概率论与数理统计第二章期末复习

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概率论与数理统计第二章期末复习

（一）随机变量及其分布函数

1.随机变量的概念

定义I定义在样大空间。上的实值函数x=x（⑼称为随机变量.常用大写

字母x,y,z等表示随机变量，其取值用小写字母x,J，，z等表示.

定义2若一个随机变量仅取有限个或可列无限个值，则称其为离散型随机

变量.若一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（。力），则称其为连续

随机变量，其中。可以是-8,人可以是+8.

2.用随机变量表示随机事件

在随机试验的结果中，随机变量取得某一数值x,记为｛X=x｝,这是一个

随机事件.同样，随机变量*取得不大于实数X的值，记为｛X4R;随机变量X

取得区间区/2）内的值，记为qWXVq｝；等等，也都是随机事件.

【例1】掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量，记为X.则

事件｛出现3点｝可用｛¥=3｝表示；

事件｛出现的点数不小于3｝可用｛X23｝表示；

又如｛X<3｝表示事件｛出现的点数小于3｝.

（-）离散型随机变量及其分布

I.离散型随机变量

定义1设X是一个离散型随机变量，若X的所有可能取值是玉，乙，…，

与，…，则称X取值W的概率P（X=xJ=p,,i=…,〃，…为X的分布律或分

布列，记为X~｛P,｝.

分布律也可记为

•••

X王工2…

••••••

PP1P1Pn

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任一离散型随机变量的分布律都具有下述两个基本性质:

⑴非负性：p（xJ20,i=l,2,...；

（2）规范性：£p®）=l.

J=1

【例1】设离散型随机变量X的分布律为:

X-123

P0.250.50.25

试求产(XW0.5),P(l.5cXW3).

【解】P(X<0.5)=P(X=-l)=0.25,

P（1.5<%<3）=P（X=2）+P（X=3）=0.75.

【注】在具体求离散型随机变量x的分布律时，关键是求出X的所有可能取值

及取这些值的概率.

【例2】某系统有两台机器相互独立地运转.设第一台与第二台机器发生故障的

概率分别为0.1和0.2.以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分

布律.

【解】设4=｛第i台机器发生故障｝」=1,2.

X所有可能的取值为0，1,2.则

P（X=0）=尸（彳&=P（4）P（Z）=0.72,

P（X=1）=P（4Z）+P（442）=P（4）P（Z）+P（4）P（42）=S26,

P（X=2）=尸（44）=P⑷P（4）=0.02,

所以X的分布律为

X012

P0.720.260.02

2.常见的离散型随机变量

1）两点分布

定义2设随机变量X只可能取。与1两个值，它的分布律为

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P(X=k)=pk(\-p)

则称X服从参数为p的两点分布或04分布.

2)二项分布

定义3设随机变量X的可能值是0,1,2,…，〃，它的分布律为

P(X=k)=C：p，z,左=0,1,...,〃，

其中0<p<l,p+q=l.则称X服从参数为〃和p的二项分布.记为X〜伙〃,p).

【例3】设X〜伙3,p),且P(X=1)=P(X=2),则p=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【解析】因为X〜/3、p),旦尸(X=1)=P(X=2),所以有

—〃)2=或〃2(1一〃)，

解之得p=0.5,故选项A正确.

3)泊松分布

定义4设随机变量X的可能值是0,1,2,…，它的分布律为

P(X=k)=—e-A,4=0,1,2,…

其中义>0是常数.则称X服从参数为4的泊松分布，记为X〜尸(％).

【例4】设X〜P(/l),且P(X=2)=2P(X=1),则4=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】因为X〜PQ),且P(X=2)=2P(X=1),所以有

-e^=2—e-z

2!1!

解之得尤=4或4=0(舍去)，故选项D正确.

【例5】一铸件的砂眼(缺陷)数服从参数为2=0.5的泊松分布，试求此铸件上至

多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率.

【解】以X表示这种铸件的砂眼数，由题意知X〜P(0.5).

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则此种铸件上至多有1个砂眼的概率为P(X<1),

查泊松分布表知当4=0.5时，P(X<l)=0.91.

至少有2个砂眼的概率为P(X>2)=\-P(X<1)=0.09.

定理1(泊松定理)在〃重伯努利试验中，事件力在一次试验中发生的概率为

A(与试验次数〃有关),若当>+8时，有〃>0),则

lime)。-p“严二3月

由于泊松定理是在吵“f/I条件下获得的，故在计算二项分布仇〃,〃)时，当

〃很大，〃很小，而乘积4二步大小适中时，可以用泊松分布作近似，即

C：p£。-p)"-丁第「%〃=01,2,…

K\

【例6】已知某种疾病的发病率为0.001,某单位共有5000人.问该单位患有这

种疾病的人数不超过5人的概率为多少？

【解】设该单位患有这种疾病的人数为X,则有X〜仅5000,0.001),而所求的是

5

50()()A

P(%<5)=^Cj)c>o0,00r0.999-.

女=0

这个概率的计算量很大.由于〃很大，p很小，且2=叩=5.用泊松近似得

5

P(%<5)«^—C-5=0.616.

A=ok!

3.分布函数

定义5设Y是一个随机变量，对任煮的实数x,称9(丫)="(丫<丫)为随机

变量X的分布函数.且称X服从尸(x),记为X〜尸(x).

任一分布函数尸(X)都具有如下三条基本性质：

(1)单调性“(X)是定义在整个实数轴(-8,+功上的单调非减函数，即对任

意的为<工2，有的(再)《尸(工2)・

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(2)有界性对任意的x,有PW/(x”l,且

F(-oo)=limF(x)=0,

X-►-X

F(+oo)=limF(x)=1.

(3)右连续性/(x)是x的右连续函数，即对任意的［，有lim尸(幻=尸(/),

即F(xo+O)=F(xo).

有关X的各种事件的概率都能用其分布函数来表示,例如，对任意的实数。

与b,有

P(a<X<h)=F(b)-F\a),

P(X=a)=F(a)-F(a-0),

P(X>b)=\-F(b-0)f

P(X>b)=l—F(b),

P(a<X<b)=F(b-0)-F(a),

P(a<X<b)=F(b)-F(a-0),

P(a<X<b)=F(b-0)-F{a-0).

特别当尸(x)在a与b处连续时,有独伍-0)=在⑷,F(h-0)=F(b).

【例7】设随机变量X的分布律为

X-123

P0.250.50.25

求X的分布函数.

【解】X仅在工=-1,2,3三点处其概率不为0,而尸*)的值是XKx的累积

概率值，由概率的有限可加性知，有

0>x<-1；

P(X=—1),-l<x<2；

F(x)=<

尸(X=—l)+P(X=2),2Wx<3；

Lx>3.

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0,x<-1；

0.25,-l<x<2；

即%)=

0.75,2<x<3：

1,x>3.

(三)连续型随机变量及其分布

1.连续型随机变量

定义1设随机变量X的分布函数为尸(x),若存在实数轴上的一个非负可积

函数/(x),使得对任意实数x有

F(x)=匚/(〃)d〃，

则称*为连续型随机变量，其中函数/(均称为>的概率密度函数，简称概率密

度或密度函数.

概率密度函数/&)具有以下两个基本性质：

(1)非负性：/(x)>0；

(2)规范性：「"/(x)dx=1.

J-00

由分布函数与概率密度函数的定义知：

(1)对于任意实数$式/，有

P(x<X<x,)=)-爪西)=；

1J*

(ii)若/(x)在点工处连续，则有U(x)=/(x).

【例1】设为连续型随机变量X的概率密度函数，则必有()

r4R

A.0</(x)<1B.ff(x)dx=1

J—00

C.在定义域内单调不减D.limf(x)=1

.V-»-KO

【解析】选项A：概率密度函数/(x)具有非负性，即/'(X)20,但/(x)不一定

小于1,故选项A错误；

选项B：由规范性，「'/(x)dx=l,故选项B正确；

J-XI

选项C：分布函数F(x)在定义域内单调不减，而概率密度函数/*)在定义

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域内可以单调递减，故选项c错误；

选项D：当x->+00时，分布函数尸(工)的极限为1,即lim2x)=1,概率密

度函数/W的极限不一定为1,故选项D错误.

【例2】设X的概率密度函数与分布函数分别为/(x),F(x),则下列结论正确

的是(B)

A.0</(x)<1B.0<F(x)<1

C.P(X=x)=F(x)D.P(X=x)=f(x)

【例3】已知随机变量X的概率密度函数为

kx,0<x<3；

/(x)=«2-|,3<x<4；

0,其他.

7

(1)确定常数3(2)求X的分布函数；(3)求aicXW])

【解】⑴由J:/a)dx=l,得J、xdx+J：(2-泉dx=l,

解得k=：.

6

(2)当xV0时，/(x)=0,U匕时尸(x)二产(XWx)=「Odz=0;

J-30

2

当0Wx<3时，F(x)=P(X<x)=Odr+X

当3Vx<4时，产(x)=P(XWx)=/Odr+f3-dr+f'(2--)dr=-3+2x--

J-ooJo6J324

当X24时，F(x)=P(X<x)=Odr+dr+j"(2--)dr+[Odr=1；

'。632，

所以X的分布函数为

0,x<0；

二

0<J<3；

Fm(x)、=<五’

2

Y

-3+2x—,3<A<4；

4

1,x>4.

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741-

(3)P(l<Jf<-)=F(-)-F(l)=—.

【注】如果概率密度函数/(x)中有待定的常数，则该常数必定是利用规范性来

确定的.

2.常见的连续型随机变量

1)均匀分布

定义232若随机变量X的密度函数为

1,

八,、----»a<x<b\

f(x)=\h-a

0,其他.

则称x服从区间m力)上的均匀分布，记为其分布函数为

0,x<a\

L/、X~a/,

r(x)=<------,a<x<b；.

b-a

Lx>b.

【例4】设K在区间(1,6)上服从均匀分布，求方程f+Kx+l=0有实根的概率.

【解】方法1：由题可知K〜U(l,6),其概率密度函数为

/«)=5'

0,其他.

方程/+Kx+I=0有实根，即片-420,则

P(K2-4>0)=P(K<-2)+P(K>2)=P(K<-2)+P[2<K<6)+P(X>6)

(•-261,+84

=fOdZ+f2dZ+f0d%=—.

J-00J25J65

方法2：由题可知K〜U(l,6),其分布函数为

0,k<T,

k-\

^)=—

1,kN6.

方程/+Kx+l=0有实根，BP7C2-4>0,则

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P(K2-4>0)=P(K>2)+P(K<-2)=1-P(K<2)+P(K<-2)

=l-F(2)+F(-2)=0.8.

2）指数分布

定义2若随机变置X的密度函数为

加T,X>0；

=

0,x<0.

则称X服从参数为2的指数分布，记为万〜丘切仅），其中参数4〉0.其分布函

数为

1-eAx>0：

/⑴二

0,x<0.

【例5】己知某种电子元件的寿命Y（单位：6）服从指数分布:

elooo,x>0；

/«=To6o

0,x<0.

求这种电子元件能使用1000/7以上的概率.

【解】由题意，所求概率为

+001

?(X21000)=/——c1000dx=c

looo1000

3）正态分布

定义3若随机变量X的概率密度为

fa)=看-co<X<+8

则称*服从参数为“和b的正态分布，记为X〜N（〃Q2）.其中参数

-co<//<4-00,(T>0.

定义4称〃=0,b=l时的正态分布N（0,l）为标准正态分布,其概率密度为

M看2-co<X<4-oc

分布函数为

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O(x)=-^=Je2dr

标准正态分布的分布函数具有下列性质：

(1)①(T)=l-①⑶；

(2)0(0)=0.5；

⑶①(+8)=1.

利用标准正态分布表还可以算得：

(1)P(X>x)=l—(D(x)；

(2)尸(a<X<6)=①⑹―①⑷；

(3)P(|%|<c)=2(D(c)-l.

定理1若X〜N。/,/),则工=丘幺〜N(0,l).

cr

定理2若X〜N(%6),则它的分布函数尸(x)可写成

F(x)=P(X<x)=①.

对于任意区间(司,々]，有

PU,<%<x2)=0(^^)-(D(^^).

crcr

【例6】设X〜N(0,l),X的分布函数为①(x),则P(因>2)=()

A.20(2)-1B.2[1-<D(2)]C.2-0(2)D.1一2①⑵

【解析】P(|X|>2)=P(X<-2)4-P(X>2)=P(X<-2)+1-P(X<2)

=(D(-2)+1-0(2)=1-0(2)+1-0)(2)=2[1-0(2)].

【例7】已知X〜NR,/),且P(2<X<4)=0.3,贝iJP(X<0)=.

4-27-222

[解析]尸(2<X<4)=0(——)-0(——)=0(-)-①(0)=①(一)-0.5=03,

(7(7(ya

2

故(D(-)=0.8,

(T

0—2?2

则有P(X<0)=0(--)=0)(一一)=1-<1>(-)=0.2.

0Go

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(四)随机变量函数的分布

I.离散型随机变量函数的分布

【例I】设随机变量x具有以下分布律，试求y=(x-i)2的分布律.

X-1012

P0.20.30.10.4

【解】丫所有可能取的值为o,1,4.有

p(y=0)=P(Z=l)=0,1,

P[Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.7，

p(y=4)=P(%=-l)=0.2.

所以y的分布律为

X014

P0.10.70.2

2.连续型随机变量函数的分布

(1)定义法

为了求连续型随机变量x的函数y=g(x)的概率密度，可以先计算

y=g(x)的分布函数，使其用x的分布函数表小，然后冉用求导的方法求出y的

密度函数.

(2)公式法

定理1设随机变量X的概率密度为A(x),xw(-8,+8),y=g(x)为严格单

调函数，其反函数x=，Ky)有连续导函数，则y=g(X)是连续型随机变量，其概

率密度为

/心)］。，其他.，

其中。=min{g(-oo),g(+8)},b=max{g(-oo),g(-H»)}.

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【例2】设随机变量X具有概率密度

—,0<x<4；

8

0,其他.

求随机变量y=2X+8的概率密度.

【解】方法1:分别记X,y的分布函数为/x(R),FY(y).下面先求4(y).

y—8y—8

FY(y)=P(Y<y)=P(2X^<y)=P(X<^)=Fx(^).

将63)关于歹求导数，得y=2X+8的概率密度为

43)=理3)=母(宁)=人(三)(宁)'

0,其他.

,8<y<16；

〔0，其他.

方法2：函数y=2X+8的反函数为X=g(y-8),有

X=h(y)=：(y-8),h\y}=1,

乙乙

则随机变量Y=2X+8的概率密度为

一、/d〃3)]l〃3)l，o<Y<4,

fy(y)=<N

其他.

o,其他.

,8<y<16；

[0，其他.

【注】使用公式法时，一定要先验证定理的条件都成立，然后再使用公式计算,

否则容易出错.

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【例3】随机变量*的概率密度为A，(x),-OO<x<+oo,求y的概率密度.

【解】分别记x,y的分布函数为6,(外，耳3).先求y的分布函数耳(y).

由于丫=月20,故当"。时，｛丫《训是不可能事件，有4oo=Q(y“)=o；

当时，有

1

FY(y)=P