高三数学下学期函数的概念与基本初等函数多选题单元测试综合卷学能测试试题

高三数学下学期函数的概念与基本初等函数多选题单元测试综合卷学能测试试题一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有（）A．函数为偶函数B．当时，有C．当时，D．当时，【答案】ABC【分析】画出的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出的图象如图所示：对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；对B，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，，，故D不正确．故选：ABC．【点睛】方法点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的．2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列正确的是（）A．函数是上单调递增函数B．对于任意实数，都有C．函数（）有3个零点，则实数a的取值范围是D．对于任意实数x，y，则是成立的充分不必要条件【答案】BCD【分析】取反例可分析A选项，设出a，b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合可分析C选项，取特殊值可分析D选项．【详解】解：对于A选项，，故A错误；对于B选项，令，q分别为a，b的小数部分，可知，，，则，故B错误；对于C选项，可知当，时，则，可得的图象，如图所示：函数有3个零点，函数的图象和直线有3个交点，且为和直线必过的点，由图可知，实数a的取值范围是，故C正确；对于D选项，当时，即r，q分别为x，y的小数部分，可得，，；当时，取，，可得，，此时不满足，故是成立的充分不必要条件，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；3．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为()A．函数是偶函数B．,,恒成立C．任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立D．不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形【答案】ACD【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；对于B，取，则，，故选项B错误；对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．故选：．【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．4．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是()A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于A，由，解得，故A正确；对于B，，因为，即等号不成立，所以，故B正确；对于C，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，，，故函数的零点在上，即，由，则，，故C正确；对于D，由，解得，由于，则，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.5．已知函数满足：当时，，下列命题正确的是（）A．若是偶函数，则当时，B．若，则在上有3个零点C．若是奇函数，则，，D．若，方程在上有6个不同的根，则的范围为【答案】BC【分析】A选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B选项，函数关于直线对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当时，函数与直线有3个交点可判断；C选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D选项，函数周期为3，作出函数图像知方程在上有两个不同的根，则时方程在上有4个不同的根.【详解】A选项，若，则，，因为函数是偶函数，所以，A错误；B选项，若，则函数关于直线对称，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，，，作出函数大致图像如图所示，则当时，函数与直线有3个交点，即函数在上有3个零点，B正确；C选项，由B知当时，，若函数为奇函数，则当时，所以，，，C正确；D选项，若，则函数的周期为3，作出函数在上的图像如图所示，若方程即在上有6个不同的根，因为方程在上有两个不同的根，所以在上有4个不同的根，又，，所以，D错误.故选：BC【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.6．函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．的值域是C．方程的解为 D．方程的解为【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可.【详解】当为有理数时，也为有理数当为无理数时，也为无理数是偶函数，A对；易知B对；时，C对的解为全体有理数D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.7．设，若满足关于x的方程恰有三个不同的实数解则下列选项中，一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项.【详解】设，则函数为偶函数，所以，所以，其中必有一解为0，则，①当时，当且仅当时取等号；②当时，在上递增，，，又在上递增，，即，.故选：CD.【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.8．下列命题正确的有（）A．已知且，则B．，则C．的极大值和极小值的和为D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.【详解】A选项，由条件知且，所以，即；B选项，有，，而；C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，所以；D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可∴，解得故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．下列说法中，正确的有（）A．若，则B．若，，，则的最小值为C．己知，且，则实数的取值范围为D．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项的正误；判断函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，A选项错误；对于B选项，，，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，B选项正确；对于C选项，函数的定义域为，任取、且，则，所以，，即，所以，函数为上的减函数，，则，所以，函数为上的奇函数，且为减函数，由可得，所以，，即，解得，C选项正确；对于D选项，对于函数，令，由于外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数，所以，解得，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数，且在上不单调B．函数是奇函数，且在上不单调递增C．函数在上单调递增D．对任意，都有，且【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】解：对A，，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，其图像关于轴对称，在上不单调，故A正确；对B，，，是奇函数，令，则，在上单调递增，故B错误；对C，，且在上单调递增，又，时，，在上单调递减，故C错误；对D，是偶函数，且在上单调递增，，且，故D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.11．若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；对于选项B：利用换底公式：，等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；【详解】令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，对于选项A：因为，所以，即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；对于选项C：，由于函数在上单调递减，所以，即，因为，所以，取，则，故选项C错误；对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.对于选项B：，因为，所以等价于，因为，因为，所以不等式成立，故选项B正确；故选：ABD【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.12．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的有（）A． B．函数为奇函数C． D．函数的值域为【答案】AD【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，，故A正确.对于B，取，则，而，故，所以函数不为奇函数，故B错误.对于C，则，故C错误.对于D，由C的判断可知，为周期函数，且周期为，当时，则当时，则，当时，，当时，，故当时，则有，故函数的值域为，故D正确.故选：AD．【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．13．对于定义在上的函数，若存在正实数，，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断对一切恒成立的条件，并判断的存在性，即可得出结论.【详解】对于A.可化为，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增长函数”；对于B.可化为，，即恒成立.又，故只需保证恒成立即可.，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”；对于C.，时，为任意正数，恒成立，是“控制增长函数”；对于D.化为，，令，则，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”.故选：BCD【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.14．设函数，对关于的方程，下列说法正确的有（）．A．当时，方程有1个实根B．当时，方程有5个不等实根C．若方程有2个不等实根，则D．若方程有6个不等实根，则【答案】BD【分析】先作出函数的图象，进行换元，将方程转化成关于t的二次方程，结合函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可.【详解】函数，作图如下：由图可知，，令，则，则方程转化为，即选项A中，时方程为，即，故，即，看图知存在三个根，使得，故A错误；选项B中，，方程即，即，解得或，当时看图可知，存在3个根，当时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B正确；选项C中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1），则或，此时，即，解得，，均不满足上面范围，舍去；（2）时，即或.①当时，代入方程得，解得，由，得，不满足题意，舍去；②当时，则，，，解得，故C错误；选项D中，方程有6个不等实根，则且，图象如下：需满足：，解得：，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程进行换元，变成关于t的二次方程根的分布问题，结合函数图象中函数值的分布情况来突破难点.15．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有（）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解【答案】ABD【分析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；当时，方程只有两解；当时，方程有三解；对于方程，当时，方程只有唯一解.对于A选项，令，则方程有三个根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；对于B选项，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；对于C选项，设，方程有三个根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.16．已知函数，则（）A．的值域为B．当时，C．当时，存在非零实数，满足D．函数可能有三个零点【答案】BC【分析】A．考虑时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B．先根据条件分析的单调性，再根据与的大小关系进行判断；C．作出的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D．根据条件先分析出，再根据有三个零点确定出满足的不等式，由此判断出是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A．当时，，当时，，取，此时，所以此时的值域为，故A错误；B．当时，的对称轴为，所以在上单调递减，又因为在上单调递减，且，所以在上单调递减，又因为，所以，所以，故B正确；C．作出函数的图象如下图所示：由图象可知：关于原点对称，且与相交于，因为点在函数的图象上，所以点在函数的图象上，所以，所以当时，存在使得，故C正确；D．由题意知：有三个根，所以不是单调函数，所以，又因为，所以，所以，且，若方程有三个根，则有，所以或，这与矛盾，所以函数不可能有三个零点，故D错误，故选：BC.【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.17．若定义在R上的函数满足，当时，()，则下列说法正确的是（）A．若方程有两个不同的实数根，则或B．若方程有两个不同的实数根，则C．若方程有4个不同的实数根，则D．若方程有4个不同的实数根，则【答案】AC【分析】由题知是R上的奇函数，则由时的解析式可求出在R上的解析式.先讨论特殊情况为方程的根，则可求出，此时方程化为，而函数为R上的减函数，则方程仅有一个根.当时，由分段函数分类讨论得出时，，时，.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程不同的实数根个数分别为2个和4时，参数的取值范围.【详解】因为所以，所以是R上的奇函数，，当时，，，所以，综上，若是方程的一个根，则，此时，即，而，在R上单调递减，当时，原方程有一个实根.当时，，所以，当时不满足，所以，当时，，所以，当时不满足，所以，如图：若方程有两个不同的实数根，则或；若方程有4个不同的实数根，则.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.18．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中正确的是（）A．的增区间为，B．若与在上有10个零点，则的范围是C．当时，的值域为，则的取值范围D．若与有3个交点，则的取值范围为【答案】BC【分析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利用数形结合可判断选项B、C；举反例如时经分析可得与有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；对于选项B：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，故选项B正确；对于选项C：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围，故选项C正确；对于选项D：当时，直线为过点，也过点，当时，，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为与有3个交点，由排除法可知选项D不正确，故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．已知函数，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有（）A．a取任意实数时，方程最多有5个根B．当时，方程有2个根C．当时，方程有3个根D．当a≤−4时，方程有4个根【答案】CD【分析】先化简方程为或，再对a进行分类讨论，结合图象来确定或分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x的方程f2(x)