上海市杨浦区2026届高三一模数学试题（含答案详解）

杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科 2025.12.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟。一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.不等式x-2x+3＜2.函数y=3sin23.已知向量a=23,b=3x4.若复数z满足：zi=1-25.在二项式(x-2)⁶的展开式中，x²的系数为.6.已知圆锥的底面半径为1，高为3,则该圆锥的侧面积为7.圆C:x-52+y-32=10的圆心到直线l:8.已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为23、34,两人各投一次，假设事件“甲命中”与“9.等差数列{an}的公差不为0，前n项和为Sn，若a3,a10.已知定义在R上的函数y=f(x)为奇函数，且为偶函数，则1f11.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC，且AC＜BC，用测角仪测得∠MCA，∠NCB的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角:①∠ABC;②∠ACB;③∠BAC;④∠MCN,其中一定能唯一确定M，N之间的距离有.(写出所有正确的序号)12.数列.A:a₁,a₂,……,a₁₀₀满足:a1∈N1≤i≤100,且1=a1＜a2＜⋯＜a100=2025,记集合或二、选择题(本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知实数a,b,c,d满足:a＞b＞c＞d,则下列不等式恒成立的是 ()A.a-c＞b-d B.a+c＞b+d C.ab＞cd D.ac＞bd14.若m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论中正确的是 ()A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m∥n,n⊂α,则m∥αC.若m.⊂α,m⊥β,则α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β215.已知双曲线:x24-y29=1,点M(4，6)，点A、A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值16.函数y=f(x)的定义域、值域均为R，定义集合Ma=t∣t=fx-fax≥a.给出如下两个结论：①存在函数y=f(x),使得对任意实数a均有Ma=0+∞A.①正确,②正确B.①正确,②错误 C.①错误,②正确 D.①错误,②错误三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB(1)求直线.A1C与平面ABCD所成角的大小；((2)求三棱锥.M-AA318.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f(1)记gx=fx+fx+(2)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知fC+π4=-19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)在考核成绩为[70,80),[80,90),[90,100]的三组学生中,用分层抽样的方法抽取13人,则考核成绩在[70，80)中的学生应抽取多少人?(3)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4,方差是5.2,落在[60,70)学生的平均成绩为66.4,方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知椭圆((C:x2a2+y22=1a2),过动点M(0，m)的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P(点P在第一象限)，过点(1)若椭圆C的离心率为32,求(2)已知m=33,且BQ是线段(3)已知(a=2,点M是线段PN的中点，且QM=2MB,求直线21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知区间.I⊆R,函数y=f(x)的定义域为I，若函数y=f(x)满足：对任意x1,x2∈I,均有(1)判断函数fx=x(2)若函数fx=e(3)已知函数y=fx,x∈I为压缩函数，求证：5杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科答案详解2025.12.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.不等式x-2x【答案】(-3,2)【解析】【分析】根据题意，转化为(x-2)(x+3)＜0，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式x-2x+3＜0,可得(x-2)(x+3)＜0,所以不等式x-2x+3＜故答案为：(-3,2).2.函数y=3sin【答案】π【解析】【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式T=2第1页/共23页【详解】函数y=3sin故答案为：π.3.已知向量a=23,b=3x【答案】-2【解析】【分析】由向量垂直坐标表示可得答案.【详解】因a⊥b,故答案为：-24.若复数₂满足：zi=1【答案】5【解析】【分析】先根据复数的运算求出复数z，再根据复数的模的计算公式即可求出答案.【详解】由zi=1-2i得，z=i(1-2则∣故答案为：55.x-26的展开式中【答案】240【解析】【分析】先求得(x-2)⁶的展开式的通项公式，再令x次数为2求解.【详解】x-26令6-r=2,求得r=4,所以(x-2)⁶的展开式中x²的系数为C第2页/共23页故答案为：240【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题.6.已知圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面积为.【答案】2π【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解.【详解】由已知可得r=1,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π.故答案为2π.【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，侧面积公式S=πrl.7.圆C:x-52+y-32=10的圆心到直线【答案】22【解析】【分析】利用点到直线的距离公式计算即得.【详解】圆C:x-52+y-32=10的圆心C(5d故答案为：28.已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为23、34,两人各投一次，假设事件“甲命中”与“【答案】11第3页/共23页【解析】【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可.【详解】记事件A=“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为A=⋯甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得PA=故答案为：119.等差数列an的公差不为0’前n项和为Sn，若a₃’a₅’a₈成等比数列，则【答案】7【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为‘d(d≠0),根据条件得a1=2d【详解】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为a₃,as,a₈成等比数列,则a52=a3a所以S故答案为：7.10.已知定义在上的函数y=f(x)为奇函数，且g(x)={【答案】-3第4页/共23页【解析】【分析】先根据f(x)为奇函数，得flog23=-f-log【详解】因为函数y=f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),得f又因为g(x)={因为log23＞故答案为：-3-311.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC，且AC＜BC,，用测角仪测得∠MCA，∠NCB的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①∠ABC:②∠ACB;③∠BAC;④∠MCN,其中一定能唯一确定M,N之间的距离有.(写出所有正确的序号)【答案】②③④【解析】【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知MA，MC，NB，NC均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断AB是否确定，再根据勾股定理判断MN是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断.第5页/共23页AB=c在Rt△MAC中,CM同理可得CN由于a,b,θ,α:均为已知量，故m,n,h₁,h₂均为定值.对于①：在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos∠ABC,且例如，若a则可得c2+3-1=2⋅3⋅由勾股定理可得MN=AB2+NB-MA2=c2+对于②：在△ABC中，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos∠ACB又因为MN=c2+h2-h12,其中c对于③：在△ABC中，由余弦定理可得a2c2-2bccos∠BAC+b2故该方程为关于C的一元二次方程.又∵故Δ=4b2cos第6页/共23页由韦达定理可知，c1c2=b2-a2＜0,即C₁，C₂异号，因此该方程仅有1个正数解，即C有唯一确定解，又因为MN=对于④：在△MCN中由余弦定理可知，MN2=m2+n2-2mncos∠MCN,因为故答案为:②③④.12.数列A:a₁,a₂,···,a₁₀₀:满足：a1∈N1≤i≤100,且1=a1＜a2＜⋯＜a100=2025,记集合1或.【答案】1926【解析】【分析】由题意，要bi＜bi+1,则要满足maxbi＜minbi【详解】由题意，要b1＜b即ai+1由已知数列A为递增数列，a则有a设a2=k又a1＜a2,则k＞a99＜a100,则k+97＜第7页/共23页所以k∈[2,1927],则整数个数为1927-2+1=1926,则“好的”数列A的个数为1926.故答案为:1926.二、选择题(本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知实数a,b,c,d满足:a＞b＞c＞d,则下列不等式恒成立的是()a-c＞b-da+c＞b+dab＞cdD.ac＞bdA.B.C.【答案】B【解析】【分析】举出反例可判断ACD，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案.【详解】对于A,令a=4,b=3,c=2,d=1,满足a＞b＞c＞d,此时a-c=2,b-d=2,a-c=b-d故A错误；a＞b,c＞d a+c＞b+d对于B，由 两式相加得 , 故B正确；对于C，令a=1,b=0,c=-1,d=-2满足a＞b＞c＞d,此时ab=0,cd=2,ab＜cd,故C错误；对于D，令a=1,b=-1,c=-2,d=-3满足a＞b＞c＞d,此时ac=-2,bd=3,ac＜bd,故D错误.故选：B14.若m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论中正确的是()A.若m//α,n⊂α,则m∥n B.若m∥n,n⊂α,则m∥αC.若m⊂α,m⊥β,则(α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β第8页/共23页【答案】C【解析】【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD.【详解】若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n为异面直线,故A错误;若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,故B错误;若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，满足面面垂直的判定定理，故C正确；若”m⊂α,α⊥β,这缺少了2个条件,即α∩β=l,m故选:C.15.已知双曲线C:x24-y29=1,点M(4,6),点A、BA.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到点M在双曲线的渐近线y=3【详解】由双曲线C:x24-y29=1,可得a=2，b=3，所以双曲线的其中一条渐近线方程为y=32x,则点M(4，6)满足渐近线第9页/共23页过点M作x轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为A，B两点，此时MA,MB=π,因为θ∈0π,所以向量MA,MB故选:A.16.函数y=f(x)的定义域、值域均为R，定义集合Ma=t∣t=fx-fax≥a.给出如下两个结论：①存在函数y=f(x)，使得对任意实数a均有Ma=0+∞A.①正确,②正确 B.①正确,②错误C.①错误,②正确 D.①错误,②错误【答案】B【解析】【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设f(x)={0,x=01x,x≠0$,分b【详解】假设f(x)=x,f(x)在R上单调递增函数，对于任意实数a，t=f(x)-f(a)=x-a,x≥a,第10页/共23页∵x≥a设f(x)={0,x=0此时取a=2,则Ma=t当b＞0时,Mb={t∣-fb＜t因为a＞b＞0,所以f(a)＜f(b),所以-f(a)＞-f(b),此时Mb⊇M当b＜0时,M取a=2, 则Ma={t∣-1综上，不存在实数b，使得对任意a∈R均有Mb⊆M0故选:B.三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D第11页/共23页(1)求直线A₁C与平面ABCD所成角的大小：(用反三角表示)(2)求三棱锥M-A【答案】128【解析】【分析】(1)先找出·∠ACA1即为直线A1C与平面(2)根据VM-【小问1详解】连接AC，由题意得A则∠ACA₁即为直线4₁C与平面ABCD所成角,∠又AD在直角△ACA₁中,ACsin∠ACA所以直线A₁C与平面ABCD所成角的大小为arcsin第12页/共23页【小问2详解】由题意得，BB₁//₂平面AA₁C,则V所以三棱锥M-AA18.已知函数f(1)记gx=fx+fx+(2)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知fC+π4=-【答案】(1)证明见解析2【解析】【分析】(1)利用诱导公式得gx(2)利用辅助角公式整理f(x)，根据已知求出(cosC=-14,第13页/共23页【小问1详解】根据题意，g=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx,则g所以函数y=g(x):为偶函数；【小问2详解】由辅助角公式得f贝f所以cosC=-1由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab则3b2-32b-9由已知得C∈π2所以S19.为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.第14页/共23页(1)求频率分布直方图中a的值；(2)在考核成绩为[70,80),[80,90),[90,100]的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在[70，80]中的学生应抽取多少人？(3)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60,70)学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差。(结果精确到0.1)【答案】(1)a=0.03(2)6(3)平均数为62.4，方差为39.9【解析】【分析】(1)利用频率之和为1结合频率分布直方图列式求出a；(2)利用频率分布直方图求出成绩为[70，80),[80，90),[90，100]的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可；(3)先利用频率分布直方图求出[50，60)和[60，70)的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可。【小问1详解】由频率分布直方图可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1解得a=0.03【小问2详解】第15页/共23页由频率分布直方图知,样本考核成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组学生有100×10×(0.03+0.025+0.01)=65(人),其中样本考核成绩在[70,80)的市民人数为100×10×0.03=30,用分层抽样的方法应从考核成绩在[70，80)的市民中抽取3065×13【小问3详解】由频率分布直方图知,成绩在[50,60)的学生人数为100×0.1=10,成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20,所以总平均数z总方差s20.已知椭圆C:x2a2+y22=1a2),过动点M(0，m)的直线交x轴于点N，交椭圆C于A'p(点P在第一象限)，过点(1)若椭圆C的离心率为32,求第16页/共23页(2)已知m=33,且BQ是线段(3)已知a=2,点M是线段PN的中点,且QM=2MB,【答案】123【解析】【分析】(1)根据离心率的概念列式求a即可.(2)根据题意，设Px0233,则N-x00,Q(3)根据题意，可求出P，M，B，A的坐标，进而求直线AB的斜率.【小问1详解】因为a＞2=因为e=32,所以1-2【小问2详解】因为m=33,且BQ所以M033是线段所以可设Px02第17页/共23页所以NP由NP又点在第一象限，所以Px0＞0,所以又点p在椭圆x2a2又a＞0,所以a【小问3详解】因为a=2,所以椭圆(C:x如图，作出符合题意的图形，因为点M(0，m)是线段PN的中点，可设Px02设B(x₁,y₁)因为因为P,B都在椭圆C上，所！ 第18页/共23页因为点P在第一象限，所以{所以因为kMP=147221由由221所以y可得kAB=51414+21.已知区间I⊆R,函数y=f(x)的定义域为I,若函数y=f(