专题05 函数单调性、奇偶性、周期性、对称性（期末专项训练24大题型140题）（解析版）高一数学上学期人教A版

2/24专题05函数单调性、奇偶性、周期性、对称性题型1求函数的单调区间（重点）题型13用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点）题型2根据解析式直接判断函数的单调性（常考点）题型14已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点）题型3复合函数的单调性（重点）题型15最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点）题型4用定义法证明函数的单调性（重点）题型16由奇偶性求函数解析式（常考点）题型5已知函数单调性求参数（常考点）题型17由奇偶性求参数（常考点）题型6根据函数的单调性解不等式（重点）题型18由函数单调性+奇偶性解不等式（难点）题型7比较函数值的大小关系（重点）题型19函数的周期性及应用（难点）题型8利用函数单调性求最值或值域（重点）题型20函数的对称性及应用（难点）题型9根据函数的最值求参数题型21函数的奇偶性+周期性及应用（难点）题型10恒成立问题（难点）题型22函数的奇偶性+对称性及应用（难点）题型11能成立（有解）问题（难点）题型23函数的周期性+对称性及应用（难点）题型12用定义法证明具体函数的奇偶性（重点）题型24函数的性质综合应用（难点）题型一求函数的单调区间（共5小题）1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，化简函数的解析式为，结合一次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，所以函数的单调递减区间为.故选：D.2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减.【详解】依题意，，画出图象，观察可知在和上单调递增，在上单调递减.故选：D.3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.【详解】函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：A4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是

A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为，函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即.故选：D5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象直接得到其单调增区间.【详解】根据图象知的单调递增区间为，故选：D.题型二根据解析式直接判断函数的单调性（共4小题）6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）下列既是奇函数，又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对于ABD：举例说明单调性即可得判断；对于C：根据幂函数性质分析判断.【详解】对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误；对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误；对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确；对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误；故选：C.7．（24-25高一上·天津河北·期末）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A不是奇函数；BD在定义域上不单调，C满足要求.【详解】A选项，的定义域为，故不是奇函数，A错误；B选项，的定义域为，其中在上单调递增，但在定义域上不单调递增，B错误；C选项，的定义域为R，且，所以在定义域内为奇函数，又在R上单调递增，C正确；D选项，定义域为R，且在R上不单调，D错误.故选：C.8．（24-25高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接判定各函数的奇偶性和单调性即可.【详解】选项A：是偶函数，在区间上是减函数，A正确；选项B：定义域为，为非奇非偶函数，B错误；选项C：是偶函数，在区间上是增函数，C错误；选项D：是偶函数，在区间上是增函数，D错误；故选：A.9．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（

）A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数【答案】D【分析】由已知得，即函数为奇函数，设，，在上单调递减，可得答案．【详解】函数定义域为，，函数为奇函数，设，，函数单调递增，设，在上单调递减，故函数在R上是减函数.故选：D题型三复合函数的单调性（共4小题）10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间.【详解】对于函数，由可得或所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.故选：A.11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为．【答案】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解.【详解】令，解得或，又在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减．故答案为：.12．（25-26高一上·福建漳州·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间.【详解】对于函数有意义，可得，即，解得.设，则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为.故选：D.13．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可.【详解】设，即，在上单调递增，故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间，可得，即，解得.故选：A.题型四用定义法证明函数的单调性（共5小题）14．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数．(1)是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)判断函数的单调性，并加以证明．【答案】(1)存在，，(2)在定义域为内单调递减，证明见详解【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值；（2）利用定义法证明函数的单调性即可.【详解】（1）存在，，理由如下：因为的定义域为，若函数为奇函数，则，即，整理可得，解得，所以.（2）在定义域为内单调递减，证明如下：因为的定义域为，对任意，，设，则，因为，则，，，可得，即，所以在定义域为内单调递减.15．（25-26高一上·全国·期末）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求的表达式；(2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论．【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析．【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验；（2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以且，所以，，则，此时恒成立，故.（2）在上单调递增．证明如下：任取，，而，，所以，故在上单调递增．16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数．(1)判断的奇偶性，并证明；(2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；(3)任意，求实数的所有整数解.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3)或【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可；（2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可；（3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可.【详解】（1）函数是奇函数，证明如下：，所以，解得函数定义域,因为任意，都有，又，所以函数是奇函数.（2）在上单调递减，证明如下：法一：任取满足，因为＝，因为，，且单调递增，所以，，依据同向不等式的可加性，所以，即，所以在上单调递减．法二：任取满足，因为，所以，因为，，所以，即，所以，即，所以在上单调递减．（3）由第（2）问知在上单调递减，所以，因为，所以，所以，即得，解得，因为，所以或．17．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果；（2）由函数单调性定义证明即可得出结论；（3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可.【详解】（1）设的定义域为，由题意得对于任意，都有恒成立，即恒成立，∴，∴，当时，无意义；当时，是定义域为的奇函数，∴；（2）在上单调递减，证明：设，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴在上单调递减；（3）由，得，即，所以，所以，令，则，所以，令，则，则，因为函数在都是增函数，所以在是增函数，所以，所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.18．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，.(1)证明：；(2)判断并用定义证明的单调性；(3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证；（2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可；（3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围.【详解】（1）.（2）的定义域为，任取，，则，即，由，可得，故在上单调递增.（3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点，所以，在时有2个实数根，即在时有2个实数根，令，易知在区间上单调递增，故，由可得，令，，由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，，，作函数草图如图，当时，函数与有两个交点，即函数的图象在区间上与x轴有2个交点，所以，即实数m的取值范围为.题型五已知函数单调性求参数（共8小题）19．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是，故选：D.20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数.【详解】由，得，则，设函数，则对都有成立，所以函数在区间上单调递增，所以，解得，则.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数.21．（24-25高一上·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解.【详解】由题意知，令，解得，所以，对于函数，对称轴为，所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，则，得，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：22．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围.【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数，∵函数区间上单调递减，∴，解得，∴a的取值范围是.故选：D.23．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论结合基本初等函数的单调性及特殊值计算求参.【详解】因为函数在上单调递减，令，因为单调递减，所以在上单调递增，所以当时，在单调递增，，所以时满足在上单调递增，即得；当时，在单调递增，，所以时满足在上单调递增，即得；当时，在单调递增，，所以时不满足在上单调递增；综上可得.故选：C.24．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接.【详解】因为函数是上的减函数，所以函数与均是减函数，且，即，解得.故选：C.25．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数单调性的判定方法，结合二次函数、指数函数和对数函数的单调性，列不等式求解.【详解】因为函数在上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以对称轴，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在上单调递增，则，即.综上，实数的取值范围是.故选：B.26．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可.【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有，所以函数在定义域上单调递增，当时，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，此时若函数要在上单调递增，则，当时，函数，若函数要在单调递增，则，根据分段函数的单调性可得：，解得：，故选：B.题型六根据函数的单调性解不等式（共4小题）27．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可.【详解】作出函数的图象，如图所示：可知在上单调递增，因为，则不等式即为，可得，又因为，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D.28．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是.【答案】【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可.【详解】因为定义在上的奇函数在上递增，所以在上单调递增，因为，所以，又，则，即的取值范围是.故答案为：29．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围.【答案】或【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式.【详解】函数的定义域为，函数在上都递增，因此函数在上单调递增，由，则，解得或，所以实数的取值范围是或.故答案为：或30．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题目条件构造，即可通过函数单调性获解.【详解】根据题意，设，若函数满足对任意，有，则，即则函数在上为增函数，又由，则，，则有，解可得：且，即不等式的解集为.故选：D.题型七比较函数值的大小关系（共7小题）31．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增，因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又，所以，故选：D．32．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数、幂函数的单调性判断的单调性，结合对数的运算性质和对数函数、正切函数的单调性即可比较大小.【详解】由于函数均为上的单调递增函数，故在单调递增，，所以，所以.故选：D．33．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性求解.【详解】由于函数均为上的单调递增函数，故在单调递增，因为，故，所以.故选：B.34．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得.【详解】设，则在上单调递增，可化为，由对勾函数的性质可知：当时，单调递增，当时，单调递减，由得，故在区间上单调递减，在上单调递增，，，因（因为），故，故，故选：B35．（24-25高一上·广东清远·期末）已知，设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用单调性得到，，结合的单调性比较出大小.【详解】因为，当时，单调递增，所以，，又，所以，即．故选：D．36．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性及在上的单调性，再比较大小即可.【详解】函数的定义域为，，则函数是偶函数，当时，，任意，，，则，于是，而，因此，函数在上单调递增，又则，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键.37．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，，从而即可一一判断各选项.【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，.对于A，因为，在上单调递增，所以，故A错误；对于B，因为，在上单调递增，所以，故B错；对于C，因为，在上单调递减，所以，故C正确；对于D，因为正负不知，所以大小关系不定，故D错；故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题设求得函数和的单调性情况，进而得，.题型八利用函数单调性求最值或值域（共7小题）38．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数（）A．有最大值，也有最小值B．没有最大值，有最小值C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，也没有最小值【答案】D【分析】令，利用换元法将所求变为，根据二次函数的性质，分析即可得答案.【详解】由题意，令，因为，所以，则所求变为，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，所以，即的值域为，所以没有最大值，也没有最小值.故选：D39．（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，结合对勾函数的单调性即可求解.【详解】设，所以在上单调递增，则,所以函数的值域是,故选：B40．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域.【详解】方法一：由得定义域为；因为单调递增，单调递减，所以单调递增；所以函数值域为．方法二：令，则，，所以，由于,故函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2，所以函数值域为，故选：A．41．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值．【详解】由题意得函数的定义域满足，且，解得，则函数的定义域为．由得，则在区间内的最大值为，最小值为．易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，则函数在处取得最大值，即，又，所以函数的最小值为6，即．所以．故选：A42．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得,【详解】因为函数的定义域为所以，解得.所以的定义域为由得所以.当，即时，，当，即时，.所以的值域为,故选：A.43．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】先求的定义域，再判断在区间上的单调性即可求最大值.【详解】由已知可得，解得定义域为，又在上单调递减，则在上单调递增，所以函数在上单调递增，即函数在区间内单调递增，所以在区间内的最大值为．故选：B.44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数的定义域为，值域为，则等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值.【详解】，，∴则函数为常数，且在单调递增，又∵函数的定义域为，函数的值域为，，.故选：A.题型九根据函数的最值求参数（共5小题）45．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于实数、的方程组，解之即可.【详解】因为且，当时，，此时，函数在上单调递减，根据题意可得，解得；当时，，此时，函数在上单调递增，根据题意可得，解得.综上所述，或.故选：A.46．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数在上的最大值为，则（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可.【详解】由，可得，所以函数的对称轴为，当时，，又函数在上的最大值为，所以，解得（舍去），当时，，所以，所以，所以，解得或（舍去）.故选：C.47．（25-26高一上·广东惠州·月考）设，若的值域是，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断的单调性，进而得，解出即可求解.【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，所以，故选：B.48．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，则函数的值域为【答案】【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案.【详解】易得是减函数，所以．令，则，因为函数在上单调递增，所以，即的值域为．故答案为：.49．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是．【答案】【分析】由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.由，得.若，则函数，显然不符合题意；若，则.由函数在区间上的最大值是5，得：当时，，即，即.所以，.所以，所以.检验：当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意；当，因为，所以，所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意.综上所述，的取值范围是.故答案是：.题型十恒成立问题（共5小题）50．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可.【详解】当时，不等式，依题意，恒成立，而当时，，当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是.故选：D51．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出的最小值为3，的最大值为.由题可知，的最小值大于的最大值，由此求得实数的取值范围.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为3.因为，所以的最大值为.若对任意和任意，都有恒成立，则，即.解得.所以，实数的取值范围是.故答案为：.52．（24-25高一上·广东梅州·月考）若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.【详解】若，此时，，而，故无解；若，此时，，而，令，，画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立，则要，解得：.故选：B.53．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围.【详解】因为，所以函数为奇函数.又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数.所以.所以问题转化为：当时，即恒成立.设，由时，恒成立得：.故选：A54．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.【详解】当时，，；因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍.当时，，故，则，；当时，，故，则，；当时，，故，则，.当时，由，可得，解得或，如下图所示：由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.题型十一能成立（有解）问题（共5小题）55．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围.【详解】不等式，当时，，则，依题意，，所以实数的取值范围是.故选：B56．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可．【详解】，所以在时单调递减，所以，，即；因为对存在，存在，使，所以，所以存在，使得，即，即能成立，令，则要使在能成立，只需使，根据增函数减减函数易知：函数在上单调增，所以，故只需，所以的取值范围是．故答案为：．57．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可.【详解】若，则，，可得，所以函数在的值域为；若，则，可得，所以函数在的值域为；因为对，，使得成立，则，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.58．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围.【详解】因为，则该函数在上为增函数，当时，，因为对均有，所以，，则，解得.故选：D.59．（22-23高一上·广东惠州·月考）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围.【详解】因为函数，则函数在上为增函数，因为对均有成立，则，即对恒成立，令，则，解得，因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.题型十二用定义法证明具体函数的奇偶性（共2小题）1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数(1)判断该函数的奇偶性；(2)判断在定义域内的单调性.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)单调递增，理由见解析【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论；（2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论.【详解】（1）奇函数，理由如下：的定义域为R，且，故为奇函数；（2）单调递增，理由如下：，取任意的，则，因为，在R上单调递增，所以，又，故，，所以在R上单调递增.2．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数.(1)若，求的值；(2)设，求的定义域；(3)设，判断的奇偶性，并证明.【答案】(1)(2)(3)为偶函数，证明见解析【分析】（1）根据解析式代入运算得解；（2）根据对数真数大于0，列式运算得解；（3）根据偶函数定义判断.【详解】（1）若，则，解得.（2）若，则，由，得：.所以定义域为：.（3）由（2）得定义域关于原点对称，且，则，所以为偶函数.题型十三用定义法证明抽象函数的奇偶性（共4小题）3．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数满足，且当时．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)偶函数，证明见解析(3)【分析】（1）令，代入可得；（2）令，代入可得，再令，代入后由偶函数的定义可得；（3）由偶函数的对称性和单调性列不等式组可解.【详解】（1）令，则，所以．（2）函数为偶函数，理由如下：令，由可得，．令，则，且定义域为．综上，函数为偶函数．（3）令，则当时．已知，当时，所以．∴，即，故在上单调递增．又∵由（2）可知，的图象关于对称，∴所以若使，则只需，∴，解得且且．综上，该不等式的解集为．4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.(1)求的值；(2)令，求证:函数为奇函数；(3)求的值.【答案】(1)(2)证明见解析；(3).【分析】（1）应用赋值法即可；（2）应用奇函数的定义即可判断；（3）结合（2）转化为求，即可求解.【详解】（1）当时，，则；（2）当时，，则；设，则，则，则，即，即函数为奇函数.（3）由（2）知，为奇函数，则.5．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)求证：在区间上单调递减；(3)若，解不等式．【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数；（2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证；（3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得.【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：因函数的定义域为，关于原点对称，令，则，可得．令，则，即，用代换，可得，所以为奇函数．（2）由（1）知，则，即，令，且，则且，可得，因为当时，，所以，即，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减．（3）由（2）知，可得，由题设，可得，又，故原不等式可化为，由（2）函数在上单调递减，可得，解得，故不等式的解集为．6．（25-26高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数，满足：且（i）证明：；（ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的；（2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数）【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2）【分析】（1）（i）利用已知条件等式，运用赋值法证明结论；（ii）根据偶函数定义，利用赋值法证明抽象函数是偶函数．（2）利用已知条件，结合函数单调性，利用赋值法求出抽象函数解析式．【详解】（1）（i）证明：，令，，即，；（ii）证明：已知函数的定义域为，关于原点对称，，令，，，，令，可得，，若，则，不满足，，令，得，是偶函数．令，定义域为关于原点对称，则，满足乘法性，，满足偶函数定义，且时，，满足，是一个符合题意的函数．（2），令，则，解得，令，，即，其中，令，同理可得，设①，其中，由单调性知：，即②，①除以②，得，由指数函数的性质可知，，即，是唯一满足题意的函数．题型十四已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题）7．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则．【答案】【分析】根据题设条件得，再利用奇函数的性质，即可求解.【详解】因为当时，，则，又函数是定义在上的奇函数，则，故答案为：.8．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．3 B． C．5 D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】因为是奇函数，所以.故选：A9．（25-26高一上·重庆·月考）设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（

）A．4 B．-4 C．10 D．-10【答案】A【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时，所以，解得，故时，，所以.故选：A10．（25-26高一上·湖南娄底·期中）设函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性计算函数值即可.【详解】注意到，所以为偶函数，故.又因为，故，故选：D.11．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知是奇函数，且.若，则.【答案】-2【分析】设，由是奇函数得到，令求出，即可求出.【详解】设.因为是奇函数，所以，即，所以.将代入上式可得，因为，所以，所以.故答案为：-2题型十五最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共7小题）12．（25-26高一上·河北·期中）已知，且，则．【答案】【分析】根据解析式得出即可求解．【详解】，则则有，若，则．故答案为：．13．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则.【答案】【分析】结合奇函数的性质求解即可.【详解】由，，设函数，，则，即函数为奇函数，则，所以，则，即.故答案为：.14．（25-26高一上·海南·期中）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则.【答案】4【分析】分离常数，易得关于对称，即可求解【详解】.因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4.故答案为：4.15．（25-26高一上·山东泰安·月考）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为.【答案】【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果【详解】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故答案为：16．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则.【答案】4050【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故.【详解】，令，，则，即为奇函数，则，由题意得，故故答案为：4050.17．（25-26高一上·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则.【答案】4【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和.【详解】==2+，令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0，故,故.故答案为：4.18．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数，若，则．【答案】【分析】根据定义法及性质法可判断函数奇偶性，再根据奇偶性可得函数值.【详解】设函数，则，即，即函数为奇函数，又函数为偶函数，为奇函数，所以函数为奇函数，所以，故答案为：.题型十六由奇偶性求函数解析式（共3小题）19．（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式．【答案】【分析】由奇函数的性质可得及，结合对应的解析式即可求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，所以.当时，，则.因为，所以时，.故答案为：.20．（25-26高一上·山东淄博·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，．【答案】【分析】由奇函数的性质可得时，由可得出函数在上的解析式.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，则，则．又，所以，则当时，,故答案为：21．（25-26高一上·上海·月考）若是上的奇函数，当时则当时【答案】【分析】利用奇函数的对称性，可求得对称区间的解析式.【详解】当时，，则，又因为是奇函数，所以，即当时，有，故答案为：22．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数.【答案】【分析】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得.【详解】因为偶函数，所以，又，得，即①.又为奇函数，所以，又，得②.将①代入②得，，，解得.故答案为：.23．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数满足，当时，，当时，．【答案】【分析】由题意可得为奇函数，当时，，代入条件，化简整理，即可得答案.【详解】因为，即，所以为奇函数，当时，，则，所以，则.故答案为：题型十七由奇偶性求参数（共7小题）24．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是奇函数，则．【答案】【分析】根据奇函数的性质，求.【详解】，，则，得，得，当时，，定义域为，满足奇函数的条件.所以.故答案为：25．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）若函数在上为奇函数，则.【答案】【分析】利用奇函数的定义域和性质可依次求出和的值，即得的值.【详解】因为函数在上为奇函数，则，解得，所以，由奇函数的定义得，即，化简得，因不恒为0，故，则.故答案为：.26．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则．【答案】【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数的定义求出的值，从而可得值．【详解】是定义在上的偶函数，定义域关于原点对称，得，解得，，又函数为偶函数，，即，解得，.故答案为：.27．（25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则.【答案】【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值.【详解】因为为幂函数，则，解得或.当时，，为奇函数，不符合题意；当时，，为偶函数，符合题意，所以.故答案为：.28．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用得到方程，求出答案.【详解】令，解得，定义域为，，即恒成立，，化简得，解得.故选：D29．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解.【详解】的定义域，由，若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，若，解得函数定义域为，若为奇函数，必有，解得；又，解得，故选：C.30．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若为奇函数，则（）．A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义结合对数运算列式求解即可【详解】由，可得，解得或，所以的定义域为或，为奇函数，则，，所以，即，因为不恒为0，所以，解得.故选：A.31．（25-26高一上·四川·期中）若是奇函数，则的值为（

）A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论.【详解】因为，所以，又，所以，由有意义可得，所以当时，，当时，，且，因为函数是奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以，因为是奇函数，所以，所以，又，，所以，故，所以，故选：B.题型十八由函数单调性+奇偶性解不等式（共6小题）32．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案.【详解】若，则等价于.因为是偶函数，所以.所以在上单调递减，则由可得.若，则等价于.由题意，在上单调递增，则由可得.综上，的解集为.故选：B33．（25-26高一上·北京·月考）已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案.【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减，且，，由，得或，作出的示意图，所以x的取值范围是.故选：C34．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解.【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，当时，，令，则，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，由，得到，解得，且，故选：C.35．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可.【详解】设函数，则，所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数.因为是上的增函数，是上的减函数，所以是上的增函数.等价于，即.因为是奇函数，所以.因为是上的增函数，所以，即，解得或.故选：.36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由对数的运算性质得到其为奇函数，再由复合函数的单调性得到其为递增函数，然后利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可；【详解】由题意可得令，定义域为，则，所以，即为奇函数，又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数，所以，等价于，解得或.故选：B.37．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围.【详解】令，因为所以的定义域为，则，又，，所以，所以为奇函数；在上为增函数，在上为增函数，又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数；等价于，即，则解得：或，即关于x的不等式的解集为.故选：D题型十九函数的周期性及应用（共4小题）38．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（

）A． B．14 C． D．【答案】C【分析】利用周期性，奇偶性，结合分段函数解析式，来求函数值即可.【详解】因为，的周期为2，所以．因为为偶函数，所以．因为当时，，所以．故选：C.39．（24-25高一上·广东·期末）函数，则.【答案】1【分析】根据题意，推得，即可求得的值.【详解】由题意，函数，所以.故答案为：.40．（24-25高一上·山东临沂·期末）若函数满足，且当时，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由得到函数是周期为2的周期函数求解.【详解】解：函数满足：，函数是周期为2的周期函数，且当时，，故选：A41．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．1 B． C．2024 D．【答案】B【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案.【详解】令，，则，因为，所以，令，则，则，则，所以以6为周期，令，得，所以，则．故选：B．题型二十函数的对称性及应用（共9小题）42．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（

）A．关于对称 B．关于对称C．关于对称 D．关于对称【答案】D【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确.【详解】由，得，解得，所以的定义域为，故A，C不正确；又，所以为奇函数，图像关于原点对称，则的图象关于对称，故B不正确，D正确故选：D.43．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可.【详解】若，则，故，由函数的图象关于点成中心对称图形，则.故选：A44．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．在区间上单调递减C．的图象关于点对称 D．【答案】C【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D.【详解】对于A，函数有意义，则，解得且，因此函数的定义域为，故A错误；对于B，当时，，函数在区间上单调递增，且，又在区间上单调递增，因此在区间上单调递增，故B错误；对于C，，因此函数的图象关于点对称，故C正确；对于D，，则，即，因此，故D错误.故选：C45．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.【详解】依题意，，其图象关于直线对称，则，所以，所以，解得，所以，此时，满足题意；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故选：B．46．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解.【详解】对于，有，解得，所以的定义域为，而的图象的对称中心为，则，所以为奇函数，则有，即，所以，故.故选：C.47．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：D.48．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（

）A．2 B．1 C．0 D．-2【答案】A【分析】由题可得和的图象关于点对称，根据函数的对称性即可求解.【详解】函数的定义域为，，所以，的图象关于点对称，由，得的图象也关于点对称，因此，，则.故选：A.49．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（

）A．2n B．3n C．4n D．5n【答案】D【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值.【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为，由，显然的对称中心为，由函数与有n个交点分别为，，，，所以，，所以.故选：D50．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解.【详解】由得关于对称，由得，即，所以也关于对称，因此两函数图象交点也是对称的，假设点与点对称，则，所以推理可得.【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出.题型二十一函数的奇偶性+周期性及应用（共5小题）51．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得到，由为奇函数，得到，进而得到函数周期，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，则，所以，所以，又，得，所以，则，则，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，所以，所以，其它三个选项条件不足无法计算，故选：A.52．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（

）A．2 B． C．4 D．0【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值．【详解】解：是偶函数，是奇函数,...的周期为4.是R上的奇函数,.故选：A.53．（25-26高三上·全国·月考）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（

）A．为周期函数 B．为偶函数C． D．【答案】C【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可.【详解】在中，取，可得,解得，再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确；取，得，则有，两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确；由上分析，由，可得．因,所以，故D正确；取，得到：，再取，得，故C错误.故选：C54．（25-26高二上·云南·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得，利用对数的性质即可得答案．【详解】定义在上的函数满足，所以函数的周期为4，因为是定义在上的偶函数，∴，所以.因为，所以所以所以.故选：.55．（25-26高一上·云南·期中）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A． B．1 C．5 D．【答案】B【分析】根据已知条件分析出是周期为8的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果.【详解】因为，所以，又因为是定义域为的奇函数，所以，且,所以，则，所以，则是周期为8的周期函数，所以，，因为，所以，因为，所以.故选：B.题型二十二函数的奇偶性+对称性及应用（共5小题）56．（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇偶性的定义可知，.利用赋值法可得.故选：A.或由相关函数的奇偶性，得到其图象的对称特征，根据图象变换得到的图象的对称性，进而判断各选项是否一定成立.【详解】由题可知，.令，则，所以；令，则，，所以；所以A正确.令，则，；令，则，.所以其它选项均不能确定.故选：A.方法二：由题可知，函数的图象关于轴对称，所以图象的关于直线对称；函数的图象关于原点对称，且过原点，所以的图象关于点对称，且过点.由此可得，而其它选项的值均不能判断.故选：A.57．（25-26高一上·全国·月考）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用函数的对称性与列出方程组，解出，再利用函数的对称性与奇偶性求解即可.【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，，.，即.∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，且为偶函数，∴.故选：D.58．（25-26高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得.【详解】由为奇函数，则，令，则，故，由为偶函数，则，令，则，故，即，对，令，则，即，，解得，故当时，，对，令，则，对，令，则，则.故选：C.59．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（）A． B．是奇函数C． D．的图象关于点对称【答案】D【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D.【详解】对于A，取，则，即，得，故A正确；对于B，取，则，得，故是奇函数，B正确；对于C，对任意的都有，可得，即，因此，故C正确；对于D，由于，因此的图象关于点对称，故D错误.故选：D.60．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（

）A．1010 B．1012 C．1014 D．1016【答案】B【分析】由为奇函数，得到，求得的图象关于点对称，再由，根据奇偶性，得到为奇函数，且的关于对称，求得的值，得到答案.【详解】因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，函数，对于函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于对称，所以为偶数，这些根成对出现，每对和为，所以设，则，所以，解得.故选：B.题型二十三函数的周期性+对称性及应用（共3小题）61．（25-26高一上·江西·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先确定对称中心、对称轴，则可得到周期，由周期性求即可.【详解】由可得关于点中心对称，则，由为偶函数可得关于对称，则周期为4，所以，故选：B.62．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足和，且当时，，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】由题，可知函数的周期性和对称性，结合已知求解即可.【详解】由满足，得，所以，所以，所以是以4为周期的函数，因为，所以的图象关于直线对称，因为当时，，所以.故选：C.63．（25-26高一上·新疆·月考）已知定义在上的函数满足，，则（

）A．0 B．4 C．2 D．8【答案】B【分析】先推导出周期性，再赋值求值即可.【详解】由①，以替换，得，因为②，所以，则.在①中，令，得，解得；令，得.在②中，令，得，所以，所以，所以.故选：B.题型二十四函数的性质综合应用（共18小题）单选题64．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由函数的对称性可得其周期性，利用已知函数解析式，可得答案.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以.因为函数的图象关于点对称，所以，所以，即，即，可得，所以函数的周期为4，所以.故选：A.65．（24-25高一上·宁夏固原·期末）已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案.【详解】因为是R上的偶函数，所以，由得，可得的周期为6，若，则，解得.故选：B.66．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，正实数满足，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得，再利用基本不等式求解即得.【详解】，这说明的图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，由于时在上单调递增且函数值恒正，可推出在上单调递减，因此是减函数．，即，因此，当即时取得，故选：B．67．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，进而逐项判断即可；【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得：，所以，定义域为，对于A，设，定义域为，因为，所以在上单调递增，若，则有，即，故A正确；对于B，设，定义域为，因为，所以在上单调递减，若，则有，即，故B正确；对于CD，，而，等号不成立，所以，又，所以，C对，D错，故选：D【点睛】关键点点睛：判断CD的关键在于对进行平方，再由基本不等式比较大小.68．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得.【详解】设，则在上单调递增，可化为，由对勾函数的性质可知：当时，单调递减，当时，单调递增，由得，故在区间上单调递减，在上单调递增，又，，因为在上单调递增，故，因，（因为），又，则，即，故，故，故选：B.69．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可.【详解】因为，，设，，令，则，可得，当且仅当时，等号成立，则，所以的值域为，又因为，当且仅当时取等号，可得，所以的值域为，根据题意可知：，则，即，解得且，所以实数的取值范围．故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．70．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（

）A． B．2 C． D．1003【答案】C【分析】根据题意，可得，即是上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而也是以4为周期的周期函数，可得解.【详解】因为的图象关于点中心对称，所以①．因为，所以②．因为③，所以④．③④得，，所以是上的偶函数，所以①可变形为，则，故，所以是以4为周期的周期函数．由④可得，则也是以4为周期的周期函数．因为，又，所以，所以．故选：C．【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.71．（22-23高一上·重庆渝中·期中）已知为定义在上的偶函数，对于且，有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，结合已知判断其单调性以及奇偶性，继而讨论x的正负，从而将转化为利用的单调性求解不等式.【详解】设，则，由于，故，即，令，则时，，故在上单调递增，又为定义在上的偶函数，则为上的奇函数，且在上单调递增，因为，所以，则，当时，，则，不成立；当时，即，即，则；当时，即，即，则；综上，的解集为，故选：C多选题72．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（

）A．B．是增函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】AD【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可.【详解】因为.对于A，令，可得，即，故A正确；对于BC，例如，则，符合题意，但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误；对于D，令，可得，即，可得，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.73．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A．当时， B．在上单调递增C．的值域为 D．有2个零点【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得.【详解】定义在R上的奇函数，，当时，，对于A，当时，，则