分式方程的应用课件湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.5.2分式方程的应用1.理解题目中的数量关系正确列出分式方程；（难点）2.在不同的实际问题中能恰当设出未知数，列出分式方程并求解，从而解决实际问题.（重点）#2.5.2分式方程的应用（七年级下册）##一、教学目标1.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并求解；2.掌握分式方程应用题的解题步骤，能检验解的合理性（包括是否符合实际意义和分式有意义）；3.结合实际情境（如爱国主题活动、生活实际等），体会分式方程在解决工程问题、行程问题、浓度问题等中的应用；4.培养分析问题、解决问题的能力，感受数学与生活的联系，增强应用意识和爱国情怀。##二、教学重难点-**重点**：根据实际问题列出分式方程，掌握解题步骤；-**难点**：找准实际问题中的等量关系，检验解的合理性（既要验根，也要符合实际情境）。##三、教学准备-课件（幻灯片逐页内容如下）；-预习任务单（提前布置学生复习分式方程的解法，回顾一元一次方程应用题的解题思路）。##四、教学过程（45分钟）###（一）复习导入，衔接新知（5分钟）####幻灯片1：标题页-标题：2.5.2分式方程的应用-副标题：找准等量关系·检验双重意义-教师备注：播放129运动主题海报制作花絮短视频（30秒），回顾上节课合作制作海报的分式方程问题，自然过渡到本节课的实际应用。####幻灯片2：复习回顾1.分式方程的解法步骤：去分母→解整式方程→验根→写结论；2.列方程解应用题的核心：找准等量关系；3.小练习：解分式方程$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$（答案：$x=3$，验根：$x=3$时公分母$x(x-1)=6≠0$，是原方程的解）；-学生活动：独立完成小练习，一名学生板演，教师强调验根的重要性，为应用题求解铺垫。####幻灯片3：情境导入-问题：为传承129运动精神，学校组织学生制作“爱国故事”手抄报，甲小组单独制作需10天完成，乙小组单独制作需15天完成。若甲小组先做2天，剩下的由两组合作完成，还需多少天才能完成全部手抄报？-教师提问：这是我们学过的什么类型问题？（工程问题）如何用分式方程解决？今天我们就来探究分式方程在实际问题中的应用。###（二）探究新知，例题解析（20分钟）####幻灯片4：工程问题——核心等量关系-工程问题基本公式：工作效率×工作时间=工作量（通常设总工作量为1）；-常见等量关系：1.各部分工作量之和=总工作量；2.合作工作效率=各单独工作效率之和；-教师强调：工程问题中，若未明确总工作量，可设总工作量为1，简化计算。####幻灯片5：例题1（工程问题）-例1：为纪念129运动，班级计划制作一批宣传展板，甲同学单独做需8小时完成，乙同学单独做需12小时完成。甲同学先做3小时后，因有其他任务，剩下的由乙同学单独完成，乙同学还需多少小时才能完成？-解题步骤：1.设未知数：设乙同学还需$x$小时完成；2.找等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量（1）；3.表示工作效率：甲的工作效率为$\frac{1}{8}$，乙的工作效率为$\frac{12}{1}$；4.列方程：$\frac{3}{8}+\frac{x}{12}=1$；5.解方程：

去分母（最简公分母24）：$3×3+2x=24$

化简：$9+2x=24$

移项：$2x=15$

解得：$x=7.5$；6.检验：-验根：将$x=7.5$代入最简公分母24≠0，分式有意义；-验实际意义：$x=7.5$小时是合理的工作时间，符合实际；7.写结论：乙同学还需7.5小时完成。-学生活动：跟随教师一步步分析，明确工程问题的解题逻辑，重点关注等量关系的寻找和双重检验。####幻灯片6：行程问题——核心等量关系-行程问题基本公式：速度=路程÷时间（$v=\frac{s}{t}$），变形：时间=路程÷速度（$t=\frac{s}{v}$）；-常见等量关系：1.相遇问题：路程和=总路程；2.追及问题：路程差=初始距离；3.同一路程：速度不同→时间不同（时间差/时间和为已知条件）；-教师强调：行程问题中，需明确路程、速度、时间三者的对应关系，避免混淆。####幻灯片7：例题2（行程问题）-例2：129运动纪念日当天，学校组织学生步行前往爱国主义教育基地参观，全程30千米。原计划每小时走4千米，实际每小时多走1千米，实际比原计划提前多少小时到达？-解题步骤：1.设未知数：设实际比原计划提前$x$小时到达；2.找等量关系：原计划时间-实际时间=提前时间（$x$）；3.表示时间：原计划时间为$\frac{30}{4}$小时，实际速度为$4+1=5$千米/小时，实际时间为$\frac{30}{5}$小时；4.列方程：$\frac{30}{4}-\frac{30}{5}=x$；5.解方程：

化简：$7.5-6=x$，解得$x=1.5$；6.检验：-验根：分母4和5不为0，分式有意义；-验实际意义：$x=1.5$小时是合理的时间差，符合实际；7.写结论：实际比原计划提前1.5小时到达。-教师提问：如果题目未直接问提前时间，而是问“实际用了多少小时”，该如何设未知数？（设实际用了$x$小时，则原计划用$x+1.5$小时，列方程$\frac{30}{x}=4+1$），引导学生灵活设未知数。####幻灯片8：浓度问题——核心等量关系-浓度问题基本公式：浓度=溶质质量÷溶液质量×100%，变形：溶质质量=溶液质量×浓度；-常见等量关系：1.稀释问题：溶质质量不变；2.混合问题：混合前溶质总质量=混合后溶质质量；-教师举例：将10克盐溶于90克水，浓度为$\frac{10}{10+90}×100\%=10\%$，帮助学生理解公式。####幻灯片9：例题3（浓度问题）-例3：为制作129运动主题纪念徽章，需要浓度为20%的酒精溶液清洗材料。现有浓度为15%的酒精溶液400克，需加入多少克浓度为30%的酒精溶液，才能配制成浓度为20%的酒精溶液？-解题步骤：1.设未知数：设需加入$x$克浓度为30%的酒精溶液；2.找等量关系：15%溶液的溶质质量+30%溶液的溶质质量=20%混合溶液的溶质质量；3.表示溶质质量：-15%溶液溶质：$400×15\%=60$克；-30%溶液溶质：$30\%x$克；-混合溶液总质量：$400+x$克，溶质：$(400+x)×20\%$克；4.列方程：$60+0.3x=0.2(400+x)$；5.解方程：

展开：$60+0.3x=80+0.2x$

移项：$0.3x-0.2x=80-60$

解得：$x=200$；6.检验：-验根：$x=200$是整式方程的解，代入原方程各分母（无分母，仅需检验实际意义）；-验实际意义：$x=200$克是合理的溶液质量，符合实际；7.写结论：需加入200克浓度为30%的酒精溶液。###（三）归纳步骤，规范解题（5分钟）####幻灯片10：分式方程应用题解题步骤1.**审**：审题，明确题目类型（工程、行程、浓度等），找出已知条件和所求问题；2.**设**：设未知数（直接设或间接设，注明单位）；3.**找**：找准等量关系（关键步骤，可借助列表、画图辅助分析）；4.**列**：根据等量关系列出分式方程；5.**解**：按照分式方程的解法求解（去分母→解整式方程→验根）；6.**验**：双重检验——①检验解是否使原分式方程有意义（公分母不为0）；②检验解是否符合实际情境（如时间、质量、长度等为正数）；7.**答**：写出完整的答语（注明单位）。####幻灯片11：易错点提醒1.等量关系找错（如工程问题混淆“工作量之和”与“效率之和”）；2.设未知数时未注明单位，或答语不完整；3.忘记双重检验（仅验根，忽略实际意义）；4.解方程时出现去分母漏乘、符号错误等问题。###（四）课堂练习，巩固提升（10分钟）####幻灯片12：基础题（必做）1.工程问题：某工程队修一条公路，单独修甲队需15天完成，乙队需10天完成。两队合作修若干天后，甲队因另有任务离开，剩下的由乙队单独修3天完成。两队合作了多少天？（答案：4.2天）2.行程问题：小明从家到学校，原计划骑自行车每小时行12千米，需要0.5小时到达。实际因自行车故障，步行前往，每小时行6千米，实际比原计划晚到多少小时？（答案：0.5小时）-学生活动：独立完成，两名学生板演，教师巡视纠错，重点检查等量关系是否正确、检验步骤是否完整。####幻灯片13：提高题（选做）1.商业问题：某商店销售129运动主题纪念笔，进价为每支3元，原售价为每支5元，每天可售出100支。若售价每降低0.5元，每天可多售出50支。为了每天获得150元的利润，售价应降低多少元？（提示：利润=（售价-进价）×销售量，答案：1元）2.综合问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。若甲的速度每小时增加2千米，乙的速度不变，两人同时出发后2.5小时相遇。已知A、B两地相距60千米，求甲、乙两人原来的速度。（答案：甲10千米/小时，乙10千米/小时）-教师引导：第2题需通过相遇问题的路程关系列出两个方程，联立求解，培养学生综合分析能力。###（五）课堂小结，布置作业（5分钟）####幻灯片14：课堂小结1.知识梳理：-分式方程应用题的常见类型：工程问题、行程问题、浓度问题、商业问题等；-解题核心：找准等量关系，双重检验（验根+验实际意义）；-解题步骤：审→设→找→列→解→验→答。2.思想方法：数学建模思想（将实际问题转化为数学方程）、分类讨论思想（不同类型问题的等量关系）。####幻灯片15：作业布置1.基础作业：教材习题2.5第3、4、5题（写出完整解题步骤，包括双重检验）；2.拓展作业：结合129运动，设计一道分式方程应用题（类型不限），并写出解题过程，下节课分享交流；3.预习作业：复习本章内容，梳理分式、分式的运算、分式方程的解法及应用的知识框架。####幻灯片16：结束页-口号：用数学思维解决实际问题，用爱国情怀书写青春华章！-教师寄语：希望同学们能将所学知识运用到生活中，善于发现问题、分析问题、解决问题，同时传承129运动的爱国精神，努力成长为有理想、有本领、有担当的新时代少年！##五、教学反思1.本节课通过复习分式方程解法导入，衔接自然，再通过工程、行程、浓度三类常见问题的例题解析，让学生掌握不同类型应用题的等量关系和解题思路；2.结合129运动主题设计情境问题，既落实了爱国教育，又增强了问题的趣味性和实用性，符合七年级学生的认知特点；3.强调“双重检验”是本节课的重点，通过例题和练习反复强化，帮助学生养成严谨的解题习惯；4.需关注部分学生在找准等量关系时存在的困难，可通过画图、列表等辅助手段帮助学生分析，课后加强个性化辅导。1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？3.

解分式方程过程中一般如何检验？分式方程整式方程转化去分母一化二解三检验将所求得的解代入最简公分母，看是否等于0，不等于0的才是原分式方程的解.4.我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？常见的有

4

种：(1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式；(4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价；打折销售价=定价×

；销售利润=销售收入-批发成本；每件销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价.折数10例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工

1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析如下：工作时间（个月）工作效率工作总量（1）甲队乙队等量关系：甲队完成的工作总量

+

乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要

x个月.列分式方程解决工程问题1解：设乙单独完成这项工程需要

x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是

，根据题意得即方程两边同乘2x，得解得x=1.检验：当

x=1时，2x≠0.所以，原分式方程的解为

x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量

+

两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独完成这项工程需要

x个月.则乙队的工作效率是，甲队的工作效率是，两队合作的工作效率是工作时间(个月)工作效率工作总量（1）甲单独两队合作此时方程是：1表格为“3行

4列”工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如××单独完成需

x（单位时间），则可表示出其工作效率；3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效

=甲乙两队工作效率的和”.归纳总结4.解题方法：可概括为“321”，即

3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和

=全部工作总量.例1

用A，B两种型号的机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200kg，且A型机器人搬运10000kg所用时间与B型机器人搬运8000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.典例精析上述问题中存在以下两个等量关系：设B型机器人每小时搬运

xkg，则由等量关系(2)可得，A型机器人每小时搬运(x+200)kg.(1)A型机器人搬运10000kg所用时间=B型机器人搬运8000kg所用时间.(2)A型机器人每小时搬运量=B型机器人每小时搬运量＋200kg.再根据等量关系(1)，可列出如下方程：

经检验，x=800是原分式方程的解，且符合题意.将方程两边同乘最简公分母

x(x＋200)，得10000x=8000(x+200)，解得

x=800.由此可知，B

型机器人每小时搬运原料

800

kg，A

型机器人每小时搬运原料

1000kg.2列分式方程解决行程问题例2

某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程

25

km，线路二全程

30

km.若走线路二的平均车速是走线路一的

1.5

倍，所花时间比走线路一少用

10

min，则走

线路一的平均车速为多少?乡村学校线路一线路二分析

本题涉及的等量关系是：

平均车速/(km/h)路程/km时间/h线路一线路二设走线路一的平均车速为

xkm/h，则可得下表：x1.5x2530

解：设走线路一的平均车速为

xkm/h，则走线路二的平均车速为

1.5x

km/h.根据等量关系，可列出如下方程：

解得

x=30.答：走线路一的平均车速为

30km/h.经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.练一练：1.一轮船往返于

A、B两地之间，顺水比逆水快

1

小时到达.已知

A、B

两地相距

80

千米，水流速度是

2

千米/时，求轮船在静水中的速度.检验：x=－18不合题意，舍去.解：设轮船在静水中的速度为

x千米/时,根据题意得解得x=±18.故

x=18.答：轮船在静水中的速度为

18千米/时.方程两边同乘(x

-

2)(x

+

2)得80x

+

160－80x

+

160=x2－4.列分式方程解应用题的一般步骤1.审清题意；

2.找等量关系；3.设出未知数4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方

程的根；②是否符合实际情况）；7.作答.A.B.C.D.1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元/辆.出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有

x人，则所列方程为(

)A2.农机厂到距工厂

15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了

40

分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的

3

倍，求两车的速度.解：设自行车的速度为

x千米/时，那么汽车的速度是

3x

千米/时，依题意得：解得

x＝15.经检验，x＝15是原方程的根.由

x＝15得

3x＝45.答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.3.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.解：设排球的单价为

x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得解得

x＝100.经检验，x＝100是原分式方程的解，当

x＝100时，x＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．4.

某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若