2025-2026学年3.1-3.2确定位置与平面直角坐标系讲义北师大版八年级数学上册【附答案】

/第06讲位置与坐标模块一确定位置与平面直角坐标系知识清单知识点01

有序数对有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．知识点02

平面直角坐标系1.两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．2.如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．3.象限和坐标轴：（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．题型精讲题型01用有序数对表示位置/路线1．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（）A．东经，北纬B．礼堂6排22号C．重庆市宏帆路D．港口南偏东方向上距港口10海里2．若电影票上“2排4号”记作，则表示（

）A．“5排4号” B．“4排5号” C．“5排5号” D．“4排4号”3．如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（

）．A． B． C． D．4．下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m．(1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰车_____；(2)秋千的位置是，请在图中标出来；(3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来．题型02判断点所在的象限5．点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．在平面直角坐标系中，点落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型03建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标7．请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为．(1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；(2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置．8．如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为；(1)请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系；(2)分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标．题型04求点到坐标轴的距离9．点到轴的距离是，到轴的距离是，到原点的距离是10．在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为．题型05已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标11．若在x轴上，则P的坐标是．12．若点在y轴上，则点P的坐标为．题型06已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标13．已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标．(1)点在轴上；(2)点到轴的距离为5，且在第四象限．(3)若点与轴平行．14．已知点，分别满足下列条件，求出点的坐标：(1)点在轴上；(2)点在轴上；(3)点的坐标，直线轴；(4)点到两个坐标轴的距离相等题型07坐标与图形15．已知：，，(1)在坐标系中描出各点，画出；(2)求的面积；(3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标．16．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A0,3；；；；；；．(1)点到原点的距离是________．(2)将点向轴的负方向平移个单位，它与点________重合．(3)连接，则直线与坐标轴是什么关系？(4)点分别到、轴的距离是多少？素养提升17．如图，平面直角坐标系中，点，，．(1)点C到y轴的距离为______；(2)求的面积；(3)若点P的坐标为，①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）②当时，求点P的坐标．课后作业一、单选题1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（

）A． B． C． D．2．已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知在第四象限的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（

）A． B． C． D．或4．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题5．若点在y轴上，则P点坐标为．6．在图中，学校大门位于点0,3，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点()．操场位于点()，在大门的()偏北()°方向上．模块二坐标与轴对称知识清单知识点01

坐标系中点关于x轴，y轴对称（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．知识点02

坐标系中点的关于某点或某直线对称（1）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（2）点关于点的对称点是．（3）点关于的对称点是．（4）点关于的对称点是．（5）点关于一三象限的平分线的对称点为．（6）点关于二四象限的平分线的对称点为．题型精讲题型01

关于x轴、y轴对称的点的坐标1．点关于x轴对称的点的坐标为．2．点，，若，关于轴对称，则，；若，关于轴对称，则，．题型02

利用x轴、y轴对称的点的坐标求参数3．点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，则，．4．已知点，点关于x轴对称，则的值是.题型03

求点关于某直线的对称点5．点关于直线对称的点的坐标是．6．点关于直线对称的点的坐标为．7．已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称．8．点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为．题型04

作图轴对称变换9．如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．(1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为；(2)求（1）中得到的的面积．10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都边长为1的正方形网格的格点上．(1)写出A，B，C的坐标_______；(2)画出关于x轴对称的；(3)的面积为_______．题型05

利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题11．在平面直角坐标系中，的顶点坐标．(1)在图中作出关于轴对称的图形；(2)在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置并写出点坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：；(3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹）素养提升13．阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．

【直接应用】(1)已知，求P、Q两点间的距离；(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式的最小值是多少？课后作业一、单选题1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知点与点关于轴对称，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题3．点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为．4．已知点关于轴的对称点在第三象限，为整数，则点的坐标为．三、解答题5．如图，的顶点坐标分别为，，．将关于轴对称后得到，且点、、的对应点分别为、、．(1)请在图中画出；(2)点C与之间的距离为______．模块一确定位置与平面直角坐标系参考答案：1．C【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．【详解】解：A、东经，北纬的位置明确，故A不符合题意；B、礼堂6排22号的位置明确，故B项不符合题意；C、重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意；D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确，故D项不符合题意；故选：C．2．A【分析】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，由于将“2排4号”记作，根据这个规定即可确定表示的点．【详解】解：∵“2排4号”记作，∴表示5排4号．故选：A．3．A【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，解：A．，原A位置表示错误，故该选项符合题意；B．，B点位置表示正确，故该选项不符合题意；C．，D点位置表示正确，故该选项不符合题意；D．，E点位置表示正确，故该选项不符合题意；故选：A．4．(1)，，(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了用有序数对表示位置；（1）根据题意找到跷跷板、摩天轮、碰碰车的位置即可；（2）根据位置标出坐标即可；（3）根据位置标出坐标即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得跷跷板，摩天轮，碰碰车，故答案为：，，；（2）解：如图所示，秋千的位置是，（3）解：如图所示，旋转木马的位置是，5．C【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据第三象限内的点横坐标和纵坐标均为负数即可判断求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：点所在的象限是第三象限，故选：．6．B【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【详解】解：∵，∴在平面直角坐标系中，点落在第二象限，故选：B．7．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了建立平面直角坐标系和点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先建立合适的坐标系，再表示出所求点的坐标即可；（2）直接在坐标系中标出各点即可．【详解】（1）解：画坐标轴如图所示，火车站，体育场，医院；（2）解：如图所示．8．(1)建立坐标系见解析(2)教学楼，校门，旗杆，实验楼【分析】本题考查图形与坐标，涉及由已知点的坐标见平面直角坐标系、由坐标系中点的位置写坐标等，熟记图形与坐标的定义与性质，数形结合是解决问题的关键．（1）根据题中图书馆的坐标为即可建立平面直角坐标系；（2）由（1）中建立的平面直角坐标系，结合教学楼、校门、旗杆、实验楼的位置即可得到具体坐标．【详解】（1）解：图书馆的坐标为，建立坐标系如图所示：（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：教学楼1,0，校门，旗杆，实验楼．9．【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离.求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离，求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离，求点的长度可得出到原点的距离．【详解】解：点P坐标为−2,3，点P到x轴的距离是；到y轴的距离，到原点的距离为，故答案为：．10．【分析】本题考查点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．根据点A在第四象限可得点A的横坐标为正，纵坐标为负，再根据题干中到x轴和y轴的距离即可求解．【详解】解：∵点A在第四象限，∴点A的横坐标为正，纵坐标为负，∵点A到轴的距离为3，到轴的距离为6，∴点A的坐标为，故答案为：．11．【分析】本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可．【详解】解：点在轴上，，解得，，点的坐标为．故答案为：．12．0,1【分析】此题考查了平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系的性质可得，求得，即可求解．熟练掌握平面直角坐标系的有关性质是解题的关键．【详解】解：由题意可知，解得，则，故点的坐标为0,1，故答案为：0,1．13．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，可得，解方程即可解答；（2）根据题意，可得，结合点在第四象限，舍去不符合条件的坐标即可解答．（3）根据与轴平行的直线上点的坐标特点可得，再进一步求解即可；【详解】（1）解：∵点在y轴上，，解得，，点P的坐标为；（2）解：∵点P到x轴的距离为5，解得或，当时，，，点在第四象限，此时，点，不合题意，舍去，当时，，，此时，点在第四象限，∴点P的坐标为．（3）解：∵点与轴平行，∴，解得：，∴，，∴；【点睛】本题考查的是轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，各象限内点的坐标特点，与轴平行的直线上点的坐标特点，方程的应用，理解坐标系内点的坐标特点是解本题的关键．14．(1)(2)(3)(4)或【分析】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键；（1）根据轴上的点的纵坐标为0，再建立方程可得答案；（2）根据轴上，横坐标为0，再建立方程可得答案；（3）根据直线轴，可得，的纵坐标相等，再建立方程求解即可；（4）根据点到两个坐标轴的距离相等，则点横纵坐标相等或点横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可；【详解】（1）解：∵点在轴上，∴即，

∴，∴，点；（2）解：点在轴上，横坐标为0，即，∴，∴，点；（3）解：∵点，点的坐标，直线轴，∴，的纵坐标相等，即，∴，∴，点.（4）解：∵点到两个坐标轴的距离相等，点在第一或第三象限，点横纵坐标相等，即，∴，∴，点，若点在第二或第四象限，点横纵坐标互为相反数，即，∴，∴，，点.15．(1)见解析(2)4(3)点的坐标为或【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键；（1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可；（2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可；（3）根据的面积求出，再进一步求解即可．【详解】（1）解：如图所示：为所求，（2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、．四边形的面积，的面积，的面积，的面积的面积四边形的面积的面积的面积的面积．（3）解：∵点在轴上，∴的面积，即，解得：．所以点的坐标为或．所以点的坐标为或．16．(1)(2)(3)直线轴或轴(4)点到轴的距离为，到轴的距离为【分析】此题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键．（1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离；（2）根据点的平移的性质得出点平移后的坐标，即可求解；（3）利用图形性质得出直线与坐标轴的位置关系；（4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离．【详解】（1）解：如图，各点在坐标轴中表示为：A0,3，点到原点的距离是，故答案为：；（2），将点向轴的负方向平移个单位，则坐标为，它与点重合，故答案为：；（3）由图可知，直线轴或轴；（4），点到轴的距离为，到轴的距离为．17．(1)1(2)(3)①；②或【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键．（1）根据点的坐标即可求解；（2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解；（3）①根据，两点坐标即可求解；②根据，，，列出方程即可求解．【详解】（1）解：∵点的坐标为，∴点到轴的距离为1，故答案为：1；（2）的面积为；（3）①∵，，∴，故答案为：；②∵，，，∴，即，∴或，∴点的坐标为或．课后作业1．B【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据平面直角坐标系中每个象限内的点的坐标特点进行求解即可．【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；B、在第二象限，符合题意；C、在第一象限，不符合题意；D、在第四象限，不符合题意，故选：B.2．B【分析】根据中点坐标公式，列式计算即可．本题考查了中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】解：设，∵点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，∴，解得，∴，故选B．3．C【分析】本题考查了点的坐标．根据点P到两坐标轴的距离相等以及在第四象限可知，解方程可求出a值，再结合点P即可得答案．【详解】解：∵第四象限的点的坐标为，点到两坐标轴的距离相等，∴，解得：，∴点的坐标为．故选：C4．B【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．作轴于E，轴于F，证明，得出对应边相等，，即可求出结果．【详解】解：作轴于E，轴于F，则，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，点C的坐标为；故选：B．5．【分析】本题考查坐标与图形，根据y轴上的点的横坐标为零求解即可．【详解】解：∵点在y轴上，∴，解得，∴，∴点P坐标为，故答案为：．6．东【分析】此题考考查了用有序数对确定位置，方向角等知识，根据图形进行解答即可．【详解】解：在图中，学校大门位于点0,3，从大门向东走米到达教学楼，教学楼位于点．操场位于点，在大门的东偏北方向上．故答案为：，，东，模块二坐标与轴对称参考答案：1．【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，故答案为：．2．25【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于轴、轴对称的点的坐标．（1）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解．（2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解．【详解】解：（1）若、关于轴对称，则，；故答案为：2；5；（2）若、关于轴对称，则，．故答案为：，．3．##【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数成为解题的关键．根据关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可．【详解】解：∵点P的坐标是，且点P关于x轴对称的点的坐标是，∴，即．故答案为：，．4．【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．两点的横坐标相等，纵坐标相加得0，即可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：∵点，点关于x轴对称，∴；解得：，∴，故答案为：．5．【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解．【详解】设点关于直线对称的点为，∴，解得，，∴．故答案为：．6．【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为∵，∴对称点的坐标为，故答案是：．7．【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．【详解】解：设点B的横坐标为x，∵点与点B关于直线对称，∴，解得，∵点A、B关于直线对称，∴点A、B的纵坐标相等，∴点．故答案为．8．【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案．【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，即点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为；可得答案为．故答案为：．9．(1)见解析(2)4.5【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积：（1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）如图所示，即为所求．的面积．10．(1)(2)图见解析(3)9【分析】本题考查坐标与轴对称：（1）直接写出三点坐标即可；（2）根据轴对称的性质，画出即可；（3）分割法求出三角形的面积即可．【详解】（1）解：由图可知：；故答案为：；（2）如图，即为所求；（3）由图可知：的面积为：；故答案为：9．11．(1)见解析(2)见解析，点坐标为【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题，（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，点P即为所求；∴点坐标为0,4．12．(1)见解析(2)(3)点P即为所求【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形．（2）根据轴对称的