专题02 不等式与基本不等式（期末复习知识清单）（原卷版）

5/5专题02不等式与基本不等式【清单01】比较大小基本方法关系方法做差法做商法【清单02】不等式的性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【清单03】基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“”；其中“一正”指，“二定”指求，“三相等”指．（2）连续使用不等式要注意取得一致．1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．【清单04】一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为．一元二次不等式的一般形式是，其中a，b，c均为常数，a≠0.

【清单05】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【特别提醒】(1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：，．(2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为，再对照上述情况求解．【清单06】解一元二次不等式的一般步骤1、通过对不等式变形，使二次项系数；2、计算对应方程的；3、求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4、根据写出不等式的解集．【特别提醒】(1)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

【清单07】解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对进行讨论．【清单08】简单分式不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【清单09】不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为【题型一】不等式的性质【例1】．（25-26高一上·海南海口·月考）若，，，均为实数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1-1】．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选题）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【题型二】比较大小【例2】．（25-26高一上·北京·期中）比大小：（填“，或”）【变式2-1】．（25-26高一上·北京·月考）若，，则（用“”、“”或“”填空）．【变式2-2】．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【题型三】基本不等式的应用-直接法求最值【例3】．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．3【变式3-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【变式3-2】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，则函数有（

）A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9

【题型四】基本不等式的应用-配凑法求最值【例4】．（25-26高一上·天津滨海新·期中）若且，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式4-1】．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是.【变式4-2】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，且，则的最小值为（

）A． B．4C． D．8【题型五】基本不等式的应用-“1”的代换求最值【例5】．（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为．【变式5-1】．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为.【变式5-2】．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则的最小值为.【题型六】基本不等式中的证明问题【例6】．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：；(2)已知，求证：.

【变式6-1】．（25-26高一上·上海·月考）已知，且，求证：(1)；(2)．【变式6-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件.（2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件.

【题型七】二次不等式的解法【例7】．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【变式7-1】．（25-26高一上·云南大理·月考）不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【变式7-2】．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．[2,3]【题型八】其它不等式的解法【例8】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为.【变式8-1】．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）不等式的解集是（

）A． B．C．，或 D．，或【变式8-2】．（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集是（

）A．或B．或C．或D．或【题型九】二次不等式的恒成立问题与存在性问题【例9】．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式对任意恒成立，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式9-1】．（25-26高一上·江苏南通·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式9-2】．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是．【变式9-3】．（25-26高一上·河北邢台·期中）若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型十】基本不等式的实际应用【例10】．（25-26高一上·四川遂宁·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米.(1)若满足，求的最小值？(2)已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？

【变式10-1】．（25-26高一上·天津西青·期中）已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为；2025年公司的最大利润为万元.（利润=销售额－成本）【变式10-2】．（25-26高一上·湖北武汉·月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设长为米，总造价为元，则当为时，总造价最小为元．

【易错题型一】容易忽略一元二次方程的二次项系数不能等于0致错【例1】．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（

）A． B． C．或 D．