2025年兰州石化职业技术学院数学单招模拟试题及答案详解

限时：20分钟满分：28分

2

1.(满分14分)已知,/lr)=2x-1xfg(x)=lo以x(〃>0且aWl).

⑴过尸(0,2)作曲线的切线，求切线方程；

⑵设Mx)=兀0・g(.r)在定义域上为减函数，且其导函数)，=亦(X)存在零点，求实

数。的值.

解：(1)・・力0)=0,・'・P(0,2)不在曲线)，=大外上，

设切点为0(xo,Jo),V/(x)=2—x,

MXOXO

:.k=f(x0)=2—x(l,且)=W)=2-£,

x2

，切线方程：j—2xi4-y=(2—xo)(x—x(>),

2

即y=(2—*o)x+自，

•••(0,2)在切线上，代入可得x()=±2.

，切线方程为y=2或『=4工+2.

⑵・.・Mx)=2x—%2—I。劭x在(0,+8)递减，

h1(x)=2—%—«宗辽0在x>0时恒成立，

Vx>0,二^一221—X?在x>0时恒成立.

Ina

Vx>00t,2x-好£(-8,1],.••十21,

.*.0<lna^l,①

又•・•》(x)=2—x—看存在零点，

即方程InGX2—2ln”・x+1=0有根,

.*.J=4ln2a_41na^O,，加“21或In”v0,②

由①②知lna=l,/.a=e.

2.(满分14分)如图，已知抛物线G：,二2PHp>0),

图G与y轴相切，其圆心是抛物线G的焦点，点M是抛物

线G的准线与x轴的交点.N是圆C2上的任意一点，且线

段|MN|的长度的最大值为3,直线/过抛物线G的焦点，与

G交于A,。两点，与C2交于5,C两点.

(1)求G与。2的方程；

⑵与否存在直线/,使koA+k°B+k℃+Ao/产Wi,且HB|,\BC\,|CO|依次成等差

数列，若存在，求出所有满足条件的直线/;若不存在，阐明理由.

3

-

解：(1)当点N为圆C2与工轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大,2

3

pt:•于=30p=2.

・・・抛物线G的方程为V=4x；

圆。2的方程为(X—1)2+产=1.

⑵设直线/的方程为1,A(X|,Ji),0(X2,J2),5(X3,J3),c(x4fJ4).

I1,

由［2—40y2-47ny-4=0,

....应1F

••Ji+j2=4m,jij2=-4,XiX2=16=1

.心［_|_勒/)_"+)'2丁叨+加?)'必但+)'2)

XlX24X1X2

-4mt

1(X-1)24-J2=1,

1+.।所tfi，…讨，

或1

L西

■:koA+AOB+koc+k()i)—3y[2,/.-6m=3yli,

/〃=一,2,此时直线,：-Wy=x-1.

3-一

由，2)'_x，得/+2也)，—4=0,

y=4x,

|AO|="1+加M—力|=6,

\AB\+\CD\=2\BC\^>\AD\=3\BC\=6f

\BC\9|。|成等差数列，

工存在直线/,它的方程为6％+)—6=0.

限时：20分钟满分：28分

②由①中鉴别式4>0,解得［">2或/〃v—2,

而直线A/过定点0(1,0),

因此SAOA1B=1|OeHyAi-j»|=1［yi4-j2|

_12问_4

=3加+4=T*

同+褊

记，=|，川，人。=七，易得大。在(2,+8)上为单调递减函数，得SZkOAiBW

2.(满分14分)设函数«r)=x2,g(x)=a\nx+bx(〃>0).

⑴若./u)=g⑴，,r⑴=/(i)，求F(X)=/W・四)的极小值；

(2)在(1)的条件下，与否存在实常数A和机，使得#幻，h+山和g(x)W乙+加？若

存在，求出女和，〃的值.若不存在，阐明理由；

⑶设G(x)=,Ax)+2-g(x)有两个零点X1,X2,且Ml,Xo,X2成等差数列，试探究

G'的)值的符号.

初人61)=虱1)‘一J"=l'」"=1'

解：⑴%,⑴二屋⑴叱+。=2叱=1.

^(X)=/Ix)-g(x)=AT-InX-X,

运用导数的措施求得尸(x)的极小值为F(l)=0.

(2)由于#x)与g(x)有一种公共点(1,1),而函数人工)=炉在点(1,1)的切线方程为),=

2x-l,

f/(x)^2r—1,

下面验证：］都成立.

由于x2—(2x—l)=(x—1)220,

知人x)22x—1恒成立；

设//(x)=g(x)—(2x-l)=lnx-x+lt

由力'(x)=0得x=l.

在(0,1)上,h'(x)>0,Mx)单调递增；

r

在(1,4-oo),h,h(x)<o,Mx)单调递减.

又由于Mx)在x=l处持续，因此Mx)WMl)=0,

因此g(x)W2x—1.

故存在攵和〃2,使得人g(x)WAx+/〃,

且％=2,m=—1.

(3)g'(xo)的符号为正,

由于G(x)=x24-2—alnx—bx有两个零点Xi,必,

fxf+2-«lnxi-Z»Xi=O,

则有iAn②一①得

[£+2—alnxi—bxi=^f

xi-x?-a(ln勘一InXi)-/>(X2-Xi)=0,

。(加nTnxi)

即h+xi-力---------.

Xi-Xi

于是G'(xo)=2xo-京—。=(乃+必-力)―1]+%2

.(In——Inxi)2a

X2~~X[X]+X2

当OVX1＜X2时，令彳=f，则，＞1，

2t—2