第47讲　随机抽样的方法统计图表

第九章第47讲随机抽样的方法、统计图表统计链教材夯基固本1.(人A必二P181练习T1)为了合理调配电力资某省市欲某省市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以某省市居民用户日用电量的平均数 (

)A.一定为5.5kW·h B.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·h D.约为5.5kW·h【解析】由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，某省市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.D2.某校的书法绘画、乐器演奏、武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300.若用分层随机抽样的方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 (

)A.20 B.22

C.23 D.26【解析】D3.某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为

(

)【解析】从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，则取得的数字分别为27，16，35(舍去)，86(舍去)，08，93(舍去)，21，57(舍去)，95(舍去)，62(舍去)，09，最终取得的第5个编号为09.4179271635860893215795620921092914574955828359837883513478702079932122A.08 B.21

C.09 D.14C4.(人A必二P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；【解析】由(0.0060＋x＋0.0036＋0.0024×2＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.0.00444.(人A必二P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．【解析】(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为_____．705.(人A必二P185练习T3改)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取_____名，女运动员应抽取_____名．【解析】16121.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个___________抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和_________法．(3)两种抽样方法的适用范围抽签法适用于总体中个体数不多的情形．随机数法适用于总体量较大，样本量较小的情形．不放回地随机数2.分层随机抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层随机抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样．(3)应用方法：①每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为___________．比例分配频率1研题型素养养成目标1抽样方法(1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法为从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 (

)1【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，故符合条件的依次为08，02，14，07，01，故第5个数为01.7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481DA.08 B.07

C.02 D.01(2)(2024·莆田二检)某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，得到男生、女生的平均身高分别为173cm和163cm，估计该校高三年级全体学生的平均身高为 (

)A.167cm B.168cmC.169cm D.170cm【解析】估计该校高三年级全体学生的平均身高为0.6×173＋0.4×163＝169(cm).C简单随机抽样和分层随机抽样是高中统计学中常用的两种随机抽样方法．随机数法是简单随机抽样方法之一，制作随机数表、确定始读数、按需取数是其三个关键环节；分层随机抽样是一种按比例分配，详见“聚焦知识”．【解析】变式1

D目标2统计图表(条形图、扇形图、折线图)(1)某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图(1)和图(2)所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为(

)2【解析】由题意知，被抽取的小学生有80人，则样本容量为80÷40%＝200，所以该地区的学生人数为200÷2%＝10000，所以该地区的初中生近视人数为

10000×35%×30%＝1050.A.100，50 B.100，1050 C.200，50 D.200，1050D(2)随机抽取某高速收费站一天内9个不同的时段(每时段1小时)人工收费和ETC收费口进出站的车辆数，统计数据如折线图所示：则估计全天24个时段中，ETC收费口进出该站的车辆数比人工收费口的多80辆以上的时段有

(

)A.6个 B.7个

C.8个 D.9个【解析】【答案】C常见统计图表的特点与区别(1)扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，示每组数据相对于总数的大小．(2)条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据．(3)直方图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述连续型数据．(4)折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．变式2

【解析】【答案】BCD目标3频率分布直方图(多选)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则

(

)A.该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%B.估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时C.估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时D.估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间3【解析】【答案】ABC对于A，超过3小时的概率估计为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35＝35%，故A正确；对于B，超过2小时的概率估计为(0.5＋0.4＋0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.8，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，故B正确；对于C，做作业的时间超过4小时的概率估计为(0.1＋0.1)×0.5＝0.1＝10%，故C正确；对于D，做作业的时间在2小时至3小时之间的概率估计为(0.5＋0.4)×0.5＝0.45，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，故D错误．解决频率分布直方图问题，主要依据频率分布直方图的制作方法与其性质(详见“聚焦知识”)并结合统计中的相关概念处理．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图．变式3

根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是 (

)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【解析】该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%＞50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误．【答案】C1.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第5行：66

67

40

37

14

64

05

7111

05

65

09

95

86

68

7683

20

37

90

57

16

03

1163

14

90

84

45

21

75

7388

05

90

52

23

59

43

10若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是 (

)A.10 B.09

C.71 D.20【解析】从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，找出4个不重复的且在01～50内的编号，14，05，11，09，20，则得到的第4个样本编号是09.B2.(2025·中)唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类．现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层随机抽样的方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝ (

)A.360 B.270

C.240 D.180【解析】根据分层随机抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x，2x，6x，由题意可得6x－4x＝30，解得x＝15，所以n＝4x＋2x＋6x＝12x＝12×15＝180.D3.(多选某省市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2022年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是

(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】对于A，由图接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错误；对于B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；对于D，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．【答案】BCD4.(多选)某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如图所示的扇形图和条形图，则 (

)A.该校高一学生总人数为700B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为80C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人，则生史地组合抽取6人【解析】【答案】BC5.(2024·石家庄三模)为某省市高三学生的体能素质情况某省市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如图所示的频率分布直方图，则直方图中实数a的值为________．【解析】由直方图可知，组距为10，所以10×(0.005＋a＋0.020＋0.040＋0.020)＝1，解得a＝0.015.0.015配套精练一、

单项选择题1.已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于 (

)A.21

B.24

C.27

D.30【解析】A2.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70，100]内．现将所有学生的体能测试成绩按[70，80)，[80，90)，[90，100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图．若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[90，100]内的被抽取的学生人数为 (

)A.4

B.6

C.8

D.10【解析】由频率分布直方图可知，体能测试成绩在[90，100]内的被抽取的学生人数为0.03×10×20＝6.B3.已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：08015

17727

45318

22374

21115

7825377214

77402

43236

00210

45521

6423729148

66252

36936

87203

76621

1399068514

14225

46427

56788

96297

78822已知甲班有60位同学，编号为01～60，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，则抽到的4位同学的编号不可能是

(

)A.08，01，51，27

B.27，02，52，25 C.15，27，18，74

D.14，22，54，27【解析】因为60位同学的编号为01～60，所以利用随机数法抽到的4位同学的编号不可能大于60，即不可能是选项C中的74.C4.(2024·鹰潭一模)南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人费洛伦斯·南丁格尔(FlorenceNightingale)设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，下列说法正确的是 (

)A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误．对于B，C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.96－0.48＝0.48；2017年，1.88－0.96＝0.92；2018年，2.95－1.88＝1.07；2019年，3.56－2.95＝0.61；2020年，4.15－3.56＝0.59；2021年，4.77－4.15＝0.62；2022年，5.27－4.77＝0.5，则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B，C错误．对于D，由5.27＞10×0.48，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确．【答案】D二、

多项选择题5.某校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如图所示的扇形图和条形图，则 (

)A.该校高一学生总数为800B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为96C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人【解析】【答案】ACD6.(2018·全国乙卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例下列结论中正确的是 (

)A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后养殖收入为0.6M，所以增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%＞50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．BCD7.为了更好地支持中小型企业的发某省市决定对部分企业的税收进行适当地减免．某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是 (

)A.样本数据落在区间[300，500)内的频率为0.45B.若规定年收入在500万元以内的中小型企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策C.若该调查机构调查了100家中小型企业，则年收入不少于400万元的有80家D.估计样本的中位数为480万元【解析】【答案】ABD三、

填空题8.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件、400件、300件、100件．为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_____件．【解析】189.某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图如图所示，则成绩不低于85分的人数为____．【解析】根据题意可得0.005×10＋0.0225×10＋0.035×10＋a×10＋0.0075×10＝1，所以a＝0.030.因为成绩不低于85分的频率为0.225，所以成绩不低于85分的人数为0.225×40＝9.910.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，若从下图提供的随机数表中第3行第12列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是______．32

21

18

34

29

78

64

54

07

32

5242

06

44

38

12

23

43

56

77

35

7890

56

42

84

42

12

53

31

34

57

8607

36

25

30

07

32

86

23

45

78

8907

23

68

96

08

04

32

56

78

08

4367

89

53

55

77

34

89

94

83

75

2253

55

78

32

45

77

89

23

45【解析】从图中提供的随机数表的第3行第12列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860(舍去)，736(舍去)，253(舍去)，007，…，所以得到的第4个样本编号是007.007四、

解答题11.某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5