四川省自贡市荣县荣县中学高三上学期10月月考数学试题

四川省荣县中学校学年高三上月月考数学试题一、单选题1.已知命题，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题的否定是．故选：D2.复数，其中i为虚数单位，则（）A.B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得.【详解】因为，则故选：C3.曲线在点处的切线的斜率为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】求函数在处的导数即可.【详解】因为，第1页/共16页所以曲线在点处的切线的斜率为．故选：B4.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.【详解】由题意得，即，则．故选：A．5.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.6.已知向量满足，且，则（）A.B.C.D.1【答案】B第2页/共16页【解析】得得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.7.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.【详解】依题意，即对任意恒成立，即恒成立，因为（当且仅当时取“=”所以.故选：D8.已知AB为斜边，为直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.第3页/共16页，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C二、多选题9.若．且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD第4页/共16页【解析】【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】，当且仅当时等号成立，则或，则，即AB错误，D正确.对于C选项，，C选项正确.故选：CD10.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】AABC求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确；B选项，，，故，故B正确；C选项，，，故，故C正确；D选项，，故D错误故选：ABC．若，则下列正确的是（）A.B.第5页/共16页C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误.【详解】对于A：令，则，故A错误；对于B：令，则，故B正确；对于C：令，则，故C正确；对于D，由，两边同时求导得，令，则，故D错误.故选：BC.三、填空题12.已知向量，，若，则________，若，则________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若，则；若，则故答案为:;13.函数在上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.第6页/共16页【详解】，当时，，当时，即时，故答案为：214.对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________．【答案】##【解析】【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求．【详解】由与都是集合的元素，不妨设，因为，所以，由已知，所以，则，又，所以，即，所以，所以，，则，即，因为，所以，则，即.故答案为：．四、解答题第7页/共16页15.中，，是的中点，是的中点．（1）证明：直线直线;（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直；（2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.【小问1详解】不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，,.,因为，所以.【小问2详解】，,第8页/共16页易知平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，则，所以，即直线与平面所成的角的大小为.16.2021A省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（，i＝1，2，，10表示第i个月，表示第i个月A省新y与x10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值：1.589.（1）建立y关于x的线性回归方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量；（2）为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励215，，的分布列及数学期望．附：对于一组数据（，，，的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1），A省12月份新能源汽车的销量约为万辆（2）分布列见解析；【解析】1）根据直线回归方程求出，代入便可求出线性回归方程第9页/共16页小问1详解】解：由题意得：，当时，故A省12月份新能源汽车的销量约为万辆.【小问2详解】这两家汽车销售商所获得的奖金总额X（单位：万元）可取4，3，2.5，2，1.5，1；,,,,,,分布列如下：X（单位：万元）432.521.51P数学期望为：17.在△中，内角所对的边分别是，已知，，.（1）求的值；（2）求△的面积.【答案】（1）（2）【解析】1）直接利用余弦定理即可求解；第10页/共16页（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得，即，解得，【小问2详解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面积为.18.已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为（1）计算．（2）设函数．①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；②若且，函数，证明：．【答案】（1）18（2）①；②证明见解析第11页/共16页1）根据题设定义，即可求解；（2）根据题设定义，得到i）先利用极值点的定义，求得，进而有ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解.【小问1详解】原式．【小问2详解】．（i）．当或时，；当时，．所以在和上是增函数，在上是减函数，所以的极大值点为，极小值点为1．因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，所以，则公差，所以，所以．第12页/共16页（ii）因为，所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．令，则，当时，单调递增；当时，单调递减．所以，而，所以．令，则．因为在上单调递诚，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以，而，所以．综上，．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义19.已知函数，其中为自然对数的底，.（1）求证：；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析第13页/共16页（2）【解析】1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立；（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合.【小问1详解】证明：令，其中，则，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，故对任意的，.【小问2详解】解：令，其中，若存在实数，使得恒成立，则，其中，令，令.令.①当时，由（1）可知，且此时，函数在上为增函数，因为，所以，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，合乎题意；第14页/共16页②当时，，当时，，当时，，所以，函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，当时，，则函数在上单调递减，则当时，，则函数在上单调递减，当时，，则函数在上单调递减，故当时，，不合乎题意；③当时，若，则存在，使得，且当时，；若时，可取，当时，.因此，当时，函数在上为增函数，当时，，所以，函数在