2018年高中数学北师大版必修五达标练习第1章章末综合检测（一）

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4 B．±4C．－2eq\r(2) D．±2eq\r(2)解析：选C.因为xz＝(－1)×(－2)＝2，y2＝2，所以y＝－eq\r(2)(y＝eq\r(2)不合题意，舍去)，所以xyz＝－2eq\r(2).2．有穷数列1，23，26，29，…，23n＋6的项数是()A．3n＋7 B．3n＋6C．n＋3 D．n＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n＋6，为等差数列，且首项a1＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，3n＋6＝0＋(x－1)×3，所以x＝n＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A．33个 B．65个C．66个 D．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝2an－1，))即eq\f(an＋1－1,an－1)＝2.所以an－1＝1·2n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是()A．90 B．100C．145 D．190解析：选B.设公差为d，所以(1＋d)2＝1×(1＋4d)，因为d≠0，所以d＝2，从而S10＝100.5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中不可能是{Sn}的图像的是()解析：选D.因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以设Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数y＝ax2＋bx的图象是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．选D.6．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)解析：选A.设y＝kx＋b(k≠0)，因为f(0)＝1，所以b＝1.又因为f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，所以(4k＋1)2＝(k＋1)·(13k＋1)，所以k＝2，所以y＝2x＋1.所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2(2＋4＋…＋2n)＋n＝2n2＋2n＋n＝n(2n＋3)．故选A.7．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1，2，3，…)，则数列{an}()A．是公比为2的等比数列B．是公差为2的等差数列C．是公比为eq\f(1,2)的等比数列D．既非等差数列，也非等比数列解析：选D.因为log2Sn＝n，所以Sn＝2n，则a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.因为a1＝2不适合上式，所以{an}既非等差数列，也非等比数列．8．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,3n)))为等差数列的实数λ等于()A．2 B．5C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：选C.a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝eq\f(an＋λ,3n)，则b1＝eq\f(5＋λ,3)，b2＝eq\f(23＋λ,9)，b3＝eq\f(95＋λ,27)，因为b1＋b3＝2b2，所以λ＝－eq\f(1,2).9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11＝10，则eq\f(lnS20,ln\f(1,10))＝()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：选D.在等差数列{an}中，S20＝eq\f(（a1＋a20）×20,2)＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＝100，所以eq\f(lnS20,ln\f(1,10))＝eq\f(ln100,ln10－1)＝－eq\f(ln100,ln10)＝－lg100＝－2.故选D.10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于()A．1033 B．1034C．2057 D．2058解析：选A.由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，于是abn＝bn＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝eq\f(1－210,1－2)＋10＝1033.11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝()A．n B．－nC．－eq\f(1,n) D．eq\f(1,n)解析：选C.因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，所以{eq\f(1,Sn)}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－eq\f(1,n).12．对于正项数列{an}，定义Gn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)为数列{an}的“匀称”值．已知数列{an}的“匀称”值为Gn＝n＋2，则该数列中的a10等于()A．2eq\r(3) B．eq\f(4,5)C．1 D．eq\f(21,10)解析：选D.因为Gn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)，数列{an}的“匀称”值为Gn＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋2)，①所以n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)(n＋1)，②①－②得nan＝2n＋1，所以an＝eq\f(2n＋1,n)，n≥2，当n＝1时，a1＝G1＝3满足上式．所以an＝eq\f(2n＋1,n)，a10＝eq\f(21,10).二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝eq\f(1·（1－28）,1－2)＝255.答案：1625514．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________．解析：由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.答案：76815．数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________．解析：因为an＋1＝eq\f(1,1－an)，所以an＋1＝eq\f(1,1－an)＝eq\f(1,1－\f(1,1－an－1))＝eq\f(1－an－1,1－an－1－1)＝eq\f(1－an－1,－an－1)＝1－eq\f(1,an－1)＝1－eq\f(1,\f(1,1－an－2))＝1－(1－an－2)＝an－2，所以周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝eq\f(1,1－a1)，所以a1＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)16．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则通项为an＝eq\f(8,2an2＋bn)的数列{an}的前n项和为________．解析：因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，故b＝2a.因为a，b，ab成等比数列，所以b2＝a2b，又b≠0，故b＝a2，所以a2＝2a，又a≠0，所以a＝2，b＝4，所以an＝eq\f(8,2an2＋bn)＝eq\f(8,4n2＋4n)＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以{an}的前n项和Sn＝2(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}(n∈N＋)满足a1＝2，a3＝6.(1)求该数列的公差d和通项公式an；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn≥2n＋12，求正整数n的取值范围．解：(1)由题意得d＝eq\f(a3－a1,2)＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，n∈N＋.(2)Sn＝eq\f(a1＋an,2)×n＝n2＋n，由Sn≥2n＋12，解得n≥4或n≤－3.所以n≥4且n∈N＋.18．(本小题满分12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝－6，,a1＋5d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝2.))所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以数列{bn}的前n项和为eq\f(b1（1－qn）,1－q)＝4(1－3n)．19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.设cn＝an－1，(1)求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：因为an＋Sn＝n，①所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，所以eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2)，所以{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，所以a1＝eq\f(1,2)，因为c1＝a1－1，所以c1＝－eq\f(1,2).又cn＝an－1，所以{cn}是以－eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列．(2)由第一问可知cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，所以an＝cn＋1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n－1)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).又b1＝a1＝eq\f(1,2)代入上式也符合，所以bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).20．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a－x；2年后住房总面积为1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；3年后住房总面积为1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；…10年后住房总面积为1．110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x＝1.110a－eq\f(1.110－1,1.1－1)x≈2.6a－16x.由题意，得2.6a－16x＝2a.解得x＝eq\f(3,80)a(m2)．(2)所求百分比为eq\f(\f(a,2)－\f(3,80)a×10,2a)＝eq\f(1,16)≈6.3%.即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.21．(本小题满分12分)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a1＝1，a2a3a4＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求实数λ的值．解：(1)因为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，所以数列{an}也是等比数列．设等比数列{an}的公比为q，则aeq\o\al(3,3)＝a2a3a4＝64，解得a3＝4.所以q2＝eq\f(a3,a1)＝4，解得q＝2或q＝－2.当q＝2时，数列{an}的通项公式为an＝2n－1；当q＝－2时，数列{an}的通项公式为an＝(－2)n－1.(2)当q＝2时，Sn＋λ＝eq\f(1－2n,1－2)＋λ＝2·2n－1＋λ－1，当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{Sn＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列．同理当q＝－2时，Sn＋λ＝eq\f(1－（－2）n,1－（－2）)＋λ＝eq\f(2,3)·(－2)n－1＋λ＋eq\f(1,3)，当且仅当λ＋eq\f(1,3)＝0，即λ＝－eq\f(1,3)时，数列{Sn＋λ}是首项为eq\f(2,3)，公比为－2的等比数列．所以λ的值为1或－eq\f(1,3).22．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(1,2)nan＋an－c(c是常数，n∈N＋)，a2＝6.(1)求c的值及数列{an}的通项公式；(2)设b