2026年高考数学复习难题速递之相等关系与不等关系（2025年11月）

第36页（共36页）2026年高考数学复习难题速递之相等关系与不等关系（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．已知正数a，b满足a+①ab≤1②a+b≥2③a2+b2≥2④1A．一个 B．两个 C．三个 D．四个2．若实数a＞0，且lna+b＝1，则a、b的关系不可能是（）A．a＜b B．ab＜1 C．ab＝1 D．a+e2b＜03．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+B．a+C．2abD．a4．设a＞0，b＞0，若ln3是ln3a与ln9b的等差中项，则2A．6 B．8 C．9 D．125．下列说法正确的个数是（）①x+②函数y=2(x③若x＞0，则x（2﹣x）最大值为1；④已知a＞3时，a+4a-3≥2a⋅4a-A．0 B．1 C．2 D．36．已知点P（a，b）为直线x+2y﹣4＝0上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为2 C．a2+b2的最小值为165 D．a+7．已知x，y均为正实数，则下列说法正确的是（）A．xyx2+B．若x+y＝4，则x2+y2的最大值为8 C．若2x+y=1，则D．若x2+y2＝x﹣y，则x+y8．若正实数x，y满足x+2y＝4，不等式m2+1A．(-43，1) B．（﹣∞，-4C．(-1，43) D．（﹣∞，﹣二．多选题（共4小题）（多选）9．下列是真命题的是（）A．已知x＞0，y＞0，且4x+y＝1，则y2+xB．已知2＜x＜4，﹣1＜y＜0则x﹣y的取值范围为（2，5） C．已知a＞b＞c且2a-b+1bD．若x＞0，y＞0（多选）10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a+b+8，下列说法正确的是（）A．a+b的最小值为8 B．a2+b2的最大值为32 C．11-a+D．3a+b的最小值为6（多选）11．已知正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．ab的最大值为14B．1a+4C．a2+b2的最小值为12D．（1﹣2a）（1﹣b）的最大值为1（多选）12．下列结论正确的是（）A．若x＞1，y＞3，且x+y＝7，则4x-1B．已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则x+y的最大值为C．已知x＞0，y＞0，且xy＝2x+2y+5，则xy的取值范围为[25，+∞） D．已知x＞0，y＞0，x+y+2xy＝10，则x+y的最小值为4三．填空题（共4小题）13．已知存在x∈[2，+∞），使得a2+2a+1x≥4x14．已知正数x，y满足1(4x+y)y+215．定义区间（a，b）、[a，b]、[a，b）、（a，b]的长度均为b﹣a，其中a＜b．若不等式组14≤3x+3≤34x216．设正实数x，y，z，满足4x2+3xy+y2﹣z＝0，则当xyz取得最大值时，1x+2y-14四．解答题（共4小题）17．（1）设x、y均为正实数，试比较x1+x和（2）已知a、b为实数，求证：|a|+|b|≤|a+b|+|a﹣b|，并指出等号成立的条件．18．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知a，b为正实数，且a+b＝1，则ba+1b的最小值为其解法如下：ba+1b=ba+a根据上述材料解决以下问题．（1）已知a，b，c为正实数，且a+b+c＝1，求证：1a（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则14（3）某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y＝2，则x2令t＝y+1（t≥1），则x+2y＝2化为x+2t＝4．原式=14(1x+2t)(x利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知x＞﹣2，y＞0，且x+2y＝3，则x219．某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实：基本不等式ab≤a+b2可以推广至n阶．即：若实数a1，a2，⋯，an（1）若x∈(0，13)，求x3（1（2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为y的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少？（3）试证明，对任意的正整数n，不等式(1+120．现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：m）为x．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由．

2026年高考数学复习难题速递之相等关系与不等关系（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDBBBCCB二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDACDACAC一．选择题（共8小题）1．已知正数a，b满足a+①ab≤1②a+b≥2③a2+b2≥2④1A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】将给定等式变形，借助平方数为非负数放缩，结合不等式性质逐个判断即得．【解答】解：由a，b为正数，a+ba则8（a+b）＝（a+b）4﹣（a﹣b）4≤（a+b）4，解得a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，②正确；a2+b2=(a+bab=a+b(a+b)1a+1b=a+bab所以给定四个说法正确的个数有4．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，先对给定式子变形再结合不等式的性质判断是解题的关键，属于中档题．2．若实数a＞0，且lna+b＝1，则a、b的关系不可能是（）A．a＜b B．ab＜1 C．ab＝1 D．a+e2b＜0【考点】不等关系与不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】由已知等式变形得出a＝e1﹣b，对于A选项，得出a﹣b＝e1﹣b﹣b，构造函数f（x）＝e1﹣x﹣x；对于BC选项，ab=beb-1，构造函数g(x)=xex-1；对于D选项，a+e2b＝e1﹣b+e2b【解答】解：A：因为a＞0，且lna+b＝ln（aeb）＝1，所以aeb＝e，则a＝e1﹣b，所以a﹣b＝e1﹣b﹣b，令f（x）＝e1﹣x﹣x，其中x∈R，则f′（x）＝﹣e1﹣x﹣1＜0，故函数f（x）在R上单调递减，又当x＝1时，f（1）＝0；当x＜1时，f（x）＞f（1）＝0；当x＞1时，f（x）＜f（1）＝0，故当b＜1时，a﹣b＝e1﹣b﹣b＞0，此时a＞b；当b＞1时，a﹣b＝e1﹣b﹣b＜0，此时a＜b；当b＝1时，a﹣b＝e1﹣b﹣b＝0，此时a＝b＝1，则ab＝1，故A不符合题意；B：由选项A可得：ab=令g(x)=xex-当x＜1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（﹣∞，1）上为增函数，当x＞1时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（1，+∞）上为减函数，故函数g（x）在x＝1处取得最大值，即g（x）max＝g（1）＝1，综上所述，当b≠1时，ab＜1，故B不符合题意；C：由A选项可知，当b＝1时，a﹣b＝e1﹣b﹣b＝0，此时a＝b＝1，则ab＝1，故C不符合题意；D：a+e2b＝e1﹣b+e2b，令h（x）＝e1﹣x+e2x，其中x∈R，则h′（x）＝e2﹣e1﹣x，由h′（x）＞0得e2﹣e1﹣x＞0，可得1﹣x＜2，解得x＞﹣1，函数h（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；由h′（x）＜0得e2﹣e1﹣x＜0，可得1﹣x＞2，解得x＜﹣1，函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，所以函数h（x）在x＝﹣1处取得最小值，即h(x)min=h(-1)=e2-e2=0，故h（x）≥故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质的应用，涉及到构造函数，利用导数判断单调性比较大小，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于难题．3．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+B．a+C．2abD．a【考点】基本不等式及其应用．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意可得：OC，CD，根据OC≤CD，即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：OC=a+b2，CD2＝OC2+OD2=(∵OC≤CD，∴a+b2≤a因此该图形可以完成的无字证明为B．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设a＞0，b＞0，若ln3是ln3a与ln9b的等差中项，则2A．6 B．8 C．9 D．12【考点】运用基本不等式求最值；等差数列的性质．【专题】对应思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】先由等差中项的概念得到a+2b＝1，然后由基本不等式求解最小值即可．【解答】解：因为ln3是ln3a与ln9b所以2ln3=ln3a+ln9b，即ln3＝ln（3a×9b）＝ln3a∴a+2b＝1，又a＞0，b＞0，∴2a当且仅当ab=4ba故选：B．【点评】本题考查基本不等式求最值、对数的运算性质、等差中项的概念等，属于中档题．5．下列说法正确的个数是（）①x+②函数y=2(x③若x＞0，则x（2﹣x）最大值为1；④已知a＞3时，a+4a-3≥2a⋅4a-A．0 B．1 C．2 D．3【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；转化法；不等式；运算求解．【答案】B【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可．【解答】解：对于①，只有当x＞0时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确；对于②，y=令x2则y=2t+则最小值为ymin=23对于③x（2﹣x）＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x﹣1）2+1≤1，则③正确；对于④，当a＞3时，a+当且仅当a-3=4a-3时，即综上只有1个正确．故选：B．【点评】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．6．已知点P（a，b）为直线x+2y﹣4＝0上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为2 C．a2+b2的最小值为165 D．a+【考点】运用基本不等式求最值；运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】由题知a+2b＝4，a＞0，b＞0，对于A，根据基本不等式可得ab≤2即可判断；对于B，利用换元法可得a+b＝4﹣b∈（2，4）；对于C，根据换元法得a2+b2＝（4﹣2b）2+b2，再利用配方可得最值；对于D，由“1”的妙用求解即可．【解答】解：∵点P（a，b）为直线x+2y﹣4＝0上位于第一象限内的动点，∴a+2b﹣4＝0，即a+2b＝4，且a＞0，b＞0，对于A，a+2b＝4≥22ab，∴ab≤2当a＝2b＝2，即a＝2，b＝1时取等，∴ab的最大值为2，故A错误；对于B，a+b＝a+2b﹣b＝4﹣b，又a＞0，b＞0，∴a+b＝4﹣b∈（2，4），故B错误；对于C，a2+b2＝（4﹣2b）2+b2＝5b2﹣16b+16＝5（b-85）2当a=45，b∴a2+b2的最小值为165，故C对于D，a+bab=1b+1a=14（1b+1a）（当2ba=∴a+bab的最小值为3故选：C．【点评】本题考查基本不等式、换元法、配方法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．已知x，y均为正实数，则下列说法正确的是（）A．xyx2+B．若x+y＝4，则x2+y2的最大值为8 C．若2x+y=1，则D．若x2+y2＝x﹣y，则x+y【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：对于A，因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等，所以xyx2+对于B，因为2=x+y2≤x2解得x2+y2≥8，则x2+y2的最小值为8，故B错误；对于C，因为2x+y由基本不等式得xy+当且仅当xy=2xy且y+2x=1，即y=2-对于D，因为x2+y2＝x﹣y，所以x2因为x=2令t=yx，t＞则f(由题意得若f（t）取得最小值，则g（t）＝1+t﹣2t2取得最大值，由二次函数性质得，当t=14时，g（t）＝1+t﹣2t2取得最大值g（1所以f（t）最小值为f(t)=故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．8．若正实数x，y满足x+2y＝4，不等式m2+1A．(-43，1) B．（﹣∞，-4C．(-1，43) D．（﹣∞，﹣【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的代换求2x+1【解答】解：由2x仅当4(y+1)x要使不等式m2+1所以m∈故选：B．【点评】本题主要考查了基本不都是在最值求解中的应用，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列是真命题的是（）A．已知x＞0，y＞0，且4x+y＝1，则y2+xB．已知2＜x＜4，﹣1＜y＜0则x﹣y的取值范围为（2，5） C．已知a＞b＞c且2a-b+1bD．若x＞0，y＞0【考点】运用基本不等式求最值；等式与不等式的性质．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】BCD【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为2+2(b-c)【解答】解：对于A，x＞0，y＞0，且4x+y＝1，则y2当且仅当yx=4∴y2+xxy有最小值对于B，由﹣1＜y＜0，可得0＜﹣y＜1，∵2＜x＜4，∴x﹣y的取值范围为（2，5），故B正确；对于C，由题意，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，∴2a-b∴2(a∴3+2(∵3+2(当且仅当a-∴实数m的最大值是3+22，故C对于D，∵x+8x两边同乘以x+2y，得：[9-∵x＞0，y＞0，∴[9-当且仅当x＝4y时，等号成立，令t＝x+2y，则（9﹣t）t≥18，即t2﹣9t+18≤0，解得3≤t≤6，∴x+2y的最小值为3，此时x＝4y＝2且满足x+x+2y的最大值为6，此时x＝4y＝4且满足x+8x故选：BCD．【点评】本题考查基本不等式、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a+b+8，下列说法正确的是（）A．a+b的最小值为8 B．a2+b2的最大值为32 C．11-a+D．3a+b的最小值为6【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】利用基本不等式将条件变形为a+b+8=ab≤(a+b2)2，解不等式求出a+b≥8即可判断A；利用a+b≥8，求出a2+b2≥32，即可判断B；由条件得（1﹣a）（1﹣b）＝9，再利用“1”的变形及a+b≥8，求出11-a【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a+即（a+b）2﹣4（a+b）﹣32≥0，当且仅当a=bab=a+b令t＝a+b（t＞0），则t2﹣4t﹣32≥0，即（t+4）（t﹣8）≥0，解得t≥8或t≤﹣4（舍），即a+b≥8，所以a+b的最小值为8，故A正确；由选项A知a+b≥8，所以a2+b2≥2ab＝2（a+b+8）≥32，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以a2+b2的最小值为32，故B错误；因为a+b+8＝ab，即ab﹣a﹣b＝8，所以（a﹣1）（b﹣1）＝9，即（1﹣a）（1﹣b）＝9，11-由选项A知a+b≥8，所以29-19(a+当且仅当a＝b＝4时取等号，所以11-a+11-因为a+b+8＝ab，所以b=因为a＞0，b＞0，所以a＞1，所以a﹣1＞0，所以3a当且仅当3(a-1)=所以3a+b最小值为63+4，故故选：ACD．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．（多选）11．已知正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．ab的最大值为14B．1a+4C．a2+b2的最小值为12D．（1﹣2a）（1﹣b）的最大值为1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】通过基本不等式和二次函数性质，逐个分析选项的最值情况．【解答】解：选项A，因a＞0，b＞0且a+b＝1，由基本不等式ab≤当且仅当a=b=选项B，1a+4故1a+4b≥9，当且仅当a选项C，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab，由ab≤14当且仅当a=b=选项D，由a+b＝1得1﹣b＝a，则（1﹣2a）（1﹣b）＝（1﹣2a）a＝﹣2a2+a，其为开口向下的二次函数，顶点在a=14处，最大值为1故选：AC．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．（多选）12．下列结论正确的是（）A．若x＞1，y＞3，且x+y＝7，则4x-1B．已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则x+y的最大值为C．已知x＞0，y＞0，且xy＝2x+2y+5，则xy的取值范围为[25，+∞） D．已知x＞0，y＞0，x+y+2xy＝10，则x+y的最小值为4【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】通过换元、基本不等式（明确等号成立条件）逐个分析选项的正误．【解答】解：选项A，设a＝x﹣1，b＝y﹣3，则a＞0，b＞0且a+b＝3，4a+1当且仅当4ba=ab即a＝2b，结合a+b＝3，解得a＝2，b＝1（此时x＝3故最小值为13(5+4)=3，选项B，(x+y)2当且仅当x＝y＝3时取等号，故(x+y)2选项C，由xy＝2x+2y+5，结合基本不等式2x+2y≥4xy则t2﹣4t﹣5≥0，因式分解得（t﹣5）（t+1）≥0，因t＞0，故t≥5，即xy≥25，当且仅当x＝y＝5时取等号，C正确．选项D，令s＝x+y，则xy=10-s2.由基本不等式xy≤(s2)2，得10-解得s≥-1+21（舍去负根）．因-故最小值不是4，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知存在x∈[2，+∞），使得a2+2a+1x≥4x【考点】运用基本不等式求最值；一元二次不等式恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】(-∞，-【分析】通过换元将函数转化为可应用基本不等式的形式，求出右边函数的最小值，进而解关于a的不等式．【解答】解：由题意，不等式可整理为(a+1)2≥x+令t＝x﹣1（t≥1），则x+由基本不等式，t+4t≥4（当且仅当t＝2即x＝因此（a+1）2≥5，解得a≥5-所以a的取值范围是(-∞，-故答案为：(-∞，-【点评】本题主要考查基本不等式与不等式存在性问题，属于中档题．14．已知正数x，y满足1(4x+y)y+2【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】17-22【分析】由已知利用换元法，结合乘1法及基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足1(4则xy＝xy[1(4x+令a＝4x+y，b＝x+9y，则x=9a-b则x=1735-（b当且仅当b=2故答案为：17-22【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．15．定义区间（a，b）、[a，b]、[a，b）、（a，b]的长度均为b﹣a，其中a＜b．若不等式组14≤3x+3≤34x2+3mx-4m2【考点】不等关系与不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（﹣∞，-94]∪[9，【分析】根据题意，解不等式1≤12x+3≤3，并求出解集区间的长度，然后根据m是否大于0分类讨论，解不等式x2+3mx﹣4m2＜0【解答】解：由14≤3根据1≤12x+3，化简得9-x3+x≥0，解得﹣由12x+3≤3，化简得3-3xx+3≤0，解得x≥1根据①②，可得1≤x≤9，即不等式1≤12x+3≤3不等式解集的长度恰好为8，对于不等式x2+3mx﹣4m2＜0，化简得（x+4m）（x﹣m）＜0，（i）当m＝0时，该不等式的解集为空集，不符合题意；（ii）当m＞0时，该不等式的解集为（﹣4m，m），若要满足题意，则m＞0m≥9-（iii）当m＜0时，该不等式的解集为（m，﹣4m），要满足题意则若要满足题意，则m＜0-综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，-94]∪[9，故答案为：（﹣∞，-94]∪[9，【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．16．设正实数x，y，z，满足4x2+3xy+y2﹣z＝0，则当xyz取得最大值时，1x+2y-14z【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】1+2【分析】由已知结合基本不等式及二次函数性质即可求解．【解答】解：正实数x，y，z，满足4x2+3xy+y2﹣z＝0，则xyz当且仅当y＝2x，z＝14x2时取等号，取得最大值时，1=-1x2+2x当x＝1时，上式取得最大值1+2故答案为：1+2【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（1）设x、y均为正实数，试比较x1+x和（2）已知a、b为实数，求证：|a|+|b|≤|a+b|+|a﹣b|，并指出等号成立的条件．【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）当x＞y时，x1+x＞y1+y；当x＝y时，x1+（2）（|a|+|b|）2＝a2+2|ab|+b2，（|a+b|+|a﹣b|）2＝（a+b）2+2|a2﹣b2|+（a﹣b）2＝2a2+2b2+2|a2﹣b2|．则（|a+b|+|a﹣b|）2﹣（|a|+|b|）2＝a2+b2+2|a2﹣b2|﹣2|ab|．分情况讨论：若|a|≥|b|，则|a2﹣b2|＝a2﹣b2，代入得3a2﹣b2﹣2|ab|＝（3|a|+|b|）（|a|﹣|b|）≥0；若|a|＜|b|，则|a2﹣b2|＝b2﹣a2，代入得3b2﹣a2﹣2|ab|＝（3|b|+|a|）（|b|﹣|a|）≥0．故（|a+b|+|a﹣b|）2≥（|a|+|b|）2，又因两边非负，所以|a|+|b|≤|a+b|+|a﹣b|．当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．【分析】（1）通过作差法结合分子分母符号分析大小；（2）通过平方后作差，分情况讨论证明不等式并确定等号条件．【解答】（1）解：x1+因x、y为正实数，故（1+x）（1+y）＞0．当x＞y时，x1+当x＝y时，x1+当x＜y时，x1+（2）证明：（|a|+|b|）2＝a2+2|ab|+b2，（|a+b|+|a﹣b|）2＝（a+b）2+2|a2﹣b2|+（a﹣b）2＝2a2+2b2+2|a2﹣b2|．则（|a+b|+|a﹣b|）2﹣（|a|+|b|）2＝a2+b2+2|a2﹣b2|﹣2|ab|．分情况讨论：若|a|≥|b|，则|a2﹣b2|＝a2﹣b2，代入得3a2﹣b2﹣2|ab|＝（3|a|+|b|）（|a|﹣|b|）≥0；若|a|＜|b|，则|a2﹣b2|＝b2﹣a2，代入得3b2﹣a2﹣2|ab|＝（3|b|+|a|）（|b|﹣|a|）≥0．故（|a+b|+|a﹣b|）2≥（|a|+|b|）2，又因两边非负，所以|a|+|b|≤|a+b|+|a﹣b|．当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．【点评】本题主要考查分式大小比较、绝对值不等式的证明，属于中档题．18．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知a，b为正实数，且a+b＝1，则ba+1b的最小值为其解法如下：ba+1b=ba+a根据上述材料解决以下问题．（1）已知a，b，c为正实数，且a+b+c＝1，求证：1a（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则14（3）某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y＝2，则x2令t＝y+1（t≥1），则x+2y＝2化为x+2t＝4．原式=14(1x+2t)(x利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知x＞﹣2，y＞0，且x+2y＝3，则x2【考点】运用基本不等式求最值．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）证明：已知a，b，c为正实数，a+b+c＝1，则1a当且仅当ca+b（2）74（3）7+2【分析】（1）将1a+b（2）将14a+（3）令t＝x+2（t＞0），将原式转化为关于t和y的表达式，再利用t+2y＝5和基本不等式求解．【解答】（1）证明：已知a，b，c为正实数，a+b+c＝1，则1a当且仅当ca+b（2）解：已知a＞0，b＞0，则1=a当且仅当a+14a=4则14a+（3）解：已知x＞﹣2，y＞0，令t＝x+2（t＞0），则x+2y＝3化为t+2y＝5．原式==(t当且仅当6yt=ty，即t【点评】本题考查基本不等式的应用、配凑法求最值，属于中档题．19．某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实：基本不等式ab≤a+b2可以推广至n阶．即：若实数a1，a2，⋯，an（1）若x∈(0，13)，求x3（1（2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为y的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少？（3）试证明，对任意的正整数n，不等式(1+1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解；新定义类．【答案】（1）1256，x（2）13（3）当n＝1时，左式＝（1+1）1＝2，右式=(1+12当n≥2时，(1+≤(显然1+1n≠1综上可知，(1+1n【分析】（1）由x3（1﹣3x）＝xxx（1﹣3x），结合基本不等式即可求解；（2）由(2-（3）根据结论得到(1+1【解答】解：（1）若x∈(0，13)，则1x3当且仅当x=14（2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为y的小正方形后折成一个无盖长方体，由题意0＜y＜1，长方体的体积为：(2-当且仅当y=所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为13证明：（3）当n＝1时，左式＝（1+1）1＝2，右式=(1+12当n≥2时，(1+≤(显然1+1n≠1综上可知，(1+1n【点评】本题考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了基本不等式在证明中的应用，属于难题．20．现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：m）为x．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由．【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】（1）当x=10+52或x=（2）窗户和地板同时增加相等的面积时，采光条件变好了，理由见解析．【分析】（1）根据题意，设矩形的另一边长为y，设地板面积为S1，由三角形相似求出y，计算矩形窗户的面积S，再由题意列不等式组求解即可．（2）设a，b分别表示原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，由题意求解即可．【解答】解：（1）根据题意，设矩形的另一边长为y，设地板面积为S1，由三角形相似得x5化简得2x+5y＝10，变形可得y＝2-25x，则S＝xy＝x（2-又由S+所以S+S1≤11S，即11S≥16.5，解得S≥1.5，所以窗户面积最小为1.5平方米．令x（2-25x）＝1.5，可得4x2﹣20x+15＝0，解得x=10+5所以当x=10+52或x=（2）设a，b分别表示原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得0＜a＜b，m＞0，则a+又由b﹣a＞0，b（b+m）＞0，则a+mb+故窗户和地板同时增加相等的面积时，采光条件变好了．【点评】本题考查不等式的性质和应用，涉及不等式的证明，属于中档题．

考点卡片1．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且2．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．3．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．4．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．6．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1