形信号的频谱。sinc函数：sinc(t)10t

2

3

－

－2

－3

sinc(t)是偶函数

当t→0时，sinc(t)=1；当t=k

时，sinc(k

)=0T

=

5

特点：离散性;谐波性;收敛性

0=2

/T

0=2

/T谱线的结构与波形参数的关系①脉冲宽度

与频谱的关系信号的频带宽度(频宽)与脉冲宽度(时宽)成反比谱线的结构与波形参数的关系②信号周期T与频谱的关系⑴T增加，不影响振幅的收敛性，但会增加谱线密度。⑵当T

时，信号成为非周期信号，谱线幅度降低为无穷小，谱线密度加大，频谱成为连续谱。(1)从周期信号的FS到非周期信号的FT2.非周期信号的傅里叶变换(CTFT)(2)非周期信号的能量——Parseval等式学习目标：理解FT物理意义熟悉FT常用变换对区别频谱强度和频谱密度(1)从周期信号的FS到非周期信号的FTT

时，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数：X(j

)称为x(t)的频谱密度函数，简称频谱。CTFT(1)从周期信号的FS到非周期信号的FT时域频域[说明]②

FS:周期函数

离散函数。FT：非周期函数

连续函数；频谱强度频谱密度①

x(t)和X(j

)是一一对应的。相同信号的不同表达形式，包含了相同的信息。FT将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的函数，将信号从时域变换到了频域。

建立在这种变换上的分析方法称为变换域法。③公式的适用条件④在频域中用j

作自变量，目的是为了便于引入拉普拉斯变换有限间断点、有限极值点、x(t)绝对可积（b）能量有限（a）Direchlet条件(充分条件):（c）引入冲激信号，可以表示更多的函数（如周期信号、功率信号）[说明][例2-1-2]求门函数g

(t)的频谱。[作业]求频域函数的原函数。理想低通滤波器[解][例2-1-3]求冲激函数(t)的频谱。[解]白色谱or均匀谱CTFT的对称性质：若则直流信号[例2-1-4]求取样函数的频谱。

=2【作业】41(2)非周期信号的能量密度——Parseval等式时频能量守恒[例2-1-5]求取样函数的能量。[解](2)非周期信号的能量密度——Parseval等式[证明]3.周期信号的傅里叶变换周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；？那么，周期信号可否实现傅里叶变换

在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。[例2-1-6]令求其傅里叶变换。因为：所以，严格意义上的傅里叶不存在，可将其展开为傅里叶级数：[解]已知频移性质∴∴FSFT线谱[例]求单位冲激串的频谱[解]傅里叶级数展开∴由有二、连续信号的拉普拉斯变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系学习目标：了解引入LT的意义熟悉LT与FT的关系1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换优点：物理意义明确解决方法：引入拉普拉斯变换(广义傅里叶变换)傅里叶变换局限性：

工程实际中许多信号不存在FT系统分析不方便信号x(t)的FT是

对于不满足绝对可积条件的x(t)，乘以衰减因子e-

t(

为实常数

)，使得x(t)e-

t的FT存在1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换相应的有令则s

具有频率的量纲,称为复频率拉氏正变换(象函数)拉氏反变换(原函数)收敛域s平面(splane)s=

+jRe[s]jIm[s]使X(s)存在的s区域称为

X(s)的收敛域(RegionOfConvergence)，简记为ROC，即能使x(t)e-

t

绝对可积的

值。[例2-1-7]求的象函数。因果信号的收敛域X(s)的收敛域为Re[s]=

>

0，即s平面的右半平面收敛坐标收敛域收敛轴ROC以X(s)的极点为边界但不包括极点splane2.傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系

若信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域包含虚轴，则其傅里叶变换和拉普拉斯变换同时存在，此时有虚轴上的拉普拉斯变换就是傅里叶变换2.傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系小结FTLT频域复频域信号分析系统分析§2.2离散时间傅里叶变换(DTFT)序列的DTFT定义序列的DTFT的性质学习目标：1.理解定义，计算频谱2.理解性质，了解应用3.深刻理解周期与离散的对应关系从FT到DTFT周期or非周期？连续or离散？一、序列的DTFT定义X(ej

)是

的连续函数

X(ej

)是周期为2

的周期函数

DTFT存在的充分条件是序列绝对可和或平方可和DTFT:IDTFT:证明证明：两边同乘以，在一个周期内积分若一致收敛，交换积分与求和次序m换成n一、序列的DTFT定义

序列的DTFTX(ej

)一般为

的复函数，可表达为幅度谱和相位谱的形式，也可表达为实部和虚部的形式。相位谱的主值区间为(-

，][例2-2-1]

试求序列x(n)=anu(n)的DTFT。

当|a|>1时，求和不收敛，序列的DTFT不存在。

当|a|<1时，[解][例2-2-1]

试求序列x(n)=anu(n)的DTFT。[解]a=0.5[例2-2-2]试求矩形序列x(n)=R5(n)的频谱。[解]N为奇数周期2

Dirichlet函数过零点：周期函数N为偶数周期4

N越大，主瓣越窄Dirichlet函数主瓣边瓣周期函数一、序列的DTFT定义DTFT的收敛性

定义X(ej

)的部分和绝对可和一致收敛能量有限均方收敛

若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。

若序列满足平方可和，则序列存在DTFT。（充分条件）[例2-2-3]理想低通滤波器的频率响应为试求其单位抽样响应[解]平方可和HP、BP、BS的单位抽样响应？？69均方收敛于Gibbs现象小测试：1.已知x(n)是离散、非周期信号，则其频谱是（）。A、连续、非周期信号；B、连续、周期信号；C、离散、非周期信号；D、离散、周期信号；B二、序列的DTFT的性质1.线性特性2.移位特性3.卷积特性4.Parseval定理5.

对称特性（奇偶、虚实性质）二、序列的DTFT的性质1.线性特性若则有二、序列的DTFT的性质若则

序列的时域位移对应频域的相移序列的时域相移对应频域的频移2.移位特性幅度调制幅度调制信号（窄带信号）说明待调制信（低频）(modulatingsignal)载波信号（carriersignal）调制信号(modulatedsignal)优点：1、减少信号衰减，增强抗干扰能力。2、频分多路（frequency-divisionmultiplexing,FDM）小测试：B

的DTFT是（）。A、B、C、D、二、序列的DTFT的性质3.卷积特性

序列时域的卷积对应频域的乘积序列时域的乘积对应频域的卷积周期卷积系统响应信号加窗证明证明输入信号是x(n)=cos(0.1*n)+cos(0.4*n)。通过FIR高通滤波器h(n)=[-6.7613.4-6.76],滤除低频分量，保留高频分量。[证明][证明]二、序列的DTFT的性质

序列时域的能量等于频域的能量4.Parseval定理证明[证明][例2-1-4]已知x(n)为一有限长序列且

不计算x(n)的DTFTX(ej

)，试直接确定下列表达式的值。

(1)(2)(3)(4)[解]0，0，

2

，88二、序列的DTFT的性质5.对称特性（奇偶、虚实性质）共轭对称序列共轭反对称序列偶对称序列奇对称序列共轭对称的概念：

共轭对称是实数域的偶对称在复数域的推广5.对称特性序列x(n)能表示成共轭对称与共轭反对称序列之和：序列x(n)也能表示成实部与虚部序列之和：5.对称特性若则对称特性5.对称特性当x(n)是实序列时共轭对称5.对称特性将X(ejω)分解为实部和虚部实部偶对称，虚部奇对称当x(n)是实序列时将X(ejω)分解为幅度和相位幅度偶对称，相位奇对称[例2-2-1]

试求序列x(n)=anu(n)的DTFT。[解]a=0.5实部偶对称虚部奇对称5.对称特性共轭对称分量共轭反对称分量共轭反对称分量共轭对称分量实部虚部(含j)实部虚部(含j)Hilbert变换例题二、序列的DTFT的性质905.对称特性当x(n)为实偶序列时，由于x(n)=x*(-n)，所以当x(n)为实奇序列时，由于x(n)=-x*(-n)，所以Re[X

(ej

)]=0;X(ej

)是

的虚奇函数Im[X

(ej

)]=0;X(ej

)是

的实偶函数Hilbert变换关系实因果信号傅里叶变换的一些内部关系：实因果信号直角坐标92例题——DTFT的性质若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其DTFT的虚部为:

，求序列h(n)及其DTFT。93n=0实因果序列的分解四、小结一个变换两个规律小结：(非周期)序列的DTFT离散周期实信号频谱共轭对称§2.3z变换z变换的定义和收敛域z反变换z变换的性质

z变换是离散信号与系统分析的工具，其地位犹如拉普拉斯变换在连续信号与系统分析中的地位。序列的傅里叶变换其存在的充分条件是序列绝对可和，对于不满足绝对可和的x

(n)，乘以衰减因子r-n(r

为正实常数

)，使得x

(n)r-n

满足绝对可和，则1.从

DTFT

到z变换一、z变换的定义和收敛域令z=r

e

j

(r>0)，则相应的即令z=r

e

j

(r>0)，则d

z=j

r

e

j

d

=j

z

d

的积分区间为(

-

,

)，对应的复变量z=r

e

j

的积分就是沿一条闭合曲线C的曲线积分，即一、z变换的定义和收敛域Laurent级数X(z)收敛充要条件——级数绝对可和2.收敛域z变换的收敛域形式通常为Rx-<

|z|

<

Rx+对序列做z变换后，必须标出收敛域。能够使X(z)收敛的z值区域称为z变换的收敛域(RegionofConvergence,ROC)一、z变换的定义和收敛域(1)有限长序列3.四类序列z变换的收敛域——有限z平面一、z变换的定义和收敛域[例2-3-1]

求以下有限长序列的z变换：

(1)(n)(2)x(n)={12321}↑n=0[解](2)因果序列一、z变换的定义和收敛域[例2-3-2]

求因果序列x(n)=an

u(n)的z变换。[解]|

a

z

-1|<1，即|

z

|>|

a

|时X

(z)才存在。(3)反因果序列一、z变换的定义和收敛域[例2-3-3]求反因果序列x(n)=-an

u(-n-1)的z变换。[解]|

a

-1z

|<1，即|

z

|<|

a

|时X

(z)才存在。(4)双边序列双边序列的ZT一定存在吗？一、z变换的定义和收敛域[例2-3-4]求双边序列x(n)的z变换。[解]通常X

(z)为z

-1

的有理分式形式，表示为方程

zNA

(z)

=

0

的根

z

=

z

i称为

X

(z)

的极点；方程

zNB

(z)

=

0

的根称为

X

(z)

的零点。4.收敛域与X(z)极点的关系把零点，极点标在z平面上就称为零、极点分布图，简称为零极图。用“×”表示极点，用“○”表示零点。一、z变换的定义和收敛域有限长序列的收敛域为0<|z|<∞因果序列反因果序列双边序列Rx-<|z|≤∞0≤|z|<Rx+Rx-

<

|z|

<

Rx+极点在圆内极点在圆外因果序列极点在内圆内反因果序列极点在外圆外ROC以极点为边界但不包括极点。一、z变换的定义和收敛域5.ZT与DTFT的关系序列在单位圆上的ZT即序列的傅里叶变换(DTFT)一、z变换的定义和收敛域小测试1、序列x(n)，其频域变换（频谱）是（）；其复频域变换是（）A、X(ej

);B、X(z)；2、z平面的单位圆是指（）A、|z|

=

1;

B、z=ej

；z=r

e

j

r

Re[z]j

Im[z]二、z反变换C为X(z)的ROC中的一闭合曲线。留数法(*)幂级数展开法部分分式法1.幂级数展开法幂级数[例2-3-5]

求IZT[解]2.部分分式法将复杂有理分式分解成若干简单分式的和。X(z)为z的有理分式，将X(z)/z用部分分式展开。2.部分分式法真分式小测试1、序列x(n)的z变换X(z)为有理分式，则其收敛域由（）确定A、X(z)的极点;

B、X(z)的零点；C、X(z)的极点和零点2、X(z)为有理真分式如下，则其极点个数为（）A、M;

B、N；C、

不确定小测试3、序列x(n)的z变换为X(z)若x(n)为因果序列，则X(z)的收敛域为（）若x(n)为反因果序列，则X(z)的收敛域为（）若x(n)为双边序列，则X(z)的收敛域为（）A、|z|<1/2；B、1/2<|z|<2;C、|z|>2;

[例2-3-6]设其收敛域分别为:(1)|z|>2;(2)|z|<1;(3)1<|z|<2.分别求其原序列。[解][解]∴(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2三、z变换的性质

线性移位

z域尺度变换序列的线性加权

共轭性质翻褶序列

时域卷积定理

初值定理和终值定理1.序列的移位x(n)x(n-1)X(z)z

-1X(z)延迟单元双边z变换单边z变换的移位（引入初始状态）,m>0不做要求[例2-3-6]求序列x(n)=u(n)－u(n－N)的z变换。X

(z)

在

z

=

1

处有一个一阶极点

，同时在z

=

1

处有一个一阶零点，z

=

1

的零极点相抵消。X

(z)

的收敛域为0<|

z

|≤

∞[解]差分方程的z域解[例2-3-7]

若描述因果LSI系统的差分方程为

y(n)

y(n

1)

2y(n

2)=x(n)+2x(n

2)已知x(n)=u

(n)，求系统的(零状态)响应。[解]对差分方程作z变换，得因为系统为因果系统，故ROC:|z|>22.时域卷积定理[例2-3-8]两个序列如下，试求y(n)=x(n)*h(n)[解][习1-4]求下列序列的卷积和（1）[解]ROC：|

z

|>0.3ROC：|

z

|>0.5ROC：|

z

|>0.5[例5-1-6]某离散因果系统的差分方程为(1)求系统函数H(z)及单位序列响应h(n)(2)写出系统函数H(z)的收敛域，并判断系统的稳定性(3)若输入为x(n)=12cos(2

n)，求其稳态响应y(n)(1)三、z变换的性质四、小结一个变换一个条件一个关系小结：(非周期)序列的ZT收敛域(ROC)?

z变换是离散信号与系统分析的工具，其地位犹如拉普拉斯变换在连续信号与系统分析中的地位。§2.4连续时间信号的抽样

及抽样定理重点：时域抽样

频谱周期延拓信号的抽样信号的恢复抽样定理的工程应用不同抽样频率对信号的影响问题：1.离散能够完全表示连续吗？2.怎么抽样？3.用多大的抽样频率？抽样序列频域关系?频谱相同频域关系?时域关系傅里叶变换理想抽样信号连续时间信号难点信号抽样频域分析的思路前测——冲激函数的性质连续信号x(t)，与冲激信号

(t-t0)相乘，示意图为（）;与冲激信号

(t-t0)卷积，示意图为（）。A、Bx(t)

(t-t0)=x(t0)

(t-t0)x(t)

*

(t-t0)=x(t-t0)

一、信号的抽样×=×=*=如果原信号频谱以

s发生周期延拓一、信号的抽样一、信号的抽样FTFTFT一、信号的抽样频谱混叠时域抽样定理（奈奎斯特抽样定理）最低允许的抽样频率fN=2fh称为奈奎斯特频率；最大允许的抽样间隔TN=1/(2fh)称为奈奎斯特间隔。

频谱在区间(

fh,fh)以外为零的频带有限信号，要想抽样后能够不失真的还原，抽样频率必须大于或等于2fh

。(美国1889-1976)奈奎斯特一定必须2倍吗？若：，太大了！窄带信号抽样定理压缩感知（Compressivesensing）一定要等间隔抽样吗？

2004年，大牛证明，如果信号是稀疏的，那么它可以由远低于采样定理要求的随机采样点重建恢复。压缩感知（Compressivesensing）图1传统压缩方法图2压缩传感理论框架

压缩感知是一种全新的数据采集和编码理论，它以远低于Nyquist采样频率的非自适应性测量和优化方法高概率重构信号，合并采样和压缩过程，是信号处理领域的研究热点和新的框架。压缩感知（Compressivesensing）[例1]已知信号x

(t)是最高频率分量为3kHz的频带有限信号，设

y

(t)=x

2(t)

，若对

y

(t)

进行理想抽样，求不使频谱发生混叠的最低抽样频率fs。

x

2(t)←→(1/2

)·

X

(j)*

X

(j)

最低抽样频率fs=2fh

=12kHz最高频率为6kHz

x

(t)←→X

(j

)最高频率为3kHz[解][练习]信号x(t)=Sa(100t)，若对其进行抽样，求不使频谱发生混叠的最低抽样频率fs。x

(t)的最高频率为fh

=50Hz最低抽样频率fs=2fh

=100Hz[解]二、信号的恢复×=*=内插函数二、信号的恢复二、信号的恢复IFT在每一抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各抽样点上信号值不变，而抽样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成。正交分解三、抽样定理的工程应用许多实际工程信号不满足带限条件

防混叠低通滤波器

)j(1

X-

s/210

s/2151混叠误差与截断误差比较

)j(1

X-

s/210

s/2T1

)j(

sX

s0......-

s

s/2-

s/2)j(

sXT1

0......-

s-

s/2