专题01 集合与常用逻辑用语（8知识10大题型分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版（原卷版）

3/3专题01集合与常用逻辑用语（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律集合的概念与表示能准确判断集合的类型（数集、点集等）；熟练用列举法、描述法表示集合基础考点，常出现在选择题，填空题元素的确定性、互异性、无序性能依据“三性”判断元素是否属于集合；熟练利用互异性求解集合中参数的值。重点考点，常出现在选择题，填空题子集、真子集与空集掌握子集、真子集的个数计算公式；能熟练结合空集的特殊性解决含参集合关系问题重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题交集、并集与补集的运算熟练用Venn图、数轴分析集合运算；能快速计算多个集合的交、并、补结果基础考点，常出现在选择题，填空题充分条件、必要条件与充要条件回顾判断两个命题间的条件关系的方法；熟练运用集合包含关系分析充要条件。基础考点，常出现在选择题，填空题全称量词命题与存在量词命题回顾识别命题的量词类型的方法；能熟练判断两类命题的真假基础考点，常出现在选择题，填空题命题的否定及应用能准确写出全称与存在量词命题的否定；熟练利用命题的否定解决参数范围问题重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题知识点01集合的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.（2）集合与元素的关系用符号和表示.（3）常用数集的表示符号：（4）常用数的表示：若为偶数，则；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则.（5）集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作知识点02集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“”内表示集合的方法。元素间用分隔号“”隔开，不重复，无顺序；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“”，x为该集合的代表元素，是元素具有的性质（3）venn图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线的内部来表示集合。知识点03元素与集合间的关系（1）集合中元素的三大性质：①确定性；②互异性；③无序性。（2）元素与集合的关系：①属于：如果是集合的元素，记作，读作“属于集合”。②不属于：如果不是集合的元素，记作，读作“不属于集合”知识点04集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于（2）真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于注意子集个数判断：若集合中有个元素，则的子集个数有个，非空子集有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个（3）相等集合：若，，则（4）我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作知识点05集合的基本运算1.交集的概念及其运算（1）定义：一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B（2）例如：设集合A={2,4,6},集合B={0,1,2},则A∩B=22.并集的概念及其运算（1）定义：一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A（2）例如：设集合A={1,3,5,7},集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}3.补集的概念及其运算（1）定义：一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作CUA（2）例如：设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C4.集合的基本运算相关结论注1：德摩根公式注2：容斥定理之集合中元素个数知识点06充分条件、必要条件与充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p是q的充分条件p⇒qp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p注意：箭头指向必要条件；2.充分条件、必要条件与集合的关系（小范围⇒大范围）设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件；q是p的必要条件B⊆Aq是p的充分条件；p是q的必要条件A＝Bp是q的充要条件知识点07全称量词命题与存在量词命题（1）全称量词及全称命题①全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示.②含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．（2）存在量词及特称命题①存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。②含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．知识点08命题的否定全称量词命题：，，否定为：，存在量词命题：，，否定为：，注1：符号“¬p(x)”表示“p(x)的反面”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题注3：若原命题为真命题，则它的否定为假命题题型一元素与集合的关系解｜题｜技｜巧（1）直接对照法：如果集合里的元素是直接列出来的（比如{1,2,3}这种），想判断某个元素在不在这个集合里，直接看它有没有“出现在列表里”就行。（2）特征匹配法：要是集合没直接写元素（比如用条件描述的，像“所有大于2的数”），先搞清楚这个集合对元素的“要求”（比如“大于2”），再看要判断的元素是否符合这个要求。易错提醒：别忘了集合里的元素得“互不重复”，遇到带参数的集合时，判断完元素归属后，要检查集合里的元素是不是都不一样（互异性）【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·月考）若集合，则（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）若，则下列结论中正确结论的个数为（）①；②；③若，则；④若且，则A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】已知集合，且，则等于（

）A． B． C．3 D．或【变式3】（25-26高一上·江苏南京·月考）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则题型二集合间基本关系求子集和真子集个数解｜题｜技｜巧（1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即易错提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，不能忽略空集【典例1】设集合，则集合的真子集个数为（

）A．32 B．31 C．16 D．15【变式1】集合的真子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【变式2】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【变式3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，，，则所有满足上述条件的集合为题型三集合间基本关系求参解｜题｜技｜巧（1）连续数集：画数轴“比大小”如果集合是连续的数，直接画个数轴把集合对应的范围标上去，看范围的包含关系就行。注意：端点处是“实心点”（包含这个数）还是“空心点”（不包含）别搞混。（2）不连续数集：按包含关系“列方程”要是集合是分散的数（比如{1,3,5}这种），根据“谁包含谁”的关系，把集合里的元素对应起来列方程。务必记得分情况讨论（比如元素可能对应不同的项）易错提醒千万别忘“空集”这个特殊情况！如果题目说“小集合包含于大集合”，小集合有可能是空集，这时候得单独验证【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（

）A．2 B．1或2 C．1或2或 D．【变式1】集合，，若，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（25-26高一上·江苏南京·月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合是（

）A． B． C． D．【变式3】已知函数的定义域为集合，集合，．(1)求；(2)若，求的取值范围．题型四集合间的基本运算解｜题｜技｜巧（1）交、并、补运算（通用思路）①交集（找“重叠”）：把两个集合的公共元素挑出来，直接列或通过条件筛选②并集（凑“全家”）：把两个集合的所有元素合到一起，重复的只留一个③补集（找“剩下的”）：先明确“全集范围”，再去掉目标集合的元素，剩下的就是补集数集运算：数轴辅助更清晰如果是连续数集（比如区间），画数轴标范围：①交集→找数轴上重叠的区间；②并集→把所有区间连起来；③补集→去掉目标区间后剩下的部分离散集合运算：列举法+对应验证如果是分散元素，直接把元素列出来，对照着找公共/合并/剩余元素，注意别漏元素。易错提醒：计算前先明确集合的“元素类型”（是数、点还是其他），避免运算时混淆；补集一定要先确认“全集是什么”，别默认全集是实数集【典例1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【变式2】已知集合，，则（

）A． B．C． D．【变式3】已知集合，则（

）A． B． C． D．题型五集合运算求参数范围解｜题｜技｜巧先明确运算类型，转化为“范围关系”不管是交集、并集还是补集的条件，先把集合运算的要求，翻译成集合之间的包含/交并关系分集合类型处理①连续数集（区间）：画数轴标范围把已知集合和含参数的集合都标在数轴上，根据运算要求确定参数对应的区间边界，注意端点的虚实（是否包含）。②离散集合（列举型）：分类列方程/不等式把含参数的集合元素列出来，根据运算的元素要求（比如交集的公共元素、并集的覆盖元素），分情况讨论参数的可能值，最后验证集合元素的互异性。易错提醒：不要漏了“含参数的集合是空集”的情况，空集是任何集合的子集。求出参数范围后，代入原集合验证，确保满足运算条件。【典例1】已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高一上·江苏淮安·月考）集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则实数的值为.题型六Venn图及容斥原理的应用解｜题｜技｜巧Venn图：画图“填区域”①先画2个/3个相交的圈（代表不同集合），圈外是全集。②从“最重叠的区域”开始填数（比如同时属于A、B、C的元素数），再填“只属于其中两个集合”的区域，最后填“只属于单个集合”的区域。③需求（比如A的元素数、A∩B的元素数）直接看对应区域的数字之和。容斥原理：公式“套条件”①两集合容斥：②三集合容斥：（总元素数=A+B+C-两两重叠的数+三个都重叠的数），遇到“至少/至多”类问题，结合Venn图区域和容斥公式列方程。易错提醒：用Venn图时，别漏“不属于任何集合”的元素（圈外区域）；容斥原理计算时，注意“重叠区域的重复计算”，避免多减或少加。【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一上·江苏南通·月考）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A． B． C． D．【变式2】某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（）A．15 B．18 C．21 D．24【变式3】某高中举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为；同时参加田径和球类比赛的人数为题型七充分、必要、充要条件的判断解｜题｜技｜巧定义法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可．集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断．易错提醒：区分“谁是谁的条件”：题目中“p是q的条件”和“q是p的条件”结论相反，需先锁定条件和结论的对应关系；注意特殊情况：涉及“存在性”“恒成立”的命题，要结合具体范围验证推导关系，避免遗漏边界值【典例1】已知实数x，y，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（

）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】已知函数，设甲：函数是偶函数，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（多选）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．题型八由充分条件与必要条件求解参数解｜题｜技｜巧核心解题思路：先将充分/必要条件转化为集合间的包含关系，再结合集合的范围（或元素特征）列不等式（组）求解参数，核心逻辑是“条件对应集合，关系对应包含”明确条件与集合的对应关系设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则：若p是q的充分不必要条件，等价于；若p是q的必要不充分条件，等价于；若p是q的充要条件，等价于A=B；若p是q的既不充分也不必要条件，等价于A与B无包含关系。分类型求解参数数集型（区间类条件）步骤：①求出条件p、q对应的数集A、B（含参数的集合需保留参数）；②根据条件与集合的对应关系，在数轴上标出集合范围；③结合区间端点的虚实（是否包含）列不等式（组）；④验证端点值是否满足“真包含”（充分不必要/必要不充分）的要求，避免取到等号后集合相等。方程/不等式型（含参数的约束条件）步骤：①化简条件p、q，明确其成立的等价条件；②将充分/必要关系转化为方程/不等式的“解集包含关系”；③对参数进行分类讨论（尤其是含二次方程时，需讨论二次项系数是否为0）；④代入验证，确保参数值满足原条件的逻辑关系。易错提醒1.遗漏空集：当含参数的集合可能为空集时，需单独讨论空集的情况（空集是任何集合的子集）。2.端点值验证：列不等式时容易忽略“真包含”与“包含”的区别，求出参数范围后需代入验证端点，确保不出现集合相等的情况。3.条件与结论的顺序：务必区分“p是q的条件”和“q是p的条件”，两者对应的集合包含关系相反，避免方向搞反【典例1】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】已知，且是的充分条件，则实数可以是（

）A．3 B．1 C． D．【变式2】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】已知集合，非空集合.(1)若是的必要条件，求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m，使是的充要条件.题型九含有一个量词的命题的否定解｜题｜技｜巧（1）全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p:∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，p(x)不成立．全称量词命题的否定是存在量词命题．（2）存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题p:∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，p(x)不成立．存在量词命题的否定是全称量词命题．（3）在书写这两种命题的否定时，相应地存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【变式1】命题“”的否定是（）A． B．C． D．【变式2】命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．题型十由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围解｜题｜技｜巧判断命题类型，转化真假性若原命题是存在命题（∃）且为假：转化为其否定（全称命题∀）为真；若原命题是全称命题（∀）且为假：转化为其否定（存在命题∃）为真；若原命题是存在命题（∃）且为真：直接按“能成立”分析；若原命题是全称命题（∀）且为真：直接按“恒成立”分析。将命题转化为不等式关系若转化为全称命题（∀）为真：等价于“不等式在定义域内恒成立”，整理为“参数<函数最小值”或“参数>函数最大值”；若转化为存在命题（∃）为真：等价于“不等式在定义域内能成立”，整理为“参数<函数最大值”或“参数>函数最小值”。分析函数在定义域内的最值确定函数的单调性求出函数在定义域内的最大值/最小值列不等式求参数范围根据步骤2的关系，结合函数最值，列出关于参数的不等式，解出参数范围。（5）验证（可选）：代入端点值验证，确保命题真假符合题意。【典例1】若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是．【变式2】若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是．【变式3】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．1．（24-25高一上·江苏·期末）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（

）A． B．1 C． D．04．（24-25高一上·江苏·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（

）A．－2 B．0 C．1 D．26．（24-25高一上·江苏·期末）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（

）A．6人 B．7人 C．8人 D．9人7．（多选）（2