弧长及扇形的面积 同步练习（提高版）（附答案）-浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积同步练习（提高版）

夯实基础''黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

一、选择题

1.如图，已知4B,CD的弧长之差为4兀，4408=120°,则4c的长为（）

A.18B.12C.6D.3

2.如图，在RtZ\ABC中，ZA=20°,AC=6,将aABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到aA'B'C,

当点B'第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即筋，的长）为（）

3.六一儿童节到了，小亮在图纸上先画一个边长为6cm的正方形，再以该正方形的四个顶点为圆心,

6cm长为半径作弧，则图中实线所表示的饰品轮廓长为（）

A.6V2ncmB.12ncmC.6ncmD.12V2ncm

4.如图，48是半圆。的直径，C、。是半圆上两点，且满足人WC=120。，BC=2,则8。的长为

27r

T

5.某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆孤所在的圆外接于矩形，如

图.已知矩形的宽为2m,高为2百m,则改建后门洞的圆弧长是（）

D.（竽+2）m

6.如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸=2.54厘米），为了防

止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分

分别是以C、D为圆心的两个扇杉），量出四边形ABCD中NDAB=125°、ZABC=115<>安装时向车轮外延

伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（）

A.1141平方厘米B.2281平方厘米

C.3752平方厘米D.4000平方厘米

7.如图，48是。。的直径，弦CD与AB垂直,垂足为点E,连接OC并延长交。。于点匕Z.CDB=30°,

CD=2V3,则图中阴影部分的面积为（）

C.粤-百D.2TT-2\/3

KJ

8.如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到孤AC所在圆的圆

心0,经测量乙40c=90。，AD=0D=2cm,则商标的面积为（）cm?

%-、

工二

ADOB

A.^-2V3B.^-4V3C.粤一2国D.粤-4g

•J

9.如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E,则扇形EBC的

面积为（）

A.2ncm2B.Sncm2C.12ncm2D.lS/rcm2

10.如图，扇形O/1B中，^AOB=120%。4=2,点。为OB的中点，将扇形04B绕点C顺时针旋转，点。

的对应点为。'，连接。’8,当。'CII04时，阴影部分的面积为（）

A

追

27r2p7TD.竽一苧

3r2一3

巩固积厚7e宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

二、填空题

11.如图，在AABC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E,则

弧DE的长为<

12.传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地

看作扇环，其中AD长度为气品米，BC长度为嬴米，圆心南乙100=60。，则裙长AB为米。

O

A

✓\

图1

13.如图，已知正方形ABCD的顶点A,B在。0上，顶点C,D在。0内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋

转,使点D落在0U上.若正方形ABCD的边长和。。的半径均为6cm,则点D运动的路径长为

14.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4,ZB=60°,以AC为直径的。0与菱形ABCD相交，则图中阴影

部分的面积为_____________

15.如图，菱形A8CD中，分别以点B,D为圆心，以/B0长为半径画弧，分别交边BC,AD于点E,

F.若AB=4,^BAD=60°,则图中阴影部分的面积为.（结果不取近似值）

16.如图，48是半圆。0的直径且力8=鱼二为半圆上一点（不与点A、B重合），D为延长线上一

点，乙PAB、4PBO的角平分线相交于点C.在点P移动的过程中，线段4C扫过的面积为.

三、作图题

17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,△4BC的三个顶点4,B,C都在珞点上，将4

AESA按顺时针方向旋转90°得到△A8C.

(1)在正方形网格中，画出△A8'C';

(2)求出点C经过的路线长度；

(3)计算线段48在变换到力夕的过程中扫过区域的面积.

优尖拔高、花书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

四、解答题

18,已知：如图，C,D是以48为直径的半圆周的三等分点，CO=8cm.求阴影部分的面积？

19.如图，在△A8C中，以边AB为直径作0。分别交8C,AC于点D,E,点D是8c中点，连接OE,0D.

E

CDB

(1)求证：△/WC.是等腰三角形.

(2)若48=6,41=40。，求AE的长和扇形EOD的面积.

20.如图，在AAOB中，。4=2,0B=5,将△A08绕点0顺时针旋转90。后得△4。8'.

(1)求点B扫过的孤的长；

(2)求线段48扫过的面积.

21.如图，0为半圆的圆心，直径AB=12,OD_LAC于点D,0D=3.

(1)求弧AC的长；

(2)求图中阴影部分的面积。

22.现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.

DAD

(1)如图1,修建成四边形ABCD的一个储料场，使BC//AD,乙C=90。.新建围堵为BCD.怎样修

建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？

(2)爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD,这样修建的储料

场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由.

23.如图，△48C内接于。0,40||8C交。。于点D,OF||48交BC于点E,交。0于点F,连接力用CF.

(1)求证：AC=AF;

(2)若。。的半径为3,ZC.4F=30°,求4c的长(结果保留n).

24.如图，是。0的直径，点A在。0上且平分弧BE,ADJ.BC于点D,8E分别交AO,AC于尸，G.

(1)求证：FA=(8;

(2)若8。=0。=2,求阴影部分面积.

答案息解析K

1.【答案】C

【解析】【解答】解：力8=岑需"=|兀（℃+二4）,

「n120TTC2c「

^=^180。-=3^>

V.4B,CO的弧长之差为4兀,

27

•»5TT(OC+C4)—17roe-4TT,

•3O

222

ao710c+oTICA-oQ,TIOC=4TT,

2

o7rC/l=4TT,

AC=6,

故答案为：C.

【分析】根据ftAB,CD的弧长之差为4k'建立方程即可求解.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：VZACB=90°,NA=20：

AZB=70°,

•・•将aABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到4A'B'C,

ABC=B,C,

AZBBzC=ZB=70°,

AZBCBz=40°,

AZACA,=40°,

・♦•点A经过的路径长=驾祟=。花，

故答案为；B.

【分析】根据直角三角形两锐角互余算出NB的度数，根据旋转的性质将BC=B'G,根据等边对•苔角及三

角形的内角和定理可得NBCB'EO。，根据旋转的性质得NACA'=40°,从而利用弧长计算公式即可算出

答案.

3.【答案】C

6cm的长为半径作弧,

・•・图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2倍,

・、9011X6,

・・2x]80=6ncm・

故答案为：C

【分析】观察图形，利用正方形的中心对称图形，可知图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2

倍，利用弧长公式求出结果.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，连接0C,

•・•四边形ABCD是圆。的内接四边形，乙ADC=120°,

C.LABC=60°,

*：OB=OC,

，乙OCB=乙BOC=乙口=60°,

是等边三角形,

：.0B=0C=BC=2,

・・・BC的长为驾舞=47T,

ioU5

故答案为：B.

【分析】连接0C,根据圆内接四边形的对角互补得NABC二60°,根据有一个角是60°的等腰三角形是等

边三角形判断出aOBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得0B=0C二BC二2,进而根摭弧长计算公式

即可算出8c的长.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过圆心0作OE_LAB于点E,OF_LBC于点F,连接0B、0A,

VAB=2,BC=2V3,

.,.EB=1AB=I,OE=1BC=V3,

乙乙

在RtAOEB中，0BR"+B产=2,

・・.0B=2BE,

.\ZB0E=30°,

AZA0B=2ZB0E=60°,

’408的度数为300°,

・•・改建后门洞的圆弧长二迎之应二知n.

3603

故答案为；C.

【分析】过圆心。作OE_LAB于点E,OF_LBC于点F,连接OB、0A,根据垂径定理和矩形的性质求出AB

和BC长，再利用勾股定理求出0B长，求出NBOE=30°,从而得出圆心角NA0B的度数，则可得出人公？的

度数，最后根据孤长公式计算即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD中NDAB=125°,ZABC=115°,

・・・ND+NC=3600-125°-115°=120°,

•・•车轮的直径为24英寸，1英寸=2.54厘米，

，车轮的半径为：12X2.54=30*48cm,

・••档水铁片的半径为：30・48+2・52=33cm,

2

.••需要铁皮的面积为：12°7TX3g_X2*2281平方厘米-

360

故答案为：B.

【分析】先根据四边形的内角和定理算出ND+NC=120°,进而算出挡水铁片的半径，最后根据扇形面积

计算公式算出需要铁皮的面积即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，连接OD.

V.451CD,

:•乙DEB=90°,EC=DE=V3,

•:匕CDB=30°,

：.LH=60",

FOB=OD,

・•・A08。是等边三角形,

，乙DOB=60°,

•，481CD,

:・BC=BD,

:.乙COB=^AOF=60°,

VEC=V3,/-CEO=90°,

：.0E=1,OC=2,

•••S硼=S扇形OAF-SMOF=-^X22=|7T-V3，

故答案为：B.

【分析】连接0D,由垂径定理可得EC二DE二百，根据内角和定理可得NB=60°,推出△OBD是等边三角

形，得到ND0B二60°,由对顶角的性质可得NC0B二NA0F=60°,然后求出0E、0C的值，斗根据S川产S鹿格

必一联结合扇形、三角形的面枳公式进行计算.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，连接OC、AC,

则：。。=。4=40+。0=4,

*：cADC=90°,

:,CD=y/OC2-OD2=V42-22=2百,

A.4C=VDC2+AD2=4,

：.AC=OC=OA,

•••△40C为等边三角形，

：.LAOC=60°,

...商标的面积=S扇形A℃—S»ODC=x42—；x2x2V3=等一2\/3;

故答案为：A.

【分析】首先根据勾股定理算出CD、AC的长，然后根据三边相等的三角形是等边三角形判断出aAOC是

等边三角形，根据等边三角形的性质得NA0C=60°,进而根据阴影部分的面积二扇形AOC的面积-aODC的

面积计算即可.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示，连接EB,

•・•矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,以B为圆心，BC为半径画孤交AD于点E

.,.BE=BC=12cm=2AB,ZA=90>,AD〃BC,

AZAEB=30°,

AZCBE=ZAEB=30o,

2

.•・Sw=30nl2=12ncm2.

360

故答案为：C.

【分析】由矩形性质及以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E可得出BE=BC=12cm=2AB,ZA=90°,

AD/7BC,根据直角三角形的性质求得到NAEB=30°,由平行线性质求出NCBE=30°,最后根据扇形面

积公式计算即可.

10.【答案】D

【解•析】【解答】解：如图，连接

'：dc||04,AAOB=120°,

：.LOCO'=60°,

•・・C是C8的中点,

：,DC=CB=CO1=1,

・・・AOCO'是等边三角形，

・・・乙。。'。=乙COO'=60%乙CB(T=^CO'B=30°,

：.LOO'B=乙408=90°,

：・0,O',A三点共线，BO1=43

.•・阴影部分的面积为s.-s,=60TTX2^_127T_V3

,扇形BOD—OBO3602'VJ32

故答案为：D.

【分析】连接00,，证明0,O',Az三点共线，则阴影部分的面积为S南影BOD—SA080,.

11.【答案】期

【解析】【解答】解：如图，连接AD、0D..0E,

c

：.ZADB=90°,即ADJLBC,

在△ABC中，AB=AC=6cm,NBAC=50°,AD±BC,

.*.ZDAC=25°,

AZD0E=2ZDAC=50°,

・,・弧DE的长为：=£.

loUO

故答案为：

【分析】由直径所对的圆周角是直角得NADB=90°,即AD_LBC,由等腰三角形的三线合一得

NDAC=25°,进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得ND0E=2NDAC=50°,最后根据弧长计算公

式算出弧DE的长即可.

12.【答案】0.8

【解析】【解答】解：•・•弧AD长度为气4米，弧BC长度为"米，NA0D=60°,

.601I-OA_160TI-OB_3

*,180=3Hf180~5n,

9

之

。8

・-

♦5

Q

=OB-OA=l-1=0.8.

故答案为：0.8

【分析】利用弧AD和弧BC的长及弧长公式，分别求出OA,0B的长，再根据AB=0B-A0,代入计算求出

AB的长.

13.【答案】n

【解析】【解答】解：如图：连接AO,BO,AC,OF,

VAB=6,A0=B0=6,

AAB=AO=BO,

・•・三角形AOB是等边三角形，

AZ0AB=60°

同理：△FAO是等边三角形，

/.ZFA0=60°,ZFAB=2X60°=120°,

•・,由正方形的性质得NBAD=90°,

AZFAD=ZFAB-ZDAB=120°-90°=30°,

VAD=AF=6,

・••点D运动的路径长为：嘤至=死

loU

故答案为：n.

【分析】连接AO,BO,OF,易证aAOB与△FAO是等边三角形，得NFAB=120°,ZFAD=30°,再利用

弧长公式计算即可.

14.【答案】4百+1兀

【解析】【解答】解：连接AC、OE、OF、0G、OH,

•・•四边形ABCD为菱形，AB二4,NB=60°,

，AB二BC,

・•・AABC为等边三角形,A0=2,

.,.ZEA0=Z0CF=60°.

•・•以AC为直径的圆0与菱形ABCD相交，

・・・0A=0E二0F二0C二0G二0H二2,

・•・ZEOF=ZFOC=NCOG=ZGOH=ZH0A=NA0E=60°,

=

AS用加=4s八例+2s格彬oEF=2x2,n60。乂4+。黑；x24A/3+等.

故答案为：4次+萼.

【分析】连接AC、0E、OF、0G、0H,由菱形的性质可得AB二BC,推出aABC为等边三角形，A0=2,得到

NEA0二N0CF二60°,由题意可得0A=0ERF二0C二0G二0H二2,然后根据SM=4S&OE+2S&期诋进行计算.

15.【答案】竽

【解析】【解答】解：连接AC

V四边形ABCD为菱形，ZBAD二60°,

.\ZBAC=ZACD=30°,AB=BC=CD=AD=4,

/.BO=|AB=2,

2

/.s««=2S&町BOE=2X60TTX2=^

3603

故答案为：粤.

【分析】连接AC,由菱形的性质可得AB二BC二CD二AD二4,ZBAC=ZACD=30°,根据含30°角的直角三角形

的性质可得B0的值，然后根据S阴产2s*歌结合扇形的面积公式进行计算.

16.【答案吗+/

【解析】【解答】解：如图，作半圆弧48的中点E,

•••AB是直径,

：.LAPB=90°,

V.4C.BC是角平分线,

：.LPBD=4APB+24cAB=2(4C+/.CAB),

：-LACB=^AAPB=45°,

乙

以E为圆心及4为半径作上孤FB,

可知C在FB上运动，

注意到4尸是FB的直径，因此AF=24E=企48=2,

11

S~S^ABE+S扇形BEF=2+471,

故答案为：|+

【分析】作半圆弧AB的中点E,由圆周角定理可得NAPB=90°,根据角平分线的概念以及外角的性质可

得NPBD=2(NC+NCAB),则NACB=4NAPB=45°,以E为圆心EA为半径作上弧尸8,可知C在rB上运动，

则AF=2AE,然后根据S=S△碇+S网而进行计算.

17.【答案】(1)解：作图如下：△48'。'即为所求;

(2)解：由图可知：AC=ACr=4,^CACf=90°,

点C经过的路线为：CC=^71X4=271；

ioU

(3)解：由图可知：AB=y/AC2+BC2=V32+42=5,Z-BAB1=90°,

25

线段48在变换到48’的过程中扫过区域的面积为扇形面积二痂90"52「2二

T71.

【解析】【分析】(1)根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B'、C',然后顺

次连接即可;

(2)由图可知AC=AC'=4,NCAC'=90°,易得点C经过的路径为半径为4,圆心角为90°的扇形的弧

长，然后结合弧长公式进行计算；

(3)利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB'的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角

为90°的扇形的面积，据此计算.

18.【答案】解：如图，连接。C、0D.

VC,。是以48为直径的半圆周的三等分点,

：.LA0C=乙COD=乙DOB=60°,

又丁。。=0D,

0C0是等边三角形，

：.LOCD=LAOC=60°,

:.CD||AB,

•••^^ACD=S^ocD，

7

・c_a_607rx8_327r

阴影=3病施C。=360=~3~'

即：阴影部分的面积为颦.

【解析】【分析】连接0C、0D,根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得NA0C二NC0D二ND0B二60。，可

判断出aOCD是等边三角形，根据等边三角形性质可得N0CD=NA0C=60°,则CD〃AB,根据同底等高三

角形面积相等得S*cLScoco,则SM产S.OCD,进而利用扇形面积计算公式即可算出答案.

19.【答案】(1)证明：连接AD,

•・・.4B为0。直径，

：.LADB=90°,即4DJ.8C,

XVD是BC中点，

・・..4。是线段8c的中垂线，

：.AB=ACt

JA48C是等腰三角形

(2)解：・・"A=40°,OA=OE,

：.LA=乙4芥0=40°,

・••乙4OE=100°,

V.4K=6,

：.0A=OE=3,

.._100TTX3_5

・・UE=]80=/

'•'AB=AC,OB=OD,

：.LABC=70°=N008,

J.LAOD=140°,

:•乙EOD=40°,

•s_40TTX32_

…扇形EOD=360=7r.

【解析】【分析】(1)连接AD,由圆周角定理可得NADB=90°,结合D为BC的中点可得AD是线段BC的

中垂线,则AB二AC,据此证明；

(2)由等腰三角形的性质可得NA二NAE0=40°,由内角和定理可得NAOE=100°,然后利用弧长公式可

得AE的长，易得NE0D二40°,然后利用扇形的面积公式进行计算.

20.【答案】(1)解：由题意得，点B扫过的弧的长为84，

♦：0B=5,将^AOB绕点0顺时针旋转90。后得△AOB',

・广_n-2n-OB

3=360。

_90°x2TTx5

=-360^-

I5w•

-2'

(2)解：由题意得，线段AB扫过的面积为SAABO+S励的品-S麻的京-SA。//,

•・•将AAOB绕点0顺时针旋转90。后得△A08',

:.S^ABO=SRo、/,

S&ABO+S扇形oBEi一$扇开处SAOAR

=S扇形OBB'_S扇形OAK

79

n-7r-OBn-n'OA

二360。360。

_90OXTTX5290OXTTX22

-3605360^

217r

=—

【解析】【分析】（1）由题意得点B扫过的弧的长为88,，利用弧长公式计算即可；

（2）由旋转的性质可得SMB。=S.0/H，，可得线段48扫过的面积为Sf80+S身的痛-S勒如京

^AOAB~=S扇腕BB，—S扇腕AR，据此进行计算即可.

21.【答案】（1）解：如图，连结0C,

•・•直径AB=12,0D±AC,0D=3,

AOC=OA=OB=6,

A0D==/OC=3,

.,.Z0AC=Z0CA=30°,ZB0C=Z0AC+Z0CA=60°,

/.ZA0C=1800-ZB0C=120°,

._nnR人

・"ACr-180=4yr:

22

⑵解：S短形初=寓=翳=12"

又「力。=DC=yjAO2-OD2=V62-32=373

ADxODCDxOD

S/AOD+S/C0D=----2----------2----

373x3373x3

2+2=9V3

阴影=S扇形AOC一(S/MOD+SACO。)=127r—9B

【解•析】【分析】（1）连结0C,求出NA0C的度数，再利用弧长公式进行计算，即可得出答案;

（2）先求出S后“A8,再求出S&wo+Sacoo,利用S用般=S扇形的。一（S/AOD+Sdcoo）,即可得出答案.

22.【答案】（1）解：过点A作AH1BC于点H.

*：LBAD=135°,BC//AD,乙C=90°,

：.LABC=45°,CD1AD.

设CD=%,则AH=BH=CD=x,

：.AD=HC=15-2x,

设储料场的面积为S,则5=%(15-2%)+1%2,

，当x=5时，储料场的面积最大，最大面积为37.5瓶2.此时40=15—2x5=5.

故当AD=DC=5米，BC=10米时，所建储料场的面积最大，最大面积为37.5^2.

(2)解：小聪建议合理.理由如下：

由题意得13驾*=15,

loU

.20

•»AD=—

n

y120150

・S=3X15x——=——

2nn

47.7>37.5,

，小聪的建议是合理的.

【解析】【分析】(1)过点A作AH_LBC于点H,设CD=x,由/BAD=135°,BC〃AD,ZC=90°,可得

NABC=45°,

CD±AD.则AH=BH二CD二x,可得AD=HC=15-2x,设储料场的面积为S,可得