二次函数同步练习（含解析）（2024版）

3=5.1二次函数

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）

A.>,=3x-lB.y=ax2+bx+cC.s=2r-2i-\D.y=x2+—

x

2.在下列关于文的函数中，一定是二次函数的是()

A.y=-3xB.xy=2

C.y=ax2+bx+cD.y=2x2+5

3.已知点（-2,4）在抛物线,=♦上，则。的值是（）.

A.-IB.IC.±1D.-

8

4.下列函数中，y一定是x的二次函数的是（）

A.y=^—B.产31(2-£|+3r

X+\

C.y=ax2-6x-2D.y=3x2-7x+3

5.下列各式中，y是1的二次函数的是（

A.）'=£B.j=2x-3

C.y=x2-3D.y=\/x2-3

6.抛物线），=/+2的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（0,2）C.(1,0)D.

7.下列1y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（）

A.>'=（x+1）（x—4）-x2B.y=7+2

C.y=x2+—D.y=x—1

x

8.函数），=（l+〃?）X'"FmT是关于X的二次函数，则用的值为（）

A.2B.T或3C.3D.胆不存在

9.已知函数），=（〃?+2）人脑一2是二次函数，则机等于（）

A.±2B.2C.-2D.±1

10.如图，已知。4=6,CM=8,BC=2,GP与OB、A3均相切，点P是线段AC与抛物线y=or?

D.5

11.下列函数中属于二次函数的是()

A.y=2x-\B.y=ax2-\

C.y=2（x-l）2-2x2D.），=（x-l）（£r+兀）

12.下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y=（x-1）2-x2C.y=2x2-7D.>'=4"

x

二、填空题

13.若函数y=(m+2)是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为.

14.下列各式：y=x+2;y=2x2;y=-;>'=—;y=(x-l)(x+2);y=2(x-l)2+2;y=(2.r+l)(x-2)-2A：2；

.1

其中y是x的二次函数的有(只填序号)

15.若函数)，=(m+1)例”—5是二次函数，则m的值为.

16.若y=(〃+2)/+l是以x为自变量的二次函数，则〃=.

17.写出一个开口向下、且经过点(-1,2)的二次函数的表达式；

三、解答题

18.为美化居民小区，需在一•块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位:

米)

(1)计算阴影部分的面积(用含有X的字母表示)；

(2)若市场上草皮的单价为40元/米2*，当x=l时，求购买草皮需多少元?

19.如图，在矩形/IBC。中，48=9,8c=8,。。过点A且与BC相切于点£设BE=M,

(1)当。。与C。相切时，求〃?的值；

(2)点E从B向C运动,。。与C。边公共点的个数随，〃的变化而变化.直接写出公共点的个数及

其对应的〃?的取值范围；

(3)在点E从8向。运动的过程中，画出点O的运动路径，这个路径是(填写序号)

①线段：②弧；③双曲线的一部分；④抛物线的一部分

5为常数).

⑴求点4,8的坐标；

(2)如图1,。为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且NA8C=AOC=9。。，OA=OD,过点C

作CELDB于点E,求证：DE=OB；

(3)如图2,P为)，轴正半轴上一动点，连接8P,过点8在x轴下方作68，8尸，且8Q=W连接

PC，PQ，QC,在(2)的条件下，设P(0,〃)，求△尸CQ的面积(用含〃的式子表示).

22.己知方程/+("?-3)1+1-2，〃=0(〃?为常数).

(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)x,,々是原方程的两根，且‘+'=-2,求用的值.

X]x2

⑶若函数y=f+(〃L3)x+l-2/〃(〃?为常数)不论小为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求

定点的坐标.

参考答案:

题号12345678910

答案CDBDCBBCBD

题号1112

答案DC

1.c

【分析】本题考查了二次函数的定义.解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如丁=依2+瓜+。

(a、b、c是常数，。工())的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项

系数，b是一次项系数，c是常数项.

根据二次函数的定义，逐项判断可得答案.

【详解】解：A、)，=3x-1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B、丁=⑪2+尿+。当。=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C、$=2--2，-1是二次函数，故此选项符合题意；

D、)，=/+_1分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意.

X

故选：C.

2.D

【分析】根据二次函数的定义：5=加+灰+。(分0且a是常数)，可得答案.

【详解】解：A、y=-31是一次函数，故A不符合题意；

B、.口=2是反比例函数，故B不符合题意，

C、。二0时不是二次函数，故C不符合题意；

D、＞=2丁+5是二次困数，故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意。是不等于零的常数.

3.B

【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点(-2,4)代入y=ax2中得到a的方程，然后解方程

即可.

【详解】解：•・•点(-2,4)在抛物线y=ax2上，

・"(-2)2=4,

a=1.

故选B.

【点睛】本题考杳了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

4.D

【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前

提"如果把关系式化筒整埋（去括号、合并同类项）后，能写成丁=心2+饭+c（a,b,C为常数，

。工0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.

【详解】解：A.），=工的自变量在分母上，故不是二次函数；

B.产3x（2-x）+3f=6工的自变量的次数是1,故不是二次函数：

C.当。=0时，），=如2-61—2不是二次函数；

D.y=3/_7x+3是二次函数；

故选D.

5.C

【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.根据二次函数的定义：一般地,

形如），=0?+法+。（4,b,。是常数，。工0）的函数，叫做二次函数进行分析即可.

【详解】解：A、），=一二，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误；

x-3

B、y=2x-3,是一次函数，不是二次函数，故该选项错误；

C、y=x2-3,符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项正确；

D、y=三，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误：

故选：C.

6.B

【详解】•・・y=2x2+l=2（x-0）2+1,

・•・抛物线的顶点坐标为（0,1）,

故选B.

7.B

【分析】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要将其化

简，然后根据二次函数的定义（一般地，形如产aF+bx+c（a、b、c是常数，a/））的函数，叫做二次

函数），逐个选项判断即可.

【详解】A项，y=（x+1）（x—4）-9化解为y=-3x—4,为一次函数，故A不符合题意；

B项，y=f+2,为二次函数，故B符合题意；

C项，y=x2+~,该函数右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故C不符合题意；

X

D项，y=x-\为一次函数，故D不符合题意：

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，解答本题的关键是判断函数是否是二次函数，首先要看它的右

边是否为整式，然后判断二次项系数是否为0.

8.C

【分析】本题考杳了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得〃/-2〃-1=2且1+加工0即可，解题

的关键是熟记二次函数的定义：形如)，=火2+/*+《〃、b、。是常数，。/0)的函数叫做二次函数.

2G[O

【详解】解：由题意得T-7一=，解得：，力=3,

1+〃7工0

故选：C.

9.B

【分析】根据二次函数的定义，令n】2-2=2,且m+2#),即可求出m的取值范围.

【详解】•・・y=(m+2)m-2是二次函数，

.\m2-2=2.日m+2R0,

m=2.

故答案选B.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义及运用.

10.D

【分析】在RQAOB中，由勾股定理求得4“=10；再求得直线AC的解析式为)，=-1+6；设QP的

半径为〃?，可得尸(〃[，-/〃+6)；连接尸6、PO、PC,根据S八08=SA”+SAP8+S8"求得〃?=I，即

可得点P的坐标为(1,5)：再由抛物线)，=〃丫2过点P,由此即可求得4=5.

【详解】在RtAAO8中，。4=6,04=8,

,AB=ylOA'+OB2=762+82=1()；

YOB=8,BC=2,

・•・OC=6f

：,C(0,6)；

•••OA=6,

(6,0)；

设直线AC的解析式为y=履+b,

6k+b=0

•*•，

b=6

解得

b=6

・•・直线AC的解析式为y=-x+6；

设P的半径为〃?，

■:P与08相切，

，点尸的横坐标为加，

丁点尸在直线AC上，

:・P(〃2,-w+6)；

连接PB、P0、PA,

;OP与08、A8均相切，

•••△0BP边0B上的高为m,AA0B边AB上的高为m,

VP（〃?，-m+6）；

•••△AOP边OA上的高为-〃?+6,

•SAOB=SAOp+SAPB+SBOP»

:.；x6x8=gx6x(一〃?+6)

+—X10z77+—X8/7Z,

22

解得m-\,

:.P(1,5)；

•・•抛物线y=or2过点p,

t7=5.

故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出P的半径是解决

问题的关键.

II.D

【分析】本题主要考杳了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题关键.一般地，把形如

y=ax2+bx+c（久b、c是常数且。工0）的函数叫作二次函数.根据二次函数的定义判定即可.

【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意：

B、〃是否为。不确定，故不一定是二次函数，不符合题意；

2

C、y=2（x-^-2x=-4x+2f故不是二次函数,不符合题意;

D、丁=（工一1）（岳+兀）=缶2+（乃一夜）％_乃，是二次函数，符合题意.

故选：D.

12.C

【详解】根据二次函数的概念，可知y=2x+l是一次函数，y=（x-1）z-xz=-2x+l是一次函数，y=2x2

・7是二次函数，y=!不是整式函数.

x

故选C.

点睛：此题主要考查了二次函数的识别，关键是明确二次函数的二次项系数和指数，利用二次函数的

一般式y=ax?+bx+c（a/0）判断.

13.1

【分析】根据二次函数的定义得出m+拄0且m2+m=2,求出m即可.

【详解】解：•・•函数y=（m+2）xm2+m是关于x的二次函数，

/.m+2^0且m2+m=2,

解得：n#-2且m=-2,m=l,

in=1,

故答案为I.

【点睛】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若丫=2乂"1+5、+©（abc都是常数）是二

次函数，那么a#0且m=2.

14.②⑤⑥

【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解.

【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥.

故答案是：②，⑤，⑥.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax?+bx+c（a和，且a,b,c是常数，x是未知

数）.

15.1

【分析】根据二次函数的定义，即可解答.

【详解】解：•・•函数y=（〃z+l）户“-5是二次函数，

.伽+1工0

J制+1=2'

解得：〃2=1,

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如丁=加+区+《々工。）的是二次函

数.

16.2

【分析】根据二次函数定义可得：同=2,且。十240,再解即可.

【详解】解：由题意得：|。|=2,且〃+2H（）,

解得：4=2,

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、=0^+打+。（。、仇c是常数，〃工0）

的函数，叫做二次函数.

17.，）=-/+3（答案不唯一）

【详解】试题分析：:若二次函数的图象开口向下，且经过（一1,2）点，・・・〉，=-/+3符合要求.答

案不唯一.

考点：1.二次函数的性质；2.开放型.

18.（1）55/平方米；（2）2200元

【分析】（I）根据图形列出阴影面积计算公式，并利用平方差公式求解；

（2）根据（1）的结论，计算得到阴影面枳从而完成求解.

【详解】（1）右下角图形另一边长为：8x-5x=3x

・•・图中的阴影部分面积为：

S=（8x）2_（34=64x2-9x2=55x2

・•・阴影部分的面枳为55/平方米；

（2）由（1）可知，当x=l时

55x2-55xl2-55

:.55x40=2200

工购买草皮需2200元.

【点睛】本题考查了二次函数和平方差公式，求解的关键是熟练掌握并运用二次函数和平方差公式求

解实际问题.

19.(1)3；(2)区机V3时，。。与。。边公共点有0个；〃1=3或4V/胫8时，。。与CO边公共

点有1个；3</d4时，OO与边公共点有2个；(3)@

【分析】(1)设。与C。相切与凡构造辅助线，证明四边形A8EG为矩形，四边形OEC尸为正方

形，在R。AGO利用勾股定理即可求得机；

(2)。过点A且与8c相切与点E,根据题意分别画出图形，在运算过程中，关键图形如解析，用

与(1)相同的方法，分别进行求解即可得出范围；

(3)设OE二y,在RmAGO中用勾股定理列出关于y和机的等式，即可求出y是关于〃?的二次函数.

【详解】解：(1)如图①，设。。与CO相切于点忆连接。尸、04,连接并延长交AO于G.

AG—

与CO相切于点”、与BC相切于点E.

：,OELBC,OF.LCD

•••NBEO=NOFC=9()0.

•・•四边形人BC。是矩形，

・•・ZBAD=NB=/C=ZD=90°.

AD=BC=S,AB=CD=9,AD//CB.

・・・N8EO+NAGE=180°.

・•・ZAGE=90°.

,四边形A8EG和四边形OEC〃都是矩形.

•：OE=OF,

・•・四边形OECF是正方形.

BE=m,

：.AG=m,AO=OE=OF=EC=S-m,

，G0=9一（8一〃？）=l+w

在maAGO中，由勾股定理得：

AO^AC^+GO2.

即（8—加）2=〃/+（］+机）2

,解得：〃?/=3,W2=-21（舍去）；

所以，当。。与CO相切时.，加=3；

（2）①由（1）知，m=3时，00与CD只有一个交点,

••・04〃?<3时，C。与C。有0个公共点，如下图：

②由（1）知，〃尸3时，0与CO只有1个公共点，

当。A>时，（幻与C。也只有1个公共点，如下图:

点。在圆上时，如下图，再根据（1）的方法，04=0。时，加=4,

BEC

所以当〃?=3或4<〃区8时，。与C。有1个公共点:

③由（1）可知，〃-3时，6。与C。有1个公共点，

当〃>4时，。与CD也有1个公共点，

・••当3<〃?44时，0与CO有2个公共点，如下图:

BEC

综.上所述:

图形公共点个数tn的范围

（3）如下图，即为点0的运动路径,

如下图，设OE=y,则4。=>,GO=9-y,

在心△AGO中，由勾股定理得：

AO2=AG2-\-GO2,

即(9—y)2,整理得：y=—m2+—(0</?7<8),

182

所以，。。的圆心的运动路径是抛物线.

【点睛】本题考查矩形性质及判定,F方形的判定与件质,圆切线的件质,勾股定理.二次函数,解

题关键是数形结合，熟练应用相关图形的性质.

20.(l)S=-3f+36x

(2)不能

【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；

(1)根据题意和图形可以求得S关于K的关系式；

(2)令S=16。，解方程即可求解.

【详解】(I)解：由题意可得，

S-x(34-3x+2)=A(36-3x)--3<+36x,

即S关于x的关系式是S=-3x2+36x;

(2)解：依题意，一31+36工=160

即3X2-36X+160=0

A=/?2-4tzc=362-4x3x160=-624<0，

原方程无实数解，

・••两个鸡场面积和S不能等于160(m2)

21.(l)A(0,7),8(4,0)；

⑵证明见解析；

|p2-1p-14(p>7)

⑶Spco=J13・

——p2+—p+14(0</?<7)

、22

【分析】(1)将左边展开，左右恒等得出方程求得;

(2)作班'_L8D交D4的延长线于R易得BD=BF,证明.A8尸会DCS(AAS),可得AB=8C,

再证明.钻。好BCE(AAS),可得CE=O8,证明..DEC是等腰直角三角形，可得OE=CE,即可证

明OE=OA；

(3)分为P在A点上方和在A点下方，可得丝_P84,从而CQ_Ly轴，进而表示出C。及C。上

的高，从而求得.

【详解】(1)解：・・・(x+力)(1+3)=x2+or+12,

:.x2+(/J+3)X+3/?=X2+ar4-12,

.伊=12

%(b=”4

・•・4(0,7),8(4,0)；

VOA=DO,NAOO=9()。，

・•・ZADO=ZDAO=45°,

・•・ABFD=900-ZADB=45°,

；・ZBDA=4BFD,

/.BD=BF,

•・•ZADC=Z4BC=90°,

/./.BDC=90°-/ADB=45°,卜=180。，

VZBA£)+ZBAF=180°,

，NBCD=NBAF,

・•・ABF^£>CB(AAS),

・•・AB=BC,

,/ZABC=90°,

/.ZA^O+ZCBE=90°,

•:CE上BD,

/.ZBEC=90°,

/.NBCE+/6£=90°,NCEB=ZAOB=90°,

A?ABO?BCE,

ABgBCE(AAS),

：,CE=OB,

VZBDC=45°,CEJ.AB,

・•・OEC是等腰直角三角形，

/.DE=CE,

:.DE=OI3