史健芳《电路分析基础》第七章习题答案与解题指南

史健芳《电路分析基础》第七章习题答案与解题指南一、章节核心知识点回顾（解题前提）相量法：正弦量与相量的转化（最大值/有效值相量）、相量运算规则；阻抗与导纳：R、L、C元件的阻抗表达式（Z_R=R，Z_L=jωL，Z_C=-j/ωC）、串并联阻抗计算；正弦稳态功率：有功功率P=UIcosφ、无功功率Q=UIsinφ、视在功率S=UI，功率因数提高方法；谐振电路：串联谐振（阻抗最小、电流最大，φ=0）、并联谐振（导纳最小、电压最大）的条件与特性。二、典型习题答案与详细解析习题7-1（基础题型：相量法求解电路电流）题目：如图所示电路，已知u_S(t)=220√2sin(314t+30°)V，R=10Ω，L=31.8mH，C=159μF，求各支路电流i_R(t)、i_L(t)、i_C(t)及总电流i(t)。解题步骤：转化为相量模型：电源相量Ṽ_S=220∠30°V（有效值相量）；角频率ω=314rad/s，计算元件阻抗：Z_L=jωL=j×314×31.8×10⁻³≈j10Ω；Z_C=-j/ωC=-j/(314×159×10⁻⁶)≈-j20Ω；Z_R=10Ω。计算各支路电流相量：Ṽ_R=Ṽ_L=Ṽ_C=Ṽ_S（并联电路电压相等）；Î_R=Ṽ_S/Z_R=220∠30°/10=22∠30°A；Î_L=Ṽ_S/Z_L=220∠30°/j10=22∠-60°A（j=∠90°，除法减角度）；Î_C=Ṽ_S/Z_C=220∠30°/(-j20)=11∠120°A（-j=∠-90°，除法加角度）。总电流相量叠加：Î=Î_R+Î_L+Î_C=22∠30°+22∠-60°+11∠120°转化为代数形式计算：22(cos30°+jsin30°)+22(cos(-60°)+jsin(-60°))+11(cos120°+jsin120°)=22(0.866+j0.5)+22(0.5-j0.866)+11(-0.5+j0.866)=(19.052+j11)+(11-j19.052)+(-5.5+j9.526)=24.552+j1.474≈24.6∠3.47°A。转化为瞬时值：i_R(t)=22√2sin(314t+30°)A；i_L(t)=22√2sin(314t-60°)A；i_C(t)=11√2sin(314t+120°)A；i(t)=24.6√2sin(314t+3.47°)A。答案：i_R(t)=22√2sin(314t+30°)A；i_L(t)=22√2sin(314t-60°)A；i_C(t)=11√2sin(314t+120°)A；i(t)≈24.6√2sin(314t+3.5°)A（角度近似保留一位小数）。习题7-5（综合题型：正弦稳态功率计算与功率因数提高）题目：某负载接在220V、50Hz的正弦交流电源上，负载有功功率P=10kW，功率因数cosφ₁=0.6（感性）。若要将功率因数提高到cosφ₂=0.95（感性），求需并联的电容C的容量及并联前后的线路电流。解题步骤：计算并联前的电路参数：电源电压U=220V，频率f=50Hz，ω=2πf=314rad/s；并联前负载电流I₁=P/(Ucosφ₁)=10×10³/(220×0.6)≈75.76A；负载无功功率Q₁=Ptanφ₁，φ₁=arccos0.6≈53.13°，tan53.13°≈1.333，故Q₁=10×10³×1.333≈13.33kVar。计算并联电容后的目标参数：功率因数cosφ₂=0.95，φ₂=arccos0.95≈18.19°，tan18.19°≈0.3287；并联电容后总有功功率P不变（电容不消耗有功功率），总无功功率Q=Ptanφ₂=10×10³×0.3287≈3.287kVar；电容补偿的无功功率Q_C=Q₁-Q=13.33-3.287≈10.043kVar（感性无功减少，电容提供容性无功）。计算电容容量C：电容无功功率Q_C=U²ωC（容性无功Q_C=U²/(X_C)=U²ωC）；故C=Q_C/(U²ω)=10.043×10³/(220²×314)≈10.043×10³/(15.1976×10⁶)≈661μF。计算并联后的线路电流I₂：I₂=P/(Ucosφ₂)=10×10³/(220×0.95)≈47.89A。答案：需并联的电容容量约为661μF；并联前线路电流≈75.8A；并联后线路电流≈47.9A（数值保留一位小数）。习题7-10（难点题型：串联谐振电路分析）题目：R、L、C串联电路中，已知R=10Ω，L=0.1H，C=10μF，电源电压U=220V（有效值），求：（1）谐振频率f₀；（2）谐振时的回路电流I₀；（3）谐振时电感电压U_L和电容电压U_C；（4）品质因数Q。解题步骤：谐振频率f₀：串联谐振条件：X_L=X_C，即ω₀L=1/(ω₀C)，ω₀=1/√(LC)；f₀=ω₀/(2π)=1/(2π√(LC))=1/(2π√(0.1×10×10⁻⁶))=1/(2π×10⁻³)≈159.15Hz。谐振时回路电流I₀：谐振时阻抗Z₀=R（X_L-X_C=0），阻抗最小；I₀=U/Z₀=U/R=220/10=22A。谐振时电感电压U_L和电容电压U_C：X_L=ω₀L=2πf₀L=2π×159.15×0.1≈100Ω；X_C=1/(ω₀C)=1/(2πf₀C)=100Ω（谐振时X_L=X_C）；U_L=I₀X_L=22×100=2200V；U_C=I₀X_C=22×100=2200V（注意：串联谐振时电感和电容电压远大于电源电压，称为“电压谐振”）。品质因数Q：Q=U_L/U=U_C/U=X_L/R=X_C/R；Q=100/10=10（品质因数反映谐振电路的选频特性，Q值越大，选频性越好）。答案：（1）谐振频率f₀≈159.2Hz；（2）谐振时回路电流I₀=22A；（3）电感电压U_L=2200V，电容电压U_C=2200V；（4）品质因数Q=10。三、章节习题解题通用方法审题定位：明确题目已知条件（电压/电流瞬时值、元件参数、频率等）和待求量（电流、电压、功率、电容/电感值等），判断题型（相量运算、功率计算、谐振分析等）；模型转化：将正弦量转化为相量，将电路元件转化为阻抗/导纳模型，简化交流电路为“直流相量电路”；电路求解：利用基尔霍夫定律（相量形式）、欧姆定律（相量形式）、串并联电路规律计算待求相量；结果还原：将相量结果转化为正弦量瞬时值，或直接根据相量计算功率、频率等参数；验证检查：谐振电路需验证X_L=X_C，功率计算需满足S²=P²+Q²，确保结果合理性。四、常见易错点提醒相量转化时混淆“最大值相量”与“有效值相量”（题目未说明时，默认