广东省高三数学上学期开学阶段性质量检测

广东省2022届高三开学阶段性质量检测

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时150分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡.卜.对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案

写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={x|V-3x+2>0},8=1x|—则AH（CM）=

x+1

A.(0,1)U(2,+a))B.(-00-HU(2,4-00)

c.(-00-1)U(0,1)u(2,+00)D.(-00-DU(0,1)U(2,+00)

已知出=6i，则2

2.

z-1

A15B.」+冬615

A.]+TcD.----------------1

22-4T122

3.己知圆锥的母线长为1,其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,则该圆锥的轴截面

面积为

A2后V2

A.—^―D.

B.孚方

4.卜列区间中，函数/（工）=3sin2-2尤））单调递增的区间是

7T7t(713笈'

A.B.4,2jC.D.，）

且，£9,2乃），则sinJ+cos。=

5.若tanO=—2,

，\3有R亚c亚D3石

A.kB.飞一C,一飞-D.--

6.已知直线/过抛物线C：V=4x的焦点尸，与抛物线。交于48两点，且

IA8|,|AF\,\8可成等差数列，则直线/的斜率k=

A.±1B.±V2C.±21).±272

7.若过点3力)3>0)可以作曲线y=》3-3x的三条切线,则

A.b<-3aB.-3a<b<a3~3a

C.b>a3-3aD.b——3a或Z?=/-3a

8.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》，《星火》的票价为5()

元/人，每人限购一张票，甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张

100兀钞，他们六人排成一列到售票处买票，血售票处一开始没有准备50兀零钱，那么

他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态.

A.720B.360C.180D.90

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，

按照分层抽样的原则拍取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm,

方差为.17cm'；女生身高样本均值为160cm,方差为30cm2.下列说法中正确的是

A.男生样本量为30B.每个女生人样的概率均为：

C.所有样本的均值为166cmD.所有样本的方差为22.2cm2

.，•.I....

10.已知。AOB=|QA|=5|OB|=1,点P满足OP=xOA+)，O8(x,)，£/?),则下列说

法中正确的是

A.当x+y=l时，|而|的最小值为1B.当/+丁=]时，।而|=]

11——

C.当工=一时，A4BP的面积为定值D.当》=一时，|AP|=|8P|

2,2

11.已知点P在圆。：*-4)2+()，-5u=5上，点A(4,O),8(0,2),则下列说法中正确

的是

A.点、P到直线A-的距离小于6B.,点尸到直线A8的距离大于2

471

C.cos/APB的最大值为?D.NAP8的最大值为巴

52

12.已知函数/(x)=lnx+l-ax有两个零点芭，、x2(Xj<x2),则

A.。的取值范围为(—8,1)B.+x2-XjX2>1

C.x{+x2>2D.—H--->2

AX2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

X

13.已知函数/(为:书工①〉。,。声1)是偶函数，则/(x)的最大值为_______.

J+1

X2V2

14.已知椭圆C:/+方=1(。>〃>0)的左顶点为力，上顶点为8,右焦点为F,且

△A8b是等腰三角形，则椭圆。的离心率为.

15.(3/+21+»。的展开式中，/项的系数为.

16.将正三角形(1)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为

底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图(2)：将图(2)

的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正

三角形，然后去掉底边，得到图(3)；如此类推，将图(〃)

的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三

角形，然后去掉底边，得到图(加1).上述作图过程不断的

进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图(1)中正

三角形的边长为1,则图(加的周长为,图(力的

面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知数列｛%｝满足4=1,%+an_｝=2n(nN2,〃£N“).

(1)记2=的〃，求数列｛〃』的通项公式；

⑵求数列｛%｝的前〃项和Sn.

18.（12分）

有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%.王某被确诊为

新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐•进行核酸检测.

（1）设乃为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；

（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，

即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）.假设当地核酸

检测的灵敏度为9戡（即假阴性率为2%）,特异度为99%（即假阳性率为1%）.已知王

某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3

位有效数字）.

19.（12分）

已知A4BC中，NABC=JZA8C的平分线交AC于点。，BD=2瓜

3

（1）若AO=2OC,求AC的长度；

（2）求AA/TC面枳的最小值.

20.（12分）

如图，在三棱锥P—A8C中，侧面PAC是等边三角形，AB上BC,PA=PB.

（1）证明：平面平面A8C

PM

⑵若4c=2A/L点M在棱PC上.且二面角例一八月一「的大小为45°,求上上.

PC

21.（12分）

3

在平面直角坐标系xOy中，己知动点P到点b(2,0)的距离与它到直线x=1的距离之

比为手.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)过点尸作两条互相垂直的直线/„/2-4交曲线C于4,8两点，/2交曲线。于S,7两

点，线段AB的中点为M,线段ST的中点为N.证明：直线用N过定点，并求出

该定点坐标.

22.(12分)

已知函数/(x)=log/,其中

(1)若不等式/(工)之1一%恒成立，求实数。的值；

(2)讨论方程/(X)=/的解的个数.

数学参考答案

选择题(1-8小题每题5分，共40分；9-12题每小题5分，全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分。）

题号123456

答案DABCCD

题号789101112

答案BCACADBCDBCD

1.【答案】D

【解析】/i=(-00,1)11(2,+00),B=(-l,0],(；8=(-co,—l]U(0,M)，,故

力n([B)=(y,TU(0,DU(2,m).

2.【答案】A

【解析】z=土■庐」-正i,故，、3i.

1-62222

3.【答案】B

【解析】依题意，该圆锥的底面周长为型，故底面半径为1,高为卜=延.因此,

33'3

轴板面面枳为Lx逑=逑.

339

4.【答案】C

【解析】/(x)=3sinfi-2x=-3sin12x-g,令2K:+]42x-；424几+?(〃wZ),解得

kn+^<x^kit+y--(keZ),故f(x)的增区间是船+^^向+^^(A€Z).又因为

5兀1In

,故选c.

5.【答案】C

【解析】因为。是第四象限角，所以cos0>O.因此,

tan。=-=-2nsin28+cos2=5cos2=1

COS0

cos0=sin0--=>sin+cos0--

555

6.【答案】D

【解析】依题意，忸.=|4用-|">|4F卜忸F|n|4F|=2|M|.由三率恒等式(抛物线的定义),

1=71+^--=>A=±2>/2,

2+1

7.【答案】B

【解析】曲线y=V-3x在点-3。处的切线y--3f)=(3t2-3)(攵T)过点(a,b)当且仅当

Z>-(/3-3/)=(3r2-3)(a-/).令g(f)u(3/-3)“-a)_(/一3令+6,则

g'⑴=所-3)+6/(/-a)-(3/:-3)=6t(t-a).

由此可知g(f)在(f,0)和(a,+8)单调递增，在(0,㈤单调递戒.蚊g(f)有三个零点当良仅当

g(0)=3A+Z)>0,,

g(a)=-(a3-3a)+b<0,

8.【答案】C

【解析】如果售票处不出现找不出钱的状态，那么敢到的妙票顺序可以是:

(50,50,50,100,.100,100),

(50,50,100,50,100,100),

(50,50,100,100,50,100),

(50,100,50,50,100,)00),

(50,100,50,100,50,100),

共5种，故六人共有5A；A；=180有种不同的排队顺序符合要求.

9.【答案】AC

【解析】男生样本量为300x2)=30,故选项A正确：每个学生入样的梭率均为父•=’,故

50050010

选项B错误；记男生样本为必，必，…,J],均值为歹，方差为耳；女生样本为4/2,…,Z20，均值

为3,方差为磺：所有样本均值为亍，方差为则

3020

"+卷)

/二|八|型八型=%+'=166皿

50505,5

±

23020

-2(乂-行+2G广斤

50,・|7-i

1川20

一

一-2(必_1+亨_君2+£(2/_彳+丞一月2

5101-1/«|

-3030

-2

502(匕-刃2+30(7-X)+2g3-y)(y-x)

1=1

2020

+Z(z厂z)2+20(z-x)2+22(Z厂z)[z-,r)

川/=1

323L_\22222

=-^+-(y-x)+,s女+,(z-x)2

=50.2cm2.

故选项C正确，选项D错误.

10.【答案】AD

【解析】依题意，|5卜1"丽卜2,406=60。.当x+y=l时，点P在直线相上，

故口斗的最小值为点O到直线力8的距离j5|二l,故选项A正确：由

|OPp=OP2=x2OA2+y2OB22xy^OAOBx2+4y2+2xy

可知|西=10/+4必+2h=1,故选项B错误；当x=g时，点P在过线段04中点且平行于

直线08的直线上，△力8尸的面积不为定值，故选项C错误：当y时，点尸在过线段08中点

且平行于直线,。4的直线(即线段48的垂直平分线)上，|万卜|丽故选项D正确.

11.【答案】BCD

【解析】线段48的中点为M(2,l),线段力8的垂直平分线y=2x-3过圆心C(4,5),所以

点〃到直统/"的距离的最小值为|CW|.遥=">2,最大依为|。切+后=3—)6,故选项A

错误，选项B正确.由正弦定理可知，当△48尸的外接圆与圆。的内切时，NAPB最小,此时

4

(：8/4尸8最大，且85/428=852乙"＞河=1；当△4BP的外接圆与圆C的外切时，乙4PB最大,

此时44尸8=四.故选项C、D正确.

2

12.【答案】BCD

【解析】令g(止等⑶=二^,

X0(0,1)1(1,+8)4-00

g'(x)+0一

g(x)-oo/10

故。的取值范围为(0,1),选项A错误；故演》2-(再+々)+1=«一1)(々-1)<。，

选项B正确：令6(幻=8。)-8(2-刈，则当0<x<l时，

G'(x)=g'(x)+g，(2-x)

\nxln(2-x)

=""(2-x)2

x-1(2-x)-l

X2(2-X)2

_4(5

427)2>a

G(x)在(0,1)递增，故G(X|)<G(D=0,即g(X2)=g(X)<g(2-xJ，Z>2-演，选项C正确:

——是函数，!(x)==x(l-lnx)-«的两个零点，A'(x)=Tnx,

士占axjyx)

X0(0,1)1(L+oo)+00

h'(x)+0一

KG0/1\-OC

令"(x)=Mx)-力(2-x),则当Ovxvl时,

H\x)=h,(x)+h,(2-x)

=-lnx-ln(2-x)

=0,

iA(iA(iAI।

”(x)在(0,1)递增，故H(xJ〈H(l)=O,即力一=力一<h2——，—>2,选项D正确.

填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.【答案】彳14.【答案】---15.【答案】21016.【答案】3x]§J：—§-----

【答案】1

13.

【解析】依题意,/(-x)=/(x)=>=—=4=0=6,故

37+13a+l3X+1a

11_

fW

㈣,+（可r⑼.㈣72

故当且仅当(J5)'=1即1=0时取等号.因此，/(X)的最大值为，

M.【答案】"

【解析】显然AF>BF,故48=片厂，即&+从=4十%即2八d=/十/+24,

即2c2+2GC-Q2=0,即Ze?+2e-1=。，解得e=-----(舍去负根).

2

15.【答案】210

29

【解析】展开式的V项为c]0(3x)-1+C[(2X)2./=21Of,即/项的系数为2io.

16.【答案】3x(§*吟*x.

【解析】图伽)中每条边变为图(〃+1)中的4条边，

长度变为原来的;,故图⑹共有3x4”、条边，每条边的长度

均为.因此，图®的周长为3x(：J.设图但)的面

积为S,.阴5)变为困(〃+1)时，每条边上多了一个面积为

半x(g)的正三角形，故

SM=SN+3X4IX^X(犷

因此,

旦£

s=

t41

解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【答案】（10分）

（1）依题意，a2+a1=4,故,=々2=3........................1分

因为华〃+2+=4〃+4,a2n+l+a2tl=4〃+2，

所以2+l一女=出“.2一。2〃=（。2〃+2+«2加）一（6的+出〃）

=（4/24-4）-（4774-2）=2..........................3分

因此，｛"｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为2=2〃+1........5分

⑵解法一：因为出口+。2”-1=4〃.由（1）知。2,1=4〃一。2〃=2〃-1•......6

分

当〃=2攵(keN")时，

Sn=(4+。3+…+〃2”1)+(。2+4+…+。2&)

=(1+3+---+2A:-1)+I3+5+---+2Z:+1)

(\+2k-\)k(1+2&+1)%

=-------------1-------------

22

=k(2k+2)

n(n+2)

—.

2

当〃=2攵-1(女£/^)时，

Sn=Sm-%+|

5+l)(n+3)

=---------------------(n+2)9分

2

n(n+2)-1

-•

2

〃("+",〃为奇数，

因此，Sn=\/4°、.......10分

吗2,〃为偶数

解法二：当〃=2%（火£N'）时,

S”=(。|+〃2)+(。3+〃4)+',•+(。21+a2k)

=4+8+・一+4%

(4+4Q/..

=................................i7T

2

=攵(2攵+2)

_〃(〃+2)

-•

2

当〃=22+1(攵£乂°)时，

S〃=%+(。2+/)+(%+«5)+，--+(^2*+。22)

=1+6+10+…+(依+2)

[(6+4攵+2)•攵

=1H---------------------

2

=k(2k+4)+1.............9分

5-1)(〃+3)

=-------------------F1

2

n(n+2)-1

-2

1x3-1

由于S|=4=l=f也满足上式，故

""2)7,〃为奇数，

Sn=\/.............10分

吗0,〃为偶数

18.【答案】（12分）

⑴依题意，X〜8(78,0.09),2分

故4X)=78x0.09=7.02.4分

⑵设事件力为“核酸检测结果为阳性”，事件8为“密切接触者被感染”.

依题意,P(B)=0.09,P(A18)=0.98,P(A|万)=001.............................6分

所以

P(A)=P(A3UA豆)

=P(AB)+P(AB)

=P(B)-P(A|B)+P(B)-P(A|B).........................9分

=0.09x0.98+0.91x0.01

=0.0973,

P(g|4)=诵=型型!竺=08x098,090b।

P(A)P(A)0.0973

因此，已知密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性的条件下，他被感染的概率为

90.6%..........................................................................................................12分

19.【答案】(12分)

AT)C4R

(1)因为——=—=2,设8C=a,则A8=2a......................2分

DCSABCDBC

在AA5C中，由余弦定理，AC2=+BC2-2ABBCcosZABC=3a2,…3分

由A4MACN+AC2,可得NACB=卫,故NB4C=»—/A8C—NACB='.

26

.......................................4分

又4ABD=ZCBD=-ZABC=-,.................................................................5分

26

所以40=80=24，AC=-AD=3y/3.................................................6分

2

(2)设则NCO3=〃-8,ABAD=—-0,

(66J6

TT

^BCD=e--.

6

/AAccti十升±gA3BD_2V3sin^..

在△A3。中，由正弦定理，----------=----------,故43=---7-----\•…7分

sinZADBsinZBAD.(4)

smen+—

I6j

在幼。中，由正弦定理，———=一处一，故8C=2夕in。..出分

sinZBDCsinZBCD.(乃、

snin8---

I6j

囚此,

S&\BC=耳A98csinZABC

3V3sin2<9

sinl6^+—IsinlO--71

66J

3百sin*

中sine+'cose

sin。——cose

22

38siifO

10分

-sur^-icos2^

44

3V3sin2^

sin29--

4

34I+^7)

=4-y3,

当且仅当sin6=l即8=工时取等号,故A48C面积的最小值为4后........12分

2

20.【答案】(12分)

(1)设AC中点为。，连接尸。，区O.

在等边三角形PAC中，有PO_LAC.1分

在直角三角形ABC中，有OA=OB=OC.

又PA=PB=PC,所以APOA二APOBNAPOC,进而有NPOB=NPQA=90°,

即尸O_LQ8...................................................................................................：3分

又ACnO3=O,ACu平面ABC,O3u平面A8C,所以PO_L平面ABC

...........................................................4分

又POu平面PAC,所以平面PAC_L平面ABC..........................................5分

⑵不妨设尸4=4.在直角三角形ABC中，

Afi1

cosZGAB=-=-=>ZCAB=60°.在底面4BC内作。。JLAC,则由（1）可知

AC2

OD,OC,OP两两垂直.以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标

系.................................................6分

则4。,一2,0)，B(V3-1,0),C(0,2,0),0(0,0,2后)，

瓶=(⑸,0),AC=(0,4,0),AP=(0,2,273),PC=(0,2-273)...........7分

设丽=APC=(0,22,-2732)(0<2<1),

则而二Q+丽=(0,2(1+/I),273(1-2)).

小病=2(1+A)y+2V3(1-，)z=0,

设平面M43的法向量为〃=(x,y,z),则<一二)

n-AB=>J3x+y=0.

....................................................................................8分

令尤=九一1,yiiJn=a-l,V3(l-2)-l-Z)............................10分

又加=(0,0,26)是平面ABC的一个法向量，所以

cos45°=|cos(OP,/?\|==--------------------------,..........11分

1'71口斗同VU-1)2+3(l-/l)2+(l+/l)2

11

解得4二上,即二=±.................................................12

3PC3

分

21.【答案】(12分)

p/、优肝育』(x-2,+y2_2、，3

(1)设P(x,y),依题意，~=~~’..................2

x—

2

分

2

化简整理得曲线C的方程为千一)，2=1................................4分

⑵设&X],y),3(%,必)・

①若直线。4都存在且不为零，设直线4的方程为丁=-久-2),则直线4的方程为

y=k（x-2）

由消去y,整理得(3公-1)/.-\2k2x+\2k2+3=O.

丁一丁二1

当322-1=0时，这个方程变为一4工+7=0,只有一解，直线4与曲线。只有一个交

点，不合题意；当3公_140时,

A=144Z:4-4(31-1)(12抬+3)=12(1+1)>0

直线4与曲线。恒有两个交点.

12人2

由韦达定理，%+%=*1，........................................5分

12女2—1

(6k2\

故线段A3的中点为M熊二T.TTA「…..............................6分

3KT3k~-1)

同理，线段PQ的中点为m（/7，三冬］...............................7分

k3KDKtj

2k2k

⑴若⑺】，则2空军=春

.....................8

3依一13-k2

分

直线MN的方程为尹D一k二EDlk'（6、7k

即y=。*-3).

3-K2>-3(1-^2)

9分

此时，直线MN恒过点（3,0）.

(ii)若左=±1,则M(3,l),N(3,-l)或M(3,-1),N(3,1),直线MN的方程为x=3.

此时，直线MN也过点（3,0）.........................................10分

②若直线人〃中其中一条的斜率为0,另一条的斜率不存在，不妨设4的斜率为0,则

4：y=0,4：x=2.此时，直线MN的方程为y=（）.

此时，直线MN也过点（3,0）.........................................11分

综上，直线MN过定点（3,0）.........................................12分

22.【答案】(12分)

⑴令g(x)=/(x)-(l-x)=log“龙+1-1,则g(l)=0,g'(x)=—+L…1

x\x\a

分

当xcfo,——!一］时，gf(x)<0：当xw1—7^—时.g'(x)>0.

Vina)IInoJ

所以g(x)在(0,——二］单调递减，在/一一L,”］单调递增...............2分

V\najIInQJ

①若Q=L,则--L=i,g(x)2g1_J_］=o,符合题意：..........3分

eInQ〈InaJ

11(1A

②若0<。<,，则0<---<1,g---<^(1)=0,不合题意：......4分

eIna\\naJ

③若！则一一->i,J一一L]<g(i)=o,不合题意：.........5分

e\na<\naJ

综上，a=—.......................................................5分

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(2)令〃")