期末复习（压轴题60题）（学生版）-华东师大版(2024)九上

期末复习（压轴题60题）一、单选题1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④2．如图，在正方形ABCD中，AD=8，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF=45°，∠ABG=∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论：①DE+BF=EF；②BN⊥AEA．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF=3AF；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，已知正方形ABCD,E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④5．如图，矩形ABCD的边AB，BC的长是关于m的一元二次方程2m2-30m+100=0的两个根，且AB>BC．将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，A①AE=2B'E②△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BDA．22-2 B．10-2 C7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图像顶点为P2,m，且经过点A5,-2．以下结论：①b>0；②a-b+c>0；③

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．将抛物线y=ax2-4ax+ca<0向左平移tA．0<t<1 B．0<t<2 C．二、填空题9．如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32，AG=2，在Rt△BEF中，∠BEF=90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点10．如图，点A在双曲线y=-kxx<0上，连接OA，作OB⊥OA，交双曲线y=8xx11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在第一象限，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，点D是BC边的中点，点A、D均在反比例函数y=kxk≠0的图象上，点A的横坐标为212．如图，AD是△ABC的角平分线，AB>AC，AC=6，∠BAC=60°，点M，N分别是AD，AC上的动点，当13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=14．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N．若∠EBF=45°，CF=215．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC上有一点D，使CD=BC，点E是线段AB的延长线上的一点，连接BD，CE，且∠AEC=45°，若

16．如图，点E为▱ABCD的对角线BD上一点，连接AE并延长至点F，使得EF=AE，连接CF，若FC=4，DE=7，CD=4517．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE18．如图，四边形ABCD为矩形，AB=12，BC=8，点E在边DC上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线AD方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接AE和BF交于点G，直线CG交直线AD于点M，则19．如图，在半圆O中，直径AB=6，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为20．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=3，AB=4，BC【答案】421．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F22．如图，AB为圆O的直径，C，D为圆O上的点，连接OC，连接AC，BD并延长交于点E，且OC∥BD，连接CD．下列说法正确的是①∠CDE=∠A；②CE=CD；③∠COA=30°；④若AB三、解答题23．解方程x4设x2=y，那么x4=当y1=1时，x2=1,x∴原方程有四个根：x1(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(2)已知实数x,y满足x2(3)解方程：x224．【问题探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和CD上的点，连接AE，BF交于点O，若AE⊥BF．求证：【类比迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，2AD=3AB，点E为BC边上一点，点F为对角线AC上一点，连接AE，BF交于点O，若AE⊥BF【拓展应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=2AB，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，若AE平分∠BAF，且BE25．阅读下面材料．小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图(1)请直接写出AD的长为_______；(2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得AD的长．(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=12，∠B=∠C26．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=12，AG=8．点D、E分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠(1)求BC的长；(2)如图1，如果BF=3CE，求(3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD27．[问题提出]点E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α，（90°≤α<180°）AF，EF交边CD于点[问题探究]（1）如图1，当α=90°时，求∠（2）如图2，当α=120°时，∠GCF的度数=_____；当90°≤α<180°时，求[问题拓展]当α=90°时，若CE=2，CF=228．某数学兴趣小组在学习完“30°，45°，60°角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．根据AC=m，∠ABC=30°，得出AB=2m，BC=3(1)如图1，根据以上的思路和数据，得出∠CAD=________°，tan(2)如图2，△EFG中，∠F=90°，∠(3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知∠HMN=15°，∠HNM=22.5°，29．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE(1)求证：AB⋅(2)如果AD=3①求CF的长；②若BD=10，求CD30．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．学习再现：设一元二次方程x2+px+q那么x2比较系数得x1+x类比推广：（1）设x3+px2+qx+r问题解决：（2）若x3-5x2-12x-3=0的三个根分别为拓展提升：（3）已知实数a，b，c满足a+31．如图，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H，连接DE．∠AEB的平分线EF交AB于点(1)求证：∠DBG(2)试探究线段AE,(3)若CD=2AF32．在△ABC中，∠B=∠C=α0<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点（不与点B，C(1)如图1，若点E在线段AC上且AM=3，DM=2时，求(2)如图2，若D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF=DC，连接AE，(3)如图3，若α=30°，过M作直线MN⊥AB交边AB于点N，再作点N关于AM的对称点N'，点P是直线MN上一动点，将△APN'沿AP所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△APG，连接BG，点H为BG的中点，连接MH，当MH取得最大值时，连接AH，将△33．如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上任意一点时，联结BG交AC于点F，过点F作FH∥CD交BC于点H，可以证明结论(1)探究：如图2，上述条件，若点G在CD的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．(2)计算：若菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=60°，点G在直线CD上，且CG=16，联结BG交AC所在的直线于点F，过点F作FH∥CD交(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上，结论FHAB34．（1）如图1，△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∠AEF（2）如图2，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，∠ABE=∠CBE，点E是射线BE上一动点，连接AE,AE绕点①求证：CF⊥②若BF=47，AB=8（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是线段BD上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE的左侧作菱形AEFG，使得∠GAE=∠DAB，线段EF交线段CD与点P，若AB

35．已知直线l1：y=kx-4k>0分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y=-(1)如图1，点D的横坐标为4，若点E是l1：y①求直线l1②连接CE，若△ECD的面积为4，求E(2)如图2，点P是线段OA上一点，OP=2，在线段CP上取点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，点N恰好在直线l1上，且AP=AN，在平面内是否存在一点H，使得四边形36．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，则证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=5(3)【拓展延伸】如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F．若BD=3，37．【问题呈现】(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若BGCG=14，38．【问题引入】如图1，等边△ABC，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且∠ADE=60°【模型运用】如图2，在△ABC中，∠C=60°，D为AC边上一点，连接BD且∠ABD=60°【能力提升】如图3，在△ABC中，D为AC边上一点，连接BD且∠ABD=∠C=α，39．【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m=3，AB=27，DE=2时，将△CDE绕点C旋转，使A，D40．已知四边形ABCD和四边形CEGF都是正方形．

(1)如图1，当点G在对角线AC上时，AG=________BE(2)将正方形CEGF绕着点C顺时针旋转α；（0<α①当正方形CEGF旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；②在正方形CEGF绕着点C顺时针旋转的过程中，当B,E,F三点共线时，直线CG与射线AD相交于点H，若CF=241．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB=∠ADB小明同学的想法是：过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，则△EBD是等腰直角三角形，可通过证明△（1）求证：AD【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若AB=52，CD=6，点F是AD【拓展探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB=45°，若AD=3，CD42．已知菱形ABCD中∠ADC=60∘，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于(1)若点F在边CD上，且CF<12CD，过点C按如图所示作∠①证明：∠DAH②猜想△GEC(2)若菱形ABCD边长为4，当△BCH为等腰三角形时，求BE43．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC(1)求证：DF∥(2)如果AF=4，EF=6，AB=544．如图，二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l(1)求点A,(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,245．在△ABC中，AB=AC，∠(1)如图1，当点D在边BC上时，BD=4，且∠BAD=30°(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC=45°+∠(3)如图3，AB=6，当D、E分别为AB、AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α0<α<180°，直线BD与CE的交点为P46．【问题情境】已知AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A，B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在【特例探究】（1）当P在AB上方而C在AB下方时（如图①），判断PO与BC的位置关系，证明你的结论；【拓展探究】（2）当P，C都在AB上方时（如图②），过C点作CD⊥AP于点D，且CD是⊙O47．阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE(1)当OM经过点A（如图①）且⊙O的半径为1时，求S的值（结果保留π(2)当OM⊥AB于G时（如图②），求S、S1、S2之间的关系为：(用含S1(3)当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（248．如图，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点M，使得∠MCB=∠CAM，作AN⊥CM交⊙(1)求证：直线MC为⊙O(2)如图2，若点D是AC的中点，连接DC，OC，求证：四边形AOCD为菱形；(3)在（2）的条件下，若BM=2，求DN49．综合与探究若直线y=x-5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y=ax2+(1)求二次函数的解析式；(2)点Q在抛物线上，若∠BAQ=15°，则点Q的横坐标为(3)若点P为直线AB下方抛物线上一点，连接PA，PB，当四边形APBO的面积最大值时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，在y轴上，是否存在点M使△ABM的面积与△ABP的面积相等，若存在，请直接写出点50．在四边形ABCD中，⊙O经过点A，B，C，不经过点D(1)如图①，若∠ACD=∠ABC，求证：CD(2)如图②，AB=AC=AD，CB=CD，连接BD，与⊙O①求证AE⊥②若AB=45，BC=851．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，【类比迁移】（2）如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q0,-152．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3)，与y(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．53．如图，E是正方形ABCD边BC上不与B，C重合的一动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交BD于G，交CD于H，连接CF．【知识技能】（1）找出图中与∠FEC【数学理解】（2）①若AB=1．求△②若BE=1，DH=3，则正方形的边长为【拓展探索】（3）求证：BG=54．如图，在Rt△ABC中，AC=CB，E、F分别是AC、BC上的点，△CEF(1)如图甲所示，若D为AB的中点，求证：∠DEF(2)在第（1）题的条件下，请回答下列问题：①如图乙所示，连接CD，交EF于点H，AC=4，若△EHD为等腰三角形，求②如图乙所示，△AED与△ECF的面积之比是3:4，且ED=3，求△55．如图①，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(1)填空：b=______， c(2)如图②，已知点P在抛物线