专题3二次函数与几何图形的综合

第1章二次函数专题3二次函数与几何图形的综合1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求抛物线和直线BD的表达式；【解】∵抛物线的顶点坐标为C(1，4)，∴抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，将点B(3，0)的坐标代入，得0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.令x＝0，则y＝3，∴点D的坐标为(0，3)．设直线BD的表达式为y＝kx＋3.将点B(3，0)的坐标代入，得0＝3k＋3，解得k＝－1.∴直线BD的表达式为y＝－x＋3.(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值．返回2.

如图，已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx＋b(k≠0)经过A，C两点．(1)直线AC的表达式为____________．y＝x－3(2)点P为第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交直线AC于点F.①线段PF的最大长度是多少？②点P到直线AC的最大距离是多少？返回3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连接AB，AM.(1)求这条抛物线的表达式和顶点M的坐标；【解】∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点B，令x＝0，得y＝3，∴B(0，3)．∴OB＝3.又∵OA＝OB，∴OA＝3.∴A(3，0)．把A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点M的坐标为(1，4)．(2)求sin∠BAM的值；(3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．返回4．如图，顶点坐标为(1，4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E.(1)求抛物线的表达式；【解】由题意得y＝a(x－1)2＋4，将点C(0，3)的坐标代入上式，得a＋4＝3，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)连接AC，CE，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标；【解】如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D′，连接AD′，ED′，则ED′＝CE，D′(2，3)，∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋AE＋D′E≥AC＋AD′，∴当点D在点D′时，△ACE的周长最小，此时点D的坐标为(2，3)．(3)过点D作DH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，连接AF.在点D运动过程中，是否存在△ACF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解】存在．令y＝0，则－(x－1)2＋4＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．易得直线BC的表达式为y＝－x＋3.设点F(m，－m＋3)(0<m<3)，易得AC2＝10，AF2＝(m＋1)2＋(－m＋3)2，CF2＝2m2.当AC＝AF时，10＝(m＋1)2＋(－m＋3)2，解得m＝0(舍去)或m＝2，即F(2，1)；当AF＝CF时，(m＋1)2＋(－m＋3)2＝2m2，解得m＝2.5，即F(2.5，0.5)；返回返回(1)求抛物线的表达式；(