拓展拔高练(拓展拔高2阿波罗尼斯圆)

拓展拔高练(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足|PA||PB|=2,则点A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(2,0)【解析】选A.令P(x,y),则(x+4)2+y2=2(x-2)2+2.(5分)若平面内两定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足|PA||PB|=2,当P,A,B不共线时,△A.4 B.2 C.23 D.【解析】选D.设P(x,y),因为A(-1,0),B(1,0),且|PA||PB|=2,所以(x+1)2+y即圆的方程为(x-53)2+y2=169,半径为所以|y|≤43,则△PAB面积的最大值是12×2×433.(5分)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆,现有△ABC,AC=6,sinC=2sinA,则当△ABC的面积最大时,|BC|等于()A.12 B.20 C.25 D.52【解析】选C.如图所示,以AC的中点为原点,AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,因为|AC|=6,所以A(-3,0),C(3,0),设B(x,y),因为sin∠ACB=2sinA,由正弦定理可得|AB|=2|BC|,所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,化简得(x-5)2+y2=16,且x≠1,x≠9,圆的位置如图所示,圆心为(5,0),半径r=4,观察可得,在三角形底边长|AC|不变的情况下,当B点位于圆心D的正上方或正下方时,高最大,此时△ABC的面积最大,B点坐标为(5,4)或(5,-4),所以|BC|=(5-34.(5分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,0),B(4,0),若直线x-y+m=0上存在点P使得|PA|=12|PB|,则实数m的取值范围是(A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,-22]∪[22,+∞)D.[-22,22]【解析】选D.设P(x,y),则|PA|=(x|PB|=(x因为|PA|=12|PB所以(x-1化简得x2+y2=4,故点P的轨迹为圆心为(0,0),半径为2的圆,又点P在直线x-y+m=0上,故圆x2+y2=4与直线x-y+m=0必须有公共点,所以|m|1+1≤2,解得-22≤m5.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足|MA|=2|MO|,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是()A.[-5,5] B.[-6,6]C.[-7,7] D.[-22,22]【解析】选C.设M(x,y),由A(-2,0),且|MA|=2|MO|,得|MA|2=2|MO|2,即(x-2)2+y2=8,直线l:y=k(x-1)+b恒过定点(1,b),把x=1代入(x-2)2+y2=8,解得y=±7,要使对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点,则-7≤b≤7,即b的取值范围是[-7,7].6.(5分)(多选题)若两定点A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则下列说法正确的是()A.点M的轨迹所围成区域的面积为32πB.△ABM面积的最大值为82C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为52D.若圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M,则r的取值范围为[2,92]【解析】选ABD.如图,设M(x,y),由|MA|=2|MB|得,|MA|2=2|MB|2,所以(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理可得(x-6)2+y2=32,所以点M的轨迹是以点S(6,0)为圆心,42为半径的圆.对于A,点M轨迹围成的区域面积为π·(42)2=32π,A正确;对于B,因为|AB|=4,所以若△ABM的面积取得最大值,则点M到直线AB的距离最大,即到x轴的距离最大,因为点M到直线AB的距离的最大值为42,所以△ABM面积的最大值为12×4×42=82,B正确对于C,因为圆心S(6,0)到直线x-y+4=0的距离d=|6-0+4|12+(-1)2=52,所以点M到直线x-y+4=0距离的最大值为d对于D,由题意知点M的轨迹与圆C有公共点,即两圆有公共点,因为圆C的圆心为(-1,1),半径为r,所以两圆的圆心距为(6+1)2+(0-1)2=52,所以|r-42|≤52≤r+42,解得2≤r≤92,7.(5分)(多选题)(2024·保定模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名,著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0).点P满足|PA||PB|=12,设点P所构成的曲线为A.曲线E的圆心坐标为(-53,0B.43≤|PBC.曲线E的周长为πD.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为43(2【解析】选ABD.设P(x,y),由|PA||PB|=1整理可得x2+103x+y2+1=0,化简为(x+53)2+y2=169,所以曲线E的圆心坐标为(-53,0),半径为43圆心(-53,0)到点B(1,0)的距离为8所以83-43≤|PB|≤83+43,即43≤|PB圆的周长为2πr=8π3,故C错误圆心到直线x+y-1=0的距离为|-53+0-1|2=423,所以曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为4238.(5分)(多选题)在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(2,0),动点C满足|CA||CB|=12,直线l:mx-y+A.动点C的轨迹方程为(x+2)2+y2=4B.直线l与动点C的轨迹一定相交C.动点C到直线l距离的最大值为2+1D.若直线l与动点C的轨迹交于P,Q两点,且|PQ|=22,则m=-1【解析】选ABD.对于A选项,设C(x,y).因为|CA||CB|=12整理得x2+y2+4x=0,即(x+2)2+y2=4,所以动点C的轨迹为以N(-2,0)为圆心,2为半径的圆,轨迹方程为(x+2)2+y2=4,故A正确;对于B选项,因为直线l过定点M(-1,1),而点M(-1,1)在圆N内,所以直线l与圆N相交,故B正确;对于C选项,当直线l与NM垂直时,动点C到直线l的距离最大,且最大值为r+|NM|=2+2,故C错误;对于D选项,记圆心N到直线l的距离为d,则d=|1因为|PQ|2=4(r2-d2)=8.又r=2,所以d=2.由(1-m)2m2+19.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为________.

【解析】点C在直线l:y=2x-4上,故设C的坐标为(a,2a-4).因为半径r1=1,所以圆C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.设点M(x,y),则由|MA|=2|MO|可得x2+(化简整理得x2+(y+1)2=4.所以点M在以点D(0,-1)为圆心,r2=2为半径的圆上,又点M在圆C上,所以两圆有公共点,则|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|,即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤125即a的取值范围是[0,125]答案:[0,12510.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足|PA||PB|=3,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为________;·【解析】以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,