二次根式的概念和性质-课件

二次根式的概念和性质主讲人：尚晓嫚

学版 本：数学（人教版

）

年校：北京市第一O一中学级：八年级下学期初中数学思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？面积为3

的正方形的边长为

，面积为S

的正方形的边长为

．一个长方形围栏，长是宽的2

倍，面积为130m2，则它的宽为

m．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系

h=5

t

2，如果用含有h的式子表示t，则t为

．二次根式的概念初中数学h分别表示

3，S，65，5

的算术平方根．这些式子的共同特征是：

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是： 3， S，

65

， h．

5这些式子分别表示什么意义？这些式子有什么共同特征？二次根式的概念初中数学65，把形如 3

， S， h

用来表示一个非负数的5算术平方根的式子，叫做二次根式．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．二次根式的概念初中数学被开方数a≥0；二次根式根指数为2．二次根式：

一般地，我们把形如“ ”称为二次根号．a（a≥0）的式子叫做二次根式，二次根式的概念初中数学练习1 指出下列哪些是二次根式？（1）5

；（2）-3

；（3）321

；（4）

x2+1；（5）a-2（a≥

2）；（6）

a-b（a＜b）．二次根式的概念被开方数a≥0；根指数为2．二次根式初中数学

二次根式的概念（4）x2+1；

√（5）

a-2（a≥

2）；

√（6）

a-b（a＜b）．被开方数a≥0；根指数为2．练习1 指出下列哪些是二次根式？（1）5；

√（2）

-3

； 二次根式（3）321

；初中数学练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．二次根式的概念初中数学

∴当x≥-2时，x+2

在实数范围内有意义．解：要使在实数范围有意义，

必须

x+2≥0，∴ x≥-2．x+2例1 当x

是怎样的实数时，x+2

在实数范围内有意义？二次根式的概念初中数学例2 a

取何值时，下列二次根式有意义？11-2a（1）

a+1

；（2） ；（3）（a-1）2

．二次根式的概念初中数学≥0，得

a为任何实数．（3）由（a-1）2例2 a

取何值时，下列二次根式有意义？11-2a解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；（2）由1-2a＞0，得 a＜

1

；2（1）

a+1

；（2） ；（3）（a-1）2

．二次根式的概念初中数学．变式 a

取何值时，下列二次根式有意义？（1）a2-2a+1；（2）

-（a-1）2二次根式的概念初中数学．变式 a

取何值时，下列二次根式有意义？（1）a2-2a+1；（2）

-（a-1）2答案：（1）

a为任何实数；（2）

a=1．总结：被开方数不小于零．二次根式的概念初中数学问题1 根据算术平方根的意义填空．

把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：（ a

）2

=

a（a≥0）．

31

）2=

（__3___；（ 4

）2

=

_

_

4_

_

_

；（（ 12）2

=

___2__；0）2

=___0__．二次根式的性质初中数学

二次根式的性质把一个非负数或非负的式子写成完全平方式的形式正向运用（逆向运用a

）2

=

a（a≥0）

去

根

号的方法a）

2（a≥0）

a

（拓展例1 计算下列各式：

（1）（

1

.

5

）

2

；（2）（

2

5

）

2．解答：（1）1.5（2）20

3如：在实数范围内分解因式

x2初中数学

二次根式的性质把一个非负数或非负的式子写成完全平方式的形式正向运用（逆向运用a

）2

=

a（a≥0）

去

根

号的方法a）

2（a≥0）

a

（拓展例1 计算下列各式：

（1）（

1

.

5

）

2

；（2）（

2

5

）

2．解答：（1）1.5（2）20x2

3

3

x2

3

2

x

3

x

3

如：在实数范围内分解因式

x2初中数学把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：a2

=a（a≥0）．

0223（

2

）2

=

问题2 填空，你能说说这样做的依据吗？__3___；22=_

_

2_

_

_

；0.12=

__0_._1_；0 =

_____．二次根式的性质初中数学二次根式的性质你认为，当a＜0时，a2

=根据性质a2=a（a≥0），

可得：（-5）2=5 ．

a

a

2

_

_

．

a拓展性质推广例2 计算下列各式：（1）1

6

；（2）

（

-5

）

2

．解答：（1）4（2）5(x

2)2例3 根据二次根式的性质填空.

（1）当 x

1

时 ， (1

x)2

.初中数学

二次根式的性质

（2）若

x

2 ，则x的取值范围是

.(x

2)2例3 根据二次根式的性质填空.

（1）当 x

1

时 ， (1

x)2

.初中数学

二次根式的性质

（2）若

x

2 ，则x的取值范围是

.解：（1）由1-x<0x

1

，得∴ (1

x)2

1

x

x

1（2）由 x-2≥0，得x≥2初中数学

（1）；

（2）；（3）

；

例4 化简：22278（

18） （ 0） （4 ）

（4）（

3

5

）

2；（5）9

；（6）（

-

4

）

2

；

（7）2

5

；（8）（

-

3

）

2

．二次根式的性质初中数学

（1）；

（2）；（3）

；

例4 化简：22278（

18） （ 0） （4 ）

（4）（

3

5

）

2；（5）9

；（6）（

-

4

）

2

；

（7）2

5

；（8）（

-

3

）

2

．二次根式的性质解答：（1）18（2）0（3）14（4）45（5）3（6）4（7）5（8）3初中数学含有数或表示数的字母；用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．t

ab s

，，问题3

x3，

3，

a

（a≥0）

，

这些式子有哪些共同特征？回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b二次根式的概念和性质初中数学二次根式的概念和性质课堂小结本节课你学到了哪一类新的式子？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？二次根式与算术平方根有什么关系？你知道了二次根式的哪些性质？我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？初中数学双重非负性a

≥

0．a中的a≥0；（3）二次根式与算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．二次根式的概念和性质课堂小结本节课你学到了哪一类新的式子？一般地，我们把形如

（a

a≥0