概率论与数理统计 教案 第2章 随机变量及其分布

经济数学一概率论与数理统计教案

第2章随机变量及其分布

授课序号01

教学基本指标

教学课题第2章第1节随机变量与分布函数课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念教学难点分布函数的求法

及性质与计算。

参考教材《经济数学一概率论W数理统计(慕课版)》作业布置课后习题

大纲要求理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数2(X)=P{XWx})的概念及性质。会计算与

随机变量有关的事件的概率。

教学基本内容

一.随机变量

1.随机变量：设£是随机试验，样本空间为S,如果对随机试验的每•个结果①，都有一个实数X(@)与

之对应，那么把这个定义在S上的单值实值函数X=X(⑼称为随机变量.随机变量一般用大写字母

x,v,z,…表示.

2.随机变晶的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变显.

二.分布函数

1.分布函数：设*是一个随机变量，X是任意实数，称函数b(X)=P{XWx},—8VXV8为随机变量

才的分布函数，显然，F(x)是一个定义在实数域〃上，取值于［0,1］的函数.

2.几何意义:在数轴上，将才看成随机点的坐标，则分布函数F(x)表示随机点乃落在阴影部分(即X<x)

内的概率，如下图.

3.对任意的实数。,。,。3<方)，都有:

P[a<X<b}=P{X<b]-P{X<a]=F(b)-F(a)f

P{X>c}=l-P{X<c}=l-F(c).

4.分布函数的性质：

(1)单调性：分布函数是单调不减的，即若为<W，则尸(国)二/"2)：

(2)有界性：OWF(x)Kl,且/(y))=lim/(幻=0,F(+oo)=limF(x)=1;

XT—XT+cO

(3)右连续性;F(xI0)=F(x).

说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为

某个随机变量的分布函数.因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件.

三.例题讲解

例1.通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X为乘客的候车时间，其分布函数为：

0,x<0,

r

F(x)=^—,0<x<10,

10

l,x>10.

求：11)P(X<3)；(2)P{1<X<9}；(3)P[X>5}.

例2.设随机变量乃的分布函数为

b

a+------r,x>0

FM=(1+4

c,x<0

求常数a,b,。的值？

授课序号02

教学基本指标

教学课题第2章第2节离散型随机变量课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点离散型随机变量及其概率分布的概念，0—1分教学难点0—1分布、二项分布、超几何

分布、泊松分布及其应用。

布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。

参考教材《经济数学一概率论与数理统计(慕课版)》作业布置课后习题

大纲要求理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布、超几何分布、泊松

(Poisson)分布及其应用。

教学基本内容

弯散型随机变量及其概率分布

i.离散型随机变量：若随机变量丫所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型

随机变量.

2.随机变量的概率分布：设/为离散型随机变最，X所有可能的取值为外,，=1,2,3,...,称

P{X—Xj}—pjyi—1,2,3,...

为随机变量才的概率分布，也称为分布律或分布列.

概率分布也可以用表格的形式表示：

••••・・

X*£

••••••

PPlP1Pi

或者记为：

/\

"^7•••j•■•

Pl•••Pi,•,>

3.离散型随机变量概率分布的性质：

(1)非负性:p,>0,z=l,2,3,...;

(2)正则性：»%=1.

-1.离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为P{x=%}=〃,/=1,2,3,...,则才的分

布函数为

FM=P{XV幻=Z8X=七},i=1,2,3,...

Xf<X

即分布函数是分布律在•定范围内的累积.

二.常用的离散型随机变量

1.(0-1)分布

(1)(0-1)分布:若随机变量才只有两个可能的取值0和1,其分布律为P[X=k]=pk(\-p)i,k=0,1,

则称X服从以夕为参数的(0-1)分布或两点分布.

(2)(0-1)分布的分布律也可以记为

01

P1-pP

2.二项分布

(1)二项分布：若随机变量/表示〃重伯努利试验中事件/出现的次数，则有

P{X=k}=C：p；(l-p)n~\k=0,1,2,...,〃.

则称随机变量才服从二项分布，记为X~B(〃,p),其中〃和,(0<p<l)是二项分布的参数，上式就是二项分

布的分布律.

(2)二项分布的特例：在二项分布中，若令77=1,则X-B(l,p),其分布律为

P{X=Z}=p“l-p)j#=0,l,即I服从(0-1)分布.因此(0-1)分布是二项分布的特例，简记8(1,p).

3.泊松分布

把

(1)泊松分布：若随机变量X的分布律为P{X=k}=—6-%,2=0,1,2,...,其中之为大于0的参数，

k!

则称随机变量1服从参数为4的泊虫分布，记为XP(2).

(2)泊松定理：在〃重伯努利试验中，事件月在一次试验中出现的概率为p“(与试验总数〃有关)，如

2k

果当〃—时，〃->>0常数)，则有limC：p；(1-pJi=—e。&=01,2,….

k\

(3)说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数〃很大，而“p“不太大时，

二项分布可以用参数为九二叩”的泊松分布来近似.

4.几何分布

(1)若随机变量］的分布律为P{X=%}=〃/，2=1,2,...,q=l_p,其中〃(0<〃<1)为参数，则

称>服从几何分布，记为XG(p).

(2)说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在〃重伯努利试验

中，试验到第★次才取得第一次成功，前hl次皆失败.

5.超几何分布

(1)超几何分布：若随机变量才的分布律为P{X=Z}=G^m•次=0,1,2,...,厂其中r=1］］访{加,〃},

5

且几M历均为正整数，则称随机变量才服从超儿何分布，记为X

(2)有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有4件产品，其中3件不合格，从产品中不放回

的抽取〃件，则抽取的产品中不合格品的件数/服从超几何分布.

(3)超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项

分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量“非常大时,

超几何分布近似于二项分布.

三.例题讲解

例1.已知盒中有10件产品，其中8件正品，2件次品.需要从中取出2件正品，每次取1件，直到取出两

件正品为止，做不放回抽样.设X为取件的次数，则：(1)求I的分布律；(2)求X的分布函数尸(外；(3)求

概率P{2«X«3}.

例2.设某品牌的所有平板电脑中有20%需要在保修期内进行维修服务，其中有60%可以修好，而其余40%

只能用新平板电脑更换。如果一家公司购买了10台这样的平板电脑，那么有两台在保修期内被换新的可能性

有多大？

例3.有2500个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，

在1年里每个人出现意外伤害的概率是0.0001,每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在出现意

外时家属从保险公司领取2万元.请计算

(1)保险公司亏本的概率：

(2)保险公司一年获利不少于10万元的概率.

例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量

不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少.由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售

可以用参数为2=10的泊松分布来描述，为了以95%以.上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品

多少件？

例5.某医学调查报告显示，每200人中就有1人携带导致某种遗传性疾病的缺陷基因。求在一个有1()0()

个人的群体中，至少有8个人携带该基因的概率.

例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为外有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设

随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求乃的概率分布.

授课序号03

教学基本指标

教学课题第2章第3节连续型随机变量课的类型复习、新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点连续性随机变最及其概率密度的概念，概率密度教学难点概率密度与分布函数之间的关

与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、系，正态分布、均匀分布、指数

指数分布及其应用。分布及其应用。

参考教材《经济数学一概率论与数理统计(慕课版)》作业布置课后习题

大纲要求理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握正态分布、

均匀分布、指数分布及其应用。

教学基本内容

一.连续型随机变量及其概率密度

1.连续型随机变量：设X是随机变量，如果存在函数/(x),对任意的常数〃/(〃《〃)，有

P[a<X<Z?}=jf(x}dx,

则称X为连续型随机变量，同时称/(幻为¥的概率密度函数，或简称为概率密度.

2.概率密度函数的性质：

(1)非负性：/(幻川；

(2)正则性：rf{x}dx=\.

3.概率密度的几何意义：随机变量落入区间包内的概率等于曲线y=/(x)在区间上形成的曲边

梯形的面积，而正则性表明，曲线y=/(x)与X轴之间的部分面积为1.

4.连续型随机变量的分布函数：F(x)二尸{乂《工}=工/())力，则在/*)的连续点处，F\x)=/(x).

5.两点说明：

(1)连续型随机变量在某一个点c处的概率为0,即P{X=c}=[f(x)dx=0.

(2)连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值’的影响，即

P[a<X<b}=P{a<X<b}=P{a<X<b]=P[a<X<h}

=£f{y}dy=F(b)-F(a).

二.常用的连续型随机变量

1.均匀分布

1,

----,a<x<b,

(1)均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为b-a----------其中a,b(a<b)为任意

0,其它，

实数,则称随机变量才服从区间储,扮上的均匀分布,记为X~U(a,。).

O,x<ay

x-a」.

(2)均匀分布的分布函数：F(x)=----、aJx<b,

b-a

\,x>b.

(3)应用：若不在⑵6)上服从均匀分布，对(劣6)内的任一个子区间亿而，有

rd1d—C

P[c<X<d]=\——dx=——

b-ab-a

2.指数分布

〜1>°'其中参数/1>0,则称随机

(1)指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为f(x)=«

0,其它，

变量［服从参数为％的指数分布，艺为X£(A).

l-e-Zr,x>0,

(2)指数分布的分布函数：F(x)=〈

0,其它.

(3)定理：(指数分布的无记忆性)设随机变量XE(A),则对于任意的正数s和£有

P{X>5+/|X>/}=P{X>5}.

3.正态分的

ia-4)?

(l)正态分布：设才为连续型随机变量，若概率密度为=2b?,_8<戈<8,其中

\l27ro-

>0)为参数，则称随机变量才服从参数为〃和/的正态分布，也叫高斯分布，记为XN",八

(2)正态分布的分布函数：F(x)=P{X<x)=2ct'dt,-oo<x<oo.

(3)几点说明:

(i)概率密度/(x)的图形关于x=〃对称，是轴对称图形，在x=〃处取到最大值，并且对于同样长度

的区间，若区间离〃越远，则乃落在这个区间内的概率越小.

(ii)/(x)的图形以x轴为渐近线，随着不的取值往两侧无限延伸，图形与x轴无限接近，但又不会相

交.

(iii)当参数〃固定时，。的值越大，/。)的图形就越平缓：。的值越小，/(X)的图形就越尖狭，由

此可见参数。的变化能改变图形的形状，称。为形状参数.

(iv)当参数。固定时，随着4值的变化，/(幻图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数〃

的变化能改变图形的位置，称〃为位置参数.

(4)标准正态分布XN(O,1)

1

(i)概率密度°(x)=e*,-00<x<oo

5/2^

(ii)分布函数①(x)=dt,-<20<x<oo.

(iii)根据概率密度9(x)的对称性,有①(T)=1-①(x).

(5)定理：(标准化定理)若X-N(4。2),则Z=4二W-N(O,1).

<y

(6)标准化定理的应用：设X,。,仇”<b)为任意实数，则

产(x)-P[X<x}-0(^^),

(Jcracr

nr一〃X-[I,b一口、不/匕一〃、小/。一〃、

P[a<X<b}=P{——-<-------<——-}=中(——-)-中(——-).

aerercra

6.“3b”法则：设XNUg,则

P{ju-3a<X<ju+3a}=6(3)-0(-3)=2O(3)-1«0.997,

即正态分布NCiAb2)的随机变量以99.7%的概率落在以〃为中心、3。为半径的区间内，落在区间以外的概率

非常小，可以忽略不计，这就是“3cr”法则.

三.例题讲解

例1.车流中的“时间间隔”是指•辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设I

表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，I的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其

表达式为：

10.15产（9405,

/（幻=

其它.

求时同间隔不大于5秒的概率.

例2.设某供应公司在一周内出售的特殊材料数量为连续型随机变量X（吨），其概率密度为

3,

弓（17）0<x<l

fM=<

0,其它

求：门）分布函数尸（外；（2）概率尸{IwXWl}及P{X>,}.

23

例3.某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X服从（-3,3）上的均匀分

布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-r2之间的概率.

例4.设随机变量乃在（1,4）上服从均匀分布，对才进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2

的概率.

例5.设随机变量X表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min）,则X服从指数分

fo4e04xr>0

布，其概率密度为f（x）=l.“一/'求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.

［（）,其它.

例6.汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要.有研究表明，

驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中〃=1.25秒，。=0.46秒.求驾

驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应

时间超过这个值的概率是多少？

例7.设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中〃=300千克，b=24千克.求常数使抗断强

度以不小于95%的概率大于"

授课序号04

教学基本指标

教学课题第2章第4节随机变量函数的分布课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点简单随机变量函数的概率分布教学难点简单随机变量函数的概率分布

的求法

参考教材《经济数学概率论与数理统计（慕课版）》作业布置课后习题

大纲要求会求简单随机变量函数的概率分布。

教学基本内容

一.离散型随机变量函数的分布

若x是离散型随机变量，g（x）是实数x的函数，则当x取有限个或可列个值时，y=g（x）也取有限