概率知识点总结及题型

概率知识点总结及题型汇总

一、确定事件：包括必然事件和不可能事件

1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，

或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。

2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生

的事件，或者说发生的可能性是0,如：太阳从西边出来。这是不可能事件。

3、必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0

二、随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能

不同.

一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。

三、例题：指出以下事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，

哪些是确定事件？

①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；

②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；

④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞时机晚些到达.

解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②.确定事件是①②

三、概率

1、一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A

发生的概率，记为P(A).

(1)一个事件在屡次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件

发生的概率。(2〕概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的

可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情况的总概率之和为lo(2)在一次实验中，可能出现的结果有限

多个.

(3)在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

(4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，

那么它的概率越接近1;反之，事件发生的可能性越小，那么它的概率越接近0。

(5)一个事件的概率取值：OWP(A)<1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P(必然事件)=1

不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，那么OVP(A)<1

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近丁1,事件发生的可能性越小，那么它的概率

越接近0.

3、求概率的步骤：

（1）列举出一次试验中的所有结果（n个）；

（2）找出其中事件A发生的结果（m个）；

（3）运用公式求事件A的概率：P（A）=-.

n

5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件

等可能性事件的两种特征：

（1）出现的结果有限多个；（2）各结果发生的可能性相等；

例I：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针

在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，

由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分

的。

例2、以下事件哪些是等可能性事件？哪些不是？

（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是

（2）某运发动射击一次中靶心或不中靶心。不是

（3）从分别写有1,3,5,7中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1,或3或5

或7。是

6、古典概率模型

在一次实验中，可能出现的结果有限多个，每个根本领件出现的可能性相等。将具有以

上两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。

例题：（1）从标有数字1,2,3,4,5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相

同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率.

（2）从标有数字1,2,2,3,4,5的6个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）

中摸出一球，求摸出号码是2的概率.

此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果,

那么事件A的概率P（A）号,解题时注意对概率意义的理解.

在（1）这次摸球实验中，共有5中可能的结果，事件A〔摸出号码2这件事）包含其中

的一种结果，那么摸出号码是2的概率.为1/5.

在（2）这次摸球实验中，共有6中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中

的二种结果，那么摸出号码是2的概率.为263.

7、求概率的通用方法：

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等,

那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫

列举法.

列举法包括枚举法、列表法、树状图法

(1)枚举法(列举法)：通常在一次事件中可能发生的结果比拟少时，我们可以把所

有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件

的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

(2)列表法：当一次实验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)，并且可能出现的结果

数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

(3)列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时,

列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

四、频率与概率

1、频数：在屡次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附

n

近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P(A)=Po

五、概率公式中m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。

在概率公式P(A)二”中m、n取何值，m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。

n

()WmWn,m>n为自然数

VOW—W1,AO^P(A)Wl.

n

当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1,

当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=O.

OWP(A)

六、几何概率

1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么

称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

(1)几何概型的特点：

1)试验中所有可能出现的结果(根本领件)有无限多个.2)每个根本领件出现的可能性

相等.

(2)在几何概型中，事件A的概率的冲算公式如下：

七、例题汇总

(一)确定三事件

例1以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是

确定事件？，分析其发生概率的大小

(1)抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上；(2)367人中有2人的出生日期相同；

(3)1+3>2；(4)太阳从西边升起.

解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.(1)抛掷一枚均匀的骰

子，1,2,3,4,5,6点都有可能朝上，故6点不一定朝上；(2)一年有3651或366)

天，故367人中必然有2人的出生日期相同；(3)1+3肯定大于2；(4)太阳不可能从西

边升起.由以上分析知：

(1)是不确定事件，(2)(3)是必然事件，(4)是不可能事件.

(2)(3)(4)是确定事件

发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义.必

然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1:不可能事件是指不可能发生的事件，发

生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0和1之

间.

例2、以下事件属于必然事件的是()

A.翻开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员

C.实数aVO,那么2aV0D.新疆的冬天不下雪

解析：A是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B为随机事件，一

个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会

下雪.应选C

例3、［福建龙岩)以下事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落

地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能

围成一个三角形.其中确定事件的个数是().

A.1B.2C.3D.4

B解析：③④是确定事件

(二)概率意义的理解

例1、某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购

物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖

率为50%?为什么？

解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但

这些数据在此题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖

活动中奖率为50%.

点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一

个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论.随机事件每次发生的结果

是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的.

例2、以下说法正确的选项是()

A.某市“明天降雨的概率是75%〃，表示明天有75%的时间会降雨

B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上

1

C.在一次抽奖活动中，"中奖的概率是10。〃表示抽奖100次就一定会中奖

D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交

解析：明天降雨的概率是75%是说明明天有75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%

的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5,说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，

有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖

的概率为一二，指的是每抽奖一次都有的可能性中奖；故A、B、C都错，因而选D.

100100

(三)利用简单枚举法求概率

例1某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖时机，每次摸

奖时，购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球(小球之间只有号码不同，其他均相同)

中摸出一球，假设号码是2就中奖，奖品为一张精美图片.

(1)摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？

(2)一次，小聪购置了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一

定能摸中“，你同意他的想法吗？说说你的想法.

解析：(1)每次摸奖时，有5种情况，只有摸到号码是2的球才中奖，于是得到一张精

美图片的概率是P=1;

(2)不同意，因为小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是去所以他第5次不一定中奖.

点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m

种结果，那么事件A的概率P(A)号，解题时注意对概率意义的理解.

例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中〔每个方格除颜色外完全一样)，那么

这粒豆子停在黑色方格中的概率是.

解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可

能性共有12种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于巴二,

123

2、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比.设每个方格的面积是1,

那么P(这粒豆子停在黑色方格)=-=1.

123

点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图

形面积除以所有可能结果组成的图形面积.

例3、掷两枚硬币，求以下事件的概率

(1)两枚硬币正面全部朝上；(2)两枚硬币反面全部朝上

(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。

解：用枚举法(列举法)列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4

种。并且这四个结果出现的可能性相等。

用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,那么所有可能结果如表所示：

正反

正(正，正)(正，反)

反(反，正)(反，反)

(1)所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果只有一个，即“正

正”所以P(A)=1/4

(2)所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上(记为事件B)的结果只有一个，即“反

反”所以P(B)=1/4

(3)所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上(记为事件C)的结果共

有2个，即“正反”“反正”所以P(C)=2/4=1/2

例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm,3cm,4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根

长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，答复以下

问题：

(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；

(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；

(3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率.

解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：［1,3)、(1,4)、(1,5)、(3,

4)、(3,5)、(4,5),其中与3cm长的线段构成三隹形的有(1,3,3)、(3,3,4)、

(3,3,5)、(3,4,5)四种；构成直角三角形的有(3,4,5)一种；构成等腰三角形的

有(I,3,3)、(3,3,4)、(3,3,5)三种，所以有：

4_2

(1)P(构成三角形)二%一'(2)P(构成直角三角形)=6；

3__1_

(3)P(构成等腰三角形)=7一5.

（四）列表法求概率

当试验涉及两个因素（例如两个转盘）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出

所有的结果，通常采用“列表法”。

例1、如图，袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”

.小明设计了一个游戏:

游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）.

游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的

概率.

解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:

11(1,1)2(1,2)3(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同,而所考

2的结果只有一种因此游戏者获胜的概率为1/6.

例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3,乙转盘的四个等分区域分别

写有数字4、5、6、70现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

解：列表

4567

1(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)

2(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)今㊉

3(3,4)[3,5)(3,6)(3,7)

共有12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有16）种

AP（数字和为偶数）=6/12=1/2

例3、例、同时掷两个质地均匀的骰子，计算以下事件的概率：

⑴两个骰子的点数相同

⑵两个骰子点数之和是9

（3）至少有一个骰子的点数为2

分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时,

为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。

解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有可能的结果:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(13)(2,3)(，3)(43)(53)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1$)(2,5)(3,5)(4,5)(5⑸(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等。

(1)满足两个骰子点数相同(记为事件A)的结果有6种，P(A)=6/36=l/6

(2)满足两个骰子点数和为9(记为事件B)的结果有4种，P(B)=4/36=l/9

(3)满足至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，P(C)=ll/36

思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得

的结果有变化吗？没有变化

(五)树形图法求概率

当一个实验要涉及3个或更多的因素〔例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，

为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

1、现有一项“抖空竹”的表演.有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随

机选用其中的一种空竹.求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率.

解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件M.塑料一A木质一B

方法方法2：

幺A仇必9丙"卜东仲要别装有大小、蝌相必的卡g假胡，甲盒中装有2张卡片,

分别写有字母A和氏乙盒中装有3张卡状分咦有契和E；丙盒中装有2张卡

片，界谕写用浮母牛轴耍从3个盒怖MKJ'1,科/•、求

(1)取出的3张卡片中恰好有1个，△个？力个号杓通孕母的概率各是多少？

(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？

.我便寸形图'

人得少吉果有宕果出现的可能性相等.

一个?^懈喙两5

(1

丙盒12

承工蹲字爵埠喈*

全部为元音字母的结果有1个，所以p(三个元音)=n；

⑵全是辅音字母的结果有2个.所以p(三个辅音)=2=].

126

3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1是两个可以自由转动的转盘,

每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色,

转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。

（I）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。

（2）游戏者获胜的概率是多少？

解析：（1）所有可能出现的结果可用表1或图2表示。

表1

X黄蓝绿

红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）

白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）

（2）所有可能出现的结果共有6种，配成紫色的结果只有1种，故游戏获胜的概率为

1

-0

6

这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接

下来仍然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法

解决概率问题的过程。

用图3所示的转盘进行“配紫色”游戏。

小颖制作了图4,并据此求出游戏者获胜的概率为《。

小亮那么先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后

制作了表2,据此求出游戏者获胜的概率也是

2

红色蓝色

红色1（红1,红）（红1,蓝）

红色2（红2,红）（红2,蓝）

蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）

你认为谁做得对？说说你的理由。

解析：因为左边的转盘中红色局部和蓝色局部的面积不同，因而指针落在这两个区域

的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方fe

o

4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三

个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？

解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为1,2,3c可以看出坐在2

号位上，那么为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。

开始

从图中可以看出，不管小明第

几个坐，所有的可能能是6种，而

父亲母亲123

公明坐2号位置的情况有2种（记AAA

父亲231312

为事件A）,所以小明恰好坐在父母亲I\ni

母中间的概率是小明小明32312

图5图6

P（A）=-=-

（六）概63率与方程

1、（2011广西防城港23,8分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜

色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），假设从中任意摸出一个

棋子，是白色棋子的概率为之.（1）求纸盒中黑色棋子的个数；

4

（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列

表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率.

解答：⑴・・・3：3—3=1・•・黑色棋子有1个.

4

白A白6白C里

白A（A，B）(A,C)（A,黑）

白B(B.A)(B,C)(B,黑)

\

白C(C.A)(C.B)（C,黑）

黑（隔4）（黑，B）(用.C)

，共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率吗.

另外，此题还可以用树状图解答如下:

因为由上面树状图可知：共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为2.

2

2、湘潭是我家，保护靠大家〃.自我市开展整治〃六乱〃行动以来，我市学生更加自

觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路

11

口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为］,遇到黄灯的概率为5,

I245

那么他遇到绿灯的概率为（）A.3B.3C.9D.9

解:遇到绿灯的概率为1-1/34/9=5/9

【点评】所有情况的概率之和为1,用1减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。

3、（2014?武威模拟）袋子里有10个红球和假设干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意

摸球，共摸100次，其中摸到红球次数是25次，那么袋子里蓝球大约有（）

A.20B.30C.40D.50

251

【解析】•・•共摸100次，其中摸到红球次数是25次，.••摸到红球的概率为诬二工

10工

・・•袋子里有10个红球和假设干个蓝球，，设篮球有X个，那么丽=4解得：x=30,应

选B.

4、（2010铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱

里，其中红球4个，蓝球3个，黄球假设干个.假设每次只摸一球（摸出后放回），摸出红球

的概率是2,那么黄球有个.

5

解析：设黄球有/个，那么摸出红球的概率为4=2,解得x=3

4+3+x5

5、（2010湖南衡阳）在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片

陵颜色外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的

概率为上

⑴试求箱子里蓝色卡片的张数.

⑵第一次随机抽取一张卡片[不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的方

法，求两次抽到的都是红色卡片的概率.

分析：（1）设箱子里蓝色卡片的张数为x张，由々打色）=工]那么上1=—9--,解关于x的方程即可求

222+1+x

出箱子里蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次油取后不放回.

解：（1）设箱子里有x张蓝色卡片，那么有一--=-,解得：x=l.

2+1+x2

（2）

从树状图图可知，一共有12种结果，两次抽到的都是红色的有两种.

21

:.P（两次抽到都是红色卡片）

126

6、（2010湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、g分别表示两人各投掷一

次的点数.（1）求满足关于X的方程1+/*+4=0有实数解的概率.

12）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.

分析:通过列表或画树状图，可以求出p、q的各种可能的取值；方程/+/>+4=0有实数

解的条件是判别式//-WK）；方程，+px+,/=o有两个相同实数解的条件是判别式〃2一叼

=0.

解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后P、夕的取值共有36种等可能情况，其中满

足p2-4Q0的有卜=2、卜=3、卜=4、/=5、.p=61p=31p=4Jp=51p=6

、<、<、<、<、

4=1=1〔9=1匕=1q=\lq=2H=2(<7=2[<7=2

〃=4Jp=5|/?=6/〃=4]〃=5[p=6〃=5J〃=6、]〃=5Jp=6以上©种

q=3[<?=3[<7=3[g=4[</=4[g=4q=5[g=5[<7=6|q=6

情况，，方程/+仆+夕=0有实数解的概率为12；其中满足〃2一4“=0的有!”=2、1°=4以上2

36W=1[9=4

9।

种情况，，方程，+/求+4=0有两个相同实数解的概率为1=《.

3618

7、（2010茂名）一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸箱

中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3.

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）假设向纸箱中再放进红色球x个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为05试求x的

值.

解：（1）由得纸箱中蓝色球的个数为:100x（1-0.2-0.3）=50（个）

（2）方法一：根据题意得：

及±主二0.5,解得：x=60（个）.

100+x

方法二：由得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5,

所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：

x-20=30+50,解得：x=60（人）.

（七）几何概率

1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如下图，

转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购置1（）0元的商品，就能获得一次转动转盘的时

机，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得

50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘,

那么可以直接获得购物券10元。

（1）求每转动一次转盘所获50元购物券的概率（2）求每转动一次转盘所获30元购物券

的概率

（3）求每转动一次转盘所获20元购物券的概率（4）求每转动一次转盘所获购物券的概率

（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均

数；

（7）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

解：（1）每转动一次转盘所获50元购物券的概率为：1/16

（2）每转动一次转盘所获30元购物券的概率为：2/16=1/8

（3）每转动一次转盘所获20元购物券的概率为：4/16=1/4

（4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16

（5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16（或者是空白区域除以16）

2A

[6]50x16+30x16+20x16=11.875〔元〕;⑺•「50.875元＞10元,二.选择转转盘。

2、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图9所示），并规定：顾客每购置100

元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数.获奖方法是：①指针两次都指向3时，顾客

可以获得100元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8,

且所指两数之和又大于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券[如，获40元购物券）：

④其氽情况无奖.（1）试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；（2）试求

顾客可获得100元购物券的概率；（3）试求顾客无奖的概率.

解：m列表得:

2468

2

(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)

4

(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)

6

(6,2)(6,4)[6,6)(6,8)

8

(8,2)(8,4)[8,6)(8,8)

（2）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中两次指针指向8的情况有一

种，所以所求概率为1/16

（3）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中无奖的情况有6种，所以所

求概率为6/16=3/8

3、公共汽车在0〜5分钟内随机地到达车站，求汽车在1〜3分钟之间到达的概率。

分析：将0〜5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，那么1〜3分钟是这

一线段中的2个单位长度。

解：设“汽车在1〜3分钟之间到达”为事件A,那么P（A）=（3-l）/5=2/5

所以“汽车在1〜3分钟之间到达”的概率为2/5

4、取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率

有多大？

解：记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A,把绳子三等分，于是当剪断位置处在

中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的

概率P概）=1/3。

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率。

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC'

上时，AMVAC,故线段AC'即为区域d。

解：在AB上截取AC'=AC,于是

P（AMVAC）=P（AM<AC,）=AC'/AB=AC/AB=A/2/2

那么AM小于AC的概率为72/2

6、取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图），随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入

圆内的概率.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,那么

P（A）=圆的面积/正方形面积二冗a2/4a2=冗/4

7、在边长为a的正方形ABCD内随机取一点P,求：（°的概率.（2）

ZAPB<90°的概率

解：如图，以正方形的边AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，那么有当点P在

圆周上时，NAPB=90°,而点P在圆内时，NAPB>90°,当点P在圆外时，NAPBV90。

设AB二a,那么正方形的面积为a2

所以，/APB>90。的概率p=(r*(a/2)2/2)4-a2=n/8

ZAPB<90°的概率为l-n/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30nb宽20nl的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于

2m的概率.

解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”(见阴影局部)

P(A)=(30X20-26X16)+30X20=0.31

9、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为

金色.金色靶心叫“黄心”“奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,运发动在

70nl外射.假设射箭都能中靶，且射中靶而内任意一点都是等可能的，二二外中靶心的概率有

多大？

P(A)=(1/4JiX12.22)4-(1/4X1222]=0.01

JT20m

10、某人午觉醒来,发现表停了，他翻开收音机,想听丁

10分钟的概率.

J:T11

解：设A=(等待的时间不多于10分钟｝.我们所关心的事件A恰好是翻开收音机的时刻位于

[50,60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6(八)设计公平的游戏规则

例1有一个小正方体，正方体的每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字.现在有

甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是6,甲是胜利

者；如果朝上的数字不是6,乙是胜利者.你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什

么？如果不公平，你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？

解析：看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的获胜时机，如果时机是均等的，那

就公平，否在，那么不公平；可以改变条件，使游戏对双方获得的时机是均等的就可以了.

(1)这个游戏不公平.因为正方体的每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字，其

中数字6只有1个，也就是甲胜利的概率是点不是6的数字有5个，也就是说乙胜利的概率

,双方的胜利的时机不是均等的，所以说这个游戏不公平.

(2)可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是奇数(1,3,5),

甲是胜利者；如果朝上的数字是偶数(2,4,6),乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平

了.

点评：此题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计笄每个参与者取胜

的概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

(九)概率的实际应用

例1某同学午觉醒来发现钟表停了，他翻开收音机想听电台整点报时，那么他等待的时间

不超过15分钟的概率是()

A.1B.1C.ID.-

2345

解析：电台每小时报时一次时间，此人翻开收音机时处于两次报时之间.例如在13：()0

至14：0()之间，而且取各点的可能性一样.要等待的时间不超过15分钟，只有当他翻开收音

机的时间处于13：45至14：00之间才有可能，因此相应的概率应是此题选C.

4

点评：对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它们自身决定的，并且是客

观存在的，就如同一块土地有面积一样.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件

自身的一个属性.

误区点拨

一、根本概念的理解有误

例1有以下说法：①随机事件A发生的概率是频率的稳定值；②任意事件A发生的概率P

(A)满足0<P(A)<1；③假设事件A发生的概率为().()()()()01,那么事件A是不可能事件,其

中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

错解：选D.

剖析：此题致错原因是不理解一些根本概念.频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋

势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验

次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率.随机事件A发生的

概率是频率的稳定值，①正确；由于必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率